(通用版)高考数学(理数)一轮复习考点梳理与过关练习33《空间向量与立体几何》(含详解).doc

考点33 空间向量与立体几何1．空间向量及其运算（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.2．空间向量的应用（1）理解直线的方向向量与平面的法向量.（2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.（3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.一、空间直角坐标系及有关概念1．空间直角坐标系定义以空间一点为原点，具有相同的单位长度，给定正方向，建立两两垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，建立了一个空间直角坐标系坐标原点点O坐标轴x轴、y轴、z轴坐标平面通过每两个坐标轴的平面在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示.2．空间一点M的坐标（1）空间一点M的坐标可以用有序实数组来表示，记作，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.（2）建立了空间直角坐标系后，空间中的点M与有序实数组可建立一一对应的关系．3．空间两点间的距离公式、中点公式（1）距离公式①设点，为空间两点，则两点间的距离.②设点，则点与坐标原点O之间的距离为.（2）中点公式设点为，的中点，则.4．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量单位向量长度(或模)为1的向量零向量长度(或模)为0的向量相等向量方向相同且模相等的向量二、空间向量的有关定理及运算1.共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.牢记两个推论：（1）对空间任意一点O，点P在直线AB上的充要条件是存在实数t，使或（其中）.（2）如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使，其中向量叫做直线l的方向向量，该式称为直线方程的向量表示式.2.共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使.牢记推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使；或对空间任意一点O，有.3.空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量. 注意：（1）空间任意三个不共面的向量都可构成基底.（2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.（3）不能作为基向量.4.空间向量的运算（1）空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算都可类比平面向量.（2）空间向量的坐标运算设，则，，，，，，.三、利用空间向量解决立体几何问题1.直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个.（2）若直线，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作,有无数多个，任意两个都是共线向量.平面法向量的求法：设平面的法向量为.在平面内找出（或求出）两个不共线的向量，根据定义建立方程组，得到，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量.2.利用空间向量表示空间线面平行、垂直设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为.（1）线线平行：若，则；线面平行：若，则；面面平行：若，则.（2）线线垂直：若，则；线面垂直：若，则；面面垂直：若，则.3.利用空间向量求空间角设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为.（1）直线所成的角为，则，计算方法：；（2）直线与平面所成的角为，则，计算方法：；（3）平面所成的二面角为，则，如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝．如图②③，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．4.利用空间向量求距离（1）两点间的距离设点，为空间两点，则两点间的距离. （2）点到平面的距离如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为.考向一 空间直角坐标系对于空间几何问题，可以通过建立空间直角坐标系，把空间中的点用有序实数组(即坐标)表示出来,通过坐标的代数运算解决空间几何问题，实现了几何问题(形)与代数问题(数)的结合.典例1 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________.【答案】【解析】 如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，因为的坐标为，所以,所以.1．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，点G与E分别是A1B1和CC1的中点，点D与F分别是AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值为______________. 考向二 共线、共面向量定理的应用1.判断两非零向量平行，就是判断是否成立，若成立则共线，若不成立则不共线.2.证明空间三点P、A、B共线的方法：①(λ∈R)； ②对空间任一点O，(t∈R)；③对空间任一点O，．3.证明空间四点P、M、A、B共面的方法：①； ②对空间任一点O，； ③对空间任一点O，(x＋y＋z＝1)； ④(或或). 典例2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且=2，F在体对角线A1C上，且.求证：E,F,B三点共线.【解析】设=a,=b,=c.∵=2,,∴b,(-)=(+-)=a+b-c.∴a-b-c=(a-b-c).又++=-b-c+a=a-b-c,∴.∴E,F,B三点共线.2．如图,正方形,直角梯形,直角梯形所在平面两两垂直,,且.（1）求证:四点共面;（2）求二面角的余弦值.考向三 利用向量法证明平行问题1.证明线线平行：证明两条直线的方向向量平行.2.证明线面平行：（1）该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；（2）证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；（3）证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.3.证明面面平行：两个平面的法向量平行.典例3 如图,已知长方体ABCD－A1B1C1D1中,E、M、N分别是BC、AE、CD1的中点,AD＝AA1＝a,AB＝2a.求证：MN∥平面ADD1A1.【解析】以D为坐标原点,分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(a,0,0),B(a,2a,0),C(0,2a,0),D1(0,0,a),E(a,2a,0),∵M、N分别为AE、CD1的中点,∴M(a,a,0),N(0,a,).∴.取n＝(0,1,0),显然n⊥平面A1D1DA,且·n＝0,∴⊥n.又MN⊄平面ADD1A1，∴MN∥平面ADD1A1.3．如图，边长为3的菱形ABCD所在的平面与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，∠BAD=60°，AE⊥BE，点M，N分别在AB，DE上，且.求证：MN∥平面BCE.考向四 利用向量法证明垂直问题1.线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．2.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．3.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．典例4 如图,已知正四棱锥V-ABCD中,E是VC的中点, 正四棱锥的侧面VBC为正三角形.求证:平面VAC⊥平面EBD.【解析】如图，以V在底面ABCD内的射影O为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz,设VB=VC=BC=2a,在中,VO=a,∴V(0,0,a),A(a,0,0),C(-a,0,0),B(0, a,0),D(0,-a,0),E(a,0,a),则=(a,a,a),=(0,-2a,0),=(-a,0,-a).∵·=a2+0-a2=0,·=0,∴⊥,⊥,即DE⊥VC,BD⊥VC.∵DE∩BD=D, ∴VC⊥平面EBD.又平面VAC,∴平面VAC⊥平面EBD.典例5 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:（1）AE⊥CD;（2）PD⊥平面ABE.【解析】（1）易知AB,AD,AP两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系.设PA=AB=BC=1,则A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,1).∵∠ABC=60°,∴△ABC为正三角形,∴C(,,0),E(,,).设D(0,y0,0),由AC⊥CD,得·=0,即(,,0)·(-,y0-,0)=0,解得y0=,∴D(0,,0),∴=(,,0).又=(,,),∴·=-++0=0,∴⊥,即AE⊥CD.（2）方法一：由（1）知=(0,,-1),∴·=0++×(-1)=0,∴⊥,即PD⊥AE.∵=(1,0,0),∴·=0,∴PD⊥AB.又AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.方法二：由（1）知=(1,0,0),=(,,).设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则n·=0,n·=0,得,令y=2,则z=-,∴平面ABE的一个法向量为n=(0,2,-).∵=(0,,-1),显然n,∴∥n,∴⊥平面ABE,即PD⊥平面ABE.4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC的中点，G是BB1的中点,E是线段D1O上一点,且D1E=2EO.求证：（1）DG⊥AC;（2）DB1⊥平面CD1O;（3）平面CDE⊥平面CD1O.考向五 用向量法求空间角1.用向量法求异面直线所成的角（1）建立空间直角坐标系；（2）求出两条直线的方向向量；（3）代入公式求解，一般地，异面直线AC，BD的夹角β的余弦值为.2.用向量法求直线与平面所成的角（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．3.用向量法求二面角求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．典例6 如图,在五棱锥中,PA⊥平面ABCDE,,∠DEA=∠EAB=∠ABC=90°.（1）求二面角的大小;（2）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值.【解析】由题可知,以AB、AE、AP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.则.设。