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第三章第三章 光纤模式理论光纤模式理论Mode Theory for Optical Fibers主要内容主要内容4阶跃折射率光纤中的场模式阶跃折射率光纤中的场模式4弱导光纤中的线偏振模弱导光纤中的线偏振模4光波导中模式的普遍性质光波导中模式的普遍性质4波导横向非均匀性的微扰法处理波导横向非均匀性的微扰法处理4纵向非均匀性与模式耦合方程纵向非均匀性与模式耦合方程直角坐标（直角坐标（x,y,z））柱坐标（柱坐标（r, ,z））基矢坐标系坐标系波动光学波动光学光波导理论逻辑过程光波导理论逻辑过程Maxwell方程方程边界条件边界条件波动方程波动方程场的解场的解边界条件边界条件特征方程特征方程场的解场的解传输常数传输常数 模场分布模场分布 一一. .阶跃折射率光纤中的场模式阶跃折射率光纤中的场模式Ø 光纤的对称性与柱坐标系下的波动方程光纤的对称性与柱坐标系下的波动方程Ø 纵向均匀光波导中场的纵横关系纵向均匀光波导中场的纵横关系Ø BesselBessel方程及其解方程及其解Ø 阶跃光纤中矢量模的场分布阶跃光纤中矢量模的场分布Ø 矢量模的特征方程、模式分类与命名规则矢量模的特征方程、模式分类与命名规则Ø 矢量模的特性曲线矢量模的特性曲线Ø 模式的截止特性、基模与光纤的单模工作条件模式的截止特性、基模与光纤的单模工作条件Ø 矢量模在光纤横截面上的场分布与光功率密度分布矢量模在光纤横截面上的场分布与光功率密度分布结构结构阶跃型光纤折射率剖面阶跃型光纤折射率剖面Step indexn1n2abj=1, 2  芯层，包层（r,,z）为柱坐标系波动方程波动方程(柱坐标柱坐标)Helmholtz把E=Er+E+Ez 代入到波动方程，并在柱坐标系下展开柱坐标系下，横场满足的方程十分复杂，除Ez 、Hz 外，其它横向分量都不满足标量的亥姆霍兹方程。

因而矢量解法是从解Ez 、Hz 的标量亥姆霍兹方程入手，再通过场的横向分量与纵向分量的关系，求其他分量 横场横场 纵场纵场纵横关系纵横关系纵向均匀、无损、纵向均匀、无损、z向传输向传输场分布形式传输因子对称性的波动方程对称性的波动方程光纤的圆对称性光纤的圆对称性电磁场沿电磁场沿 方向为驻波解方向为驻波解对称性的波动方程对称性的波动方程光纤的圆对称性光纤的圆对称性电磁场沿电磁场沿 方向为驻波解方向为驻波解m m阶阶BesselBessel方程方程m m阶虚宗量阶虚宗量BesselBessel方程方程m阶Bessel方程m阶虚宗量Bessel方程m阶Bessel方程m阶虚宗量Bessel方程Bessel方程的解m阶Bessel方程m阶虚宗量Bessel方程贝贝塞塞尔尔方方程程的的解解Nm(0)=Im( )=芯层芯层包层包层Bessel函数虚宗量Bessel函数Neumann函数虚宗量Neumann函数Ez连续：连续：F1|r=a = F2|r=a贝塞尔函数性质贝塞尔函数性质J函数函数贝塞尔函数性质贝塞尔函数性质N函数函数贝塞尔函数性质贝塞尔函数性质I函数函数贝塞尔函数性质贝塞尔函数性质K函数函数贝塞尔函数递推关系贝塞尔函数递推关系(了解，会用了解，会用)电磁场的纵向分量电磁场的纵向分量电磁场的横向分量由电磁场的横向分量由“纵横关系式纵横关系式”得得到到返回导模条件泄漏模和辐射模横向约束横向辐射传输常数传输常数  方向分量连续E  |r=aH |r=a特征方程特征方程光纤中电磁场模式的特征方程光纤中电磁场模式的特征方程——由横向电场和磁场的边界条件得到由横向电场和磁场的边界条件得到 不同的模式不同的模式m = 0E0=0, Ez=0, TE模模H0=0, Hz=0, TM模模TE模模TM模模混合模混合模特征方程特征方程HE模EH模HE模：EH模：m反映了模场分布随方位角反映了模场分布随方位角 变化情况，变化情况，n为特征方程根的序号为特征方程根的序号-V特性特性曲线曲线矢量模的截止特性矢量模的截止特性W=0, U=Vc,归一化截止频率截止条件截止条件特征方程特征方程归一化截止频率归一化截止频率W0Km(W)的小宗量近似：的小宗量近似：TE模模TM模模特征方程特征方程W  0U  Vc截止时的特征方程截止时的特征方程截止频率截止频率Vc 不为不为 0 !!!TE0n,TM0n的截止频率的截止频率最小值最小值TE01,TM01EHmn的截止频率的截止频率特征方程特征方程W  0U  Vc截止时的特征方程截止时的特征方程截止频率截止频率最小值最小值EH11HE1n的截止频率的截止频率特征方程特征方程W  0U  Vc截止时的特征方程截止时的特征方程截止频率截止频率最小值最小值HE11!!!HEmn的截止频率的截止频率(m>1)特征方程特征方程W  0U  Vc截止时的特征方程截止时的特征方程模式的归一化截止频率及低阶模的模式的归一化截止频率及低阶模的Vc值值单模条件单模条件单模条件：单模条件：-V特性特性曲线曲线 矢量模特性曲线矢量模特性曲线41.每一条曲线代表一个模式每一条曲线代表一个模式42.当光纤的结构参数和工作频率给定时，当光纤的结构参数和工作频率给定时，光纤的归一化频率一定，此时，各传导光纤的归一化频率一定，此时，各传导模式具有特定的传输常数。

模式具有特定的传输常数43.V越大，光纤中支持的导模数量越多越大，光纤中支持的导模数量越多44.单模传输条件单模传输条件矢量模的横向场分布矢量模的横向场分布横向场分量横向场分量横向场分布功率密度分布电力线方程电力线方程E ErEtrA横向场分布横向场分布电力线与磁力线电力线与磁力线（实线：电力线，虚线：磁力线）矢量模的横向光功率密度矢量模的横向光功率密度低阶模横向光功率密度低阶模横向光功率密度/光强分布光强分布TM01TE01HE21TM01TE01HE21TE01HE21TM01TE01HE21HE11HE11HE21二、弱导光纤中的线偏振模弱导光纤中的线偏振模Ø 弱导光纤中存偏振弱导光纤中存偏振 (LP) (LP) 模的可能模的可能性性Ø 阶跃折射率光纤的标量近似解法阶跃折射率光纤的标量近似解法Ø LPLP模的场分布与特征方程模的场分布与特征方程Ø LPLP模的构造模的构造Ø LPLP模的截止特性与特性曲线模的截止特性与特性曲线Ø 光纤的功率限制因子光纤的功率限制因子Ø 导模、辐射模与泄漏模导模、辐射模与泄漏模纵向场分量横向场分量横向分量大，纵向分量小：矢量法的困难矢量法的困难横向分量形式复杂除HE11模外，各传导模式的横向场分量在光纤横截面上具有非常复杂的偏振特性，分析起来困难。

相对折射率差相对折射率差弱导近似弱导近似弱导近似：弱导近似：   0，， n1   n2光纤芯子和包层的折射率非常接近，光纤芯子和包层的折射率非常接近，对光波导的分析会大为简化，这种光对光波导的分析会大为简化，这种光纤称为纤称为弱导光纤弱导光纤弱导光纤的特点（弱导光纤的特点（1））光纤中传输的电磁场非常接近于横电磁波（光纤中传输的电磁场非常接近于横电磁波（TEM波）或均匀平面波因此，电磁波在弱导光纤中波）或均匀平面波因此，电磁波在弱导光纤中传输时其横向场基本上沿同一方向极化，并保持传输时其横向场基本上沿同一方向极化，并保持不变————在弱导近似的条件下，光纤中支持线偏在弱导近似的条件下，光纤中支持线偏振模振模LP（（Linearly Polarized Mode)弱导光纤的特点（弱导光纤的特点（2））4弱导光纤中，磁场的横向分量可以由电场的横向分量运算得出，波阻抗线偏振模线偏振模——横场横场4对于弱导光纤，可以通过适当选择坐标系，使得满足满足Helmholtz方程：方程：线偏振模线偏振模——横场横场4 Ey, Hx线偏振模线偏振模——纵场纵场纵横关系纵横关系纵向分量纵向分量与与特征方程特征方程切向分量连续切向分量连续z分量分量特特征征方方程程二式等价LPmn模矢量模特征方程的弱导近似矢量模特征方程的弱导近似弱导近似弱导近似EHmn，TE0n，TM0nHEmn非弱导形式非弱导形式矢量模在弱导近似下的特征方程矢量模在弱导近似下的特征方程LPmn模m  m-1 EHm-1,nm  m+1 HEm+1,nHEmn模TE0n, TM0nm =1LP1nHE2nm = 0HE1nLP0nm > 1矢量模与标量模的对应关系矢量模与标量模的对应关系EHmn(m≠0) ,TE0n，TM0n (m=0)模标量模标量模 = 矢量模的迭加矢量模的迭加表表3.2 与线偏振模对应的矢量模及其简并度和归一化频率与线偏振模对应的矢量模及其简并度和归一化频率弱导光纤中模式的简并性弱导光纤中模式的简并性4在 n1   n2 的弱导近似条件下，矢量模可以分为一系列模式组，每一组内的矢量模具有完全相同的特征方程，因而从其传输特性来看，这些模式是简并的，它们的传输相速度相同，可以证明，每一个线偏振模均由一组简并的矢量模叠加而成。

场的迭加场的迭加截止特性截止特性W  0截止特性截止特性LP0n模模LPmn模模单模条件单模条件LP01模的归一化截止频率为10， 10 = 0，不截止！！！！！！LP11模的归一化截止频率为01， 01 = 2.4048V < 2.4048只有只有LP01模传输模传输——基模基模单模条件单模条件矢量模结论b：归一化传输常数：归一化传输常数接近截止时，W  0，b  0远离截止时，U  0，b  1光纤结构+工作波长 V    b~V归一化传输常数归一化传输常数b~V曲线曲线b~V曲线曲线b~V曲线与曲线与-V曲线曲线-V曲线曲线b~V曲线曲线光纤中的功率流光纤中的功率流纵向功率流密度纵向功率流密度Sz芯层芯层包层包层功率限制因子功率限制因子 光纤芯层中传输的光功率与光纤中传输的总功率之比反映光纤的导光能力或对光的约束能力功率限制因子功率限制因子 定义定义 ~V特性曲线特性曲线辐射模和泄漏模辐射模和泄漏模截止条件下，离散的、复数，非正常波形传导模传导模离散，每一个导模对应一个，满足横向谐振条件辐射模辐射模连续，包层中出现辐射形式的解，产生横向辐射不满足全反射条件，不满足任何横向谐振条件。

泄漏模泄漏模波动光学波动光学光波导理论逻辑过程光波导理论逻辑过程Maxwell方程方程边界条件边界条件波动方程波动方程场的解场的解边界条件边界条件特征方程特征方程场的解场的解传输常数传输常数 模场分布模场分布复习复习复习复习光纤模式理论光纤模式理论矢量法矢量法标量法标量法1. 严格解法近似解法前提：弱导近似弱导近似n1 = n2横向分量大，纵向分量小：TEM波，均匀平面波矢量法矢量法标量法标量法复习复习3.利用满足光纤边界条件利用满足光纤边界条件的的Maxwell方程求解方程求解 弱导近似条件下，求解横场弱导近似条件下，求解横场满足的标量满足的标量Helmholtz方程方程2. 解法烦琐，结果复杂,不易分析导波特性易于分析，结果简单Helmholtz方程方程矢量法矢量法标量法标量法复习复习4.Ez, HzEt=eyEy Ht =exHx矢量法矢量法标量法标量法复习复习纵横关系Ez, HzEr, E, Hr, H特征方程特征方程模式分类模式分类截止特性截止特性 Ez, Hz纵横关系Et=eyEy Ht =exHx5.矢量法特征方程矢量法特征方程复习复习6.方向分量连续E  |r=aH |r=a特征方程特征方程标量法特征方程标量法特征方程切向分量连续切向分量连续z分量分量特特征征方方程程二式等价复习复习矢量法模式分类矢量法模式分类复习复习TE0n模：模：E0=0, m=0, TM0n模模: H0=0, m=0, HEmn模：模： EHmn模：模：H0>>E0E0>>H0标量法模式构造标量法模式构造复习复习标量模标量模 = 矢量模的迭加矢量模的迭加矢量模的截止特性矢量模的截止特性W=0, U=Vc,归一化截止频率截止条件截止条件特征方程特征方程归一化截止频率归一化截止频率W0Km(W)的小宗量近似：的小宗量近似：复习复习矢量模的截止特性矢量模的截止特性模式的归一化截止频率及低阶模的模式的归一化截止频率及低阶模的Vc值值单模条件：单模条件：复习复习-V特性特性曲线曲线复习复习基模：基模： HE11W  0截止特性截止特性标量模的截止特性标量模的截止特性特征方程特征方程归一化截止频率归一化截止频率W0表表3.2 与线偏振模对应的矢量模及其简并度和归一化频率与线偏振模对应的矢量模及其简并度和归一化频率V < 2.4048单模条件单模条件复习复习b~V曲线曲线b~V曲线曲线只有只有LP01模传输模传输——基模基模复习复习b：归一化传输常数：归一化传输常数三、光波导中模式的普遍性质4 模式的完备性及其物理含义模式的完备性及其物理含义4 模式的正交性及其物理含义模式的正交性及其物理含义4   2 的稳定性及其含义的稳定性及其含义模式的完备性和光场展开模式的完备性和光场展开任意纵向均匀无损纵向均匀无损光波导，波导中的总电磁场可以表示为波导所支持的各导模和辐射模的迭加完备性完备性光波导中的模式能完全反映其中的电磁场而且模式之间互相独立，正交！光场展开光场展开 4 模式的完备性和光场展开模式的完备性和光场展开n不同模式P=+,- 正反向传输的模式辐射模在其连续谱上的积分各模式的激发系数 4 (m, q）&（n, p）正交性正交性 m,n 模式序号q,p 模式传播方向（+，-）正交性正交性任意纵向均匀无损光波导任意纵向均匀无损光波导积分遍及整个波导横截面结论：结论：不同模式之间彼此正交。

不同模式之间彼此正交导模与辐射模之间、辐射模之间均正交导模与辐射模之间、辐射模之间均正交  4 正交性正交性任意纵向均匀无损光波导任意纵向均匀无损光波导结论：结论：正反向传输的同一模式之间也彼此正交正反向传输的同一模式之间也彼此正交模式的正交性表明模式的正交性表明：•在纵向均匀无损光波导纵向均匀无损光波导中，模式是相互独立传输独立传输的各模式之间不发生能量的交换和耦合沿正反方向传输的同一个模式也如此！LP模的正交性模的正交性任意模式正交性的证明任意模式正交性的证明纵向均匀的任意两个模式：（m, q）&（n, p）Maxwell方程方程*波导横截面波导横截面S积分积分 二维散度定理二维散度定理S的边界l的外法线方向S足够大边界上的电磁场可忽略m  n或 pq0m = n且p = q(n,p)功率的4倍任意模式正交性的证明任意模式正交性的证明LP模正交性的证明模正交性的证明标量波动方程标量波动方程*波导横截面波导横截面S积分积分 二维散度定理二维散度定理m  n或 pq0m = n且p = q(n,p)功率的2倍任意两个线偏振模 2弱导光波导中，任意线偏振模场n，满足标量波动方程 波导横截面波导横截面S积分积分 二维散度定理二维散度定理0模式传输常数的平方可以模式传输常数的平方可以由相应的模式场分布得到由相应的模式场分布得到 2的稳定性的稳定性二维散度定理二维散度定理0 4结论：4对于场分布的微小变化，  2是稳定的是稳定的 2的稳定性的稳定性四、波导横向非均匀性的微扰法处理4 微扰法的基本思想微扰法的基本思想4 光波导问题的一阶微扰近光波导问题的一阶微扰近似似横向非均匀性横向非均匀性n1n2ab横向折射率非均匀分布波导界面不规则微扰法统一处理微扰法统一处理寻找一个波导结构与横向非均匀波导结构相近，模场解已知，用已知解近似描述难解之解！微扰法微扰法两个相近的弱导波导结构：1、可解、可解2、不可解、不可解折射率分布模场分布传输常数折射率分布模场分布传输常数只有微小差异微扰展开微扰展开模式的完备性模式的完备性严格地，这里没有写出辐射模在连续谱上的积分严格地，这里没有写出辐射模在连续谱上的积分？？*横截面上积分？？m = n正交性一阶微扰近似一阶微扰近似一阶微扰近似一阶微扰近似差异甚小，一阶一阶近似即可！必要时，需要高阶高阶微扰处理！一阶微扰解一阶微扰解五、波导纵向非均匀性与模式耦合4 纵向非均匀问题纵向非均匀问题4 耦合模方程耦合模方程缓慢变化纵向非均匀性纵向非均匀性光波导的纵向不均匀：人为引入；制作不完善；z理想波导理想波导—均匀均匀实际波导实际波导—不均匀不均匀折射率分布模场分布传输常数差异甚微缓变函数模式的完备性缓变函数乘乘横截面积分模式正交性模式展开模式展开耦合方程耦合方程耦合系数：耦合系数：模式（m,q）（n,p）之间的振幅耦合系数模式耦合方程！！！模式耦合方程！！！纵向非均匀性引起了各传导模式之间的耦合。

模式耦合： 非正规光波导，由于存在纵向非均匀性，因此无严格的模式存在但是，仍可以找到某一个正规光波导，使得非正规光波导内的场可以展开为该正规光波导的一系列模式之和光在光波导中传输的总功率不变，但是随着模式在波导内的传输，各模式交换携带的能量，这种现象称为模式耦合关于波导纵向非均匀性的几点说明关于波导纵向非均匀性的几点说明习题习题Page 49.3.33.43.53.63.7复习复习光纤模式理论光纤模式理论矢量法矢量法标量法标量法1. 严格解法近似解法前提：弱导近似弱导近似n1 = n2横向分量大，纵向分量小：TEM波，均匀平面波矢量法矢量法标量法标量法复习复习3.利用满足光纤边界条件利用满足光纤边界条件的的Maxwell方程求解方程求解 弱导近似条件下，求解横场弱导近似条件下，求解横场满足的标量满足的标量Helmholtz方程方程2. 解法烦琐，结果复杂,不易分析导波特性易于分析，结果简单Helmholtz方程方程矢量法矢量法标量法标量法复习复习4.Ez, HzEt=eyEy Ht =exHx矢量法矢量法标量法标量法复习复习纵横关系Ez, HzEr, E, Hr, H特征方程特征方程模式分类模式分类截止特性截止特性Ex, Ez, Hy, Hz纵横关系Et=eyEy Ht =exHx5.矢量法特征方程矢量法特征方程复习复习6.方向分量连续E  |r=aH |r=a特征方程特征方程标量法特征方程标量法特征方程切向分量连续切向分量连续z分量分量特特征征方方程程二式等价复习复习矢量法模式分类矢量法模式分类复习复习TE0n模：模：E0=0, m=0, TM0n模模: H0=0, m=0, HEmn模：模： EHmn模：模：H0>>E0E0>>H0标量法模式构造标量法模式构造复习复习标量模标量模 = 矢量模的迭加矢量模的迭加矢量模的截止特性矢量模的截止特性W=0, U=Vc,归一化截止频率截止条件截止条件特征方程特征方程归一化截止频率归一化截止频率W0Km(W)的小宗量近似：的小宗量近似：复习复习矢量模的截止特性矢量模的截止特性模式的归一化截止频率及低阶模的模式的归一化截止频率及低阶模的Vc值值单模条件：单模条件：复习复习-V特性特性曲线曲线复习复习基模：基模： HE11W  0截止特性截止特性标量模的截止特性标量模的截止特性特征方程特征方程归一化截止频率归一化截止频率W0表表3.2 与线偏振模对应的矢量模及其简并度和归一化频率与线偏振模对应的矢量模及其简并度和归一化频率V < 2.4048单模条件单模条件复习复习b~V曲线曲线b~V曲线曲线只有只有LP01模传输模传输——基模基模复习复习b：归一化传输常数：归一化传输常数模式的完备性和光场展开模式的完备性和光场展开任意纵向均匀无损纵向均匀无损光波导，波导中的总电磁场可以表示为波导所支持的各导模和辐射模的迭加完备性完备性光波导中的模式能完全反映其中的电磁场而且模式之间互相独立，正交！展开展开n不同模式P=+,- 正反向传输的模式辐射模在其连续谱上的积分各模式的激发系数三、光波导中模式的普遍性质三、光波导中模式的普遍性质正交性正交性任意纵向均匀无损光波导任意纵向均匀无损光波导积分遍及整个波导横截面导模与辐射模之间、辐射模之间均正交导模与辐射模之间、辐射模之间均正交(m, q）&（n, p）N个导模沿正向传输，波导中总的传输功率= Poynting矢量纵向分量在横截面内的积分传输功率传输功率ª模式的正交性表明模式的正交性表明：•在纵向均匀无损光波导纵向均匀无损光波导中，模式是相互独立传输独立传输的•各模式之间不发生能量的交换和耦合，•沿正反方向传输的同一个模式也如此！LP模的正交性模的正交性任意模式正交性的证明任意模式正交性的证明纵向均匀的任意两个模式：（m, q）&（n, p）Maxwell方程方程*波导横截面波导横截面S积分积分 二维散度定理二维散度定理S的边界l的外法线方向S足够大边界上的电磁场可忽略m  n或 pq0m = n且p = q(n,p)功率的4倍任意模式正交性的证明任意模式正交性的证明LP模正交性的证明模正交性的证明标量波动方程标量波动方程*波导横截面波导横截面S积分积分 二维散度定理二维散度定理m  n或 pq0m = n且p = q(n,p)功率的2倍任意两个线偏振模 2弱导光波导中，任意线偏振模场n，满足标量波动方程 波导横截面波导横截面S积分积分 二维散度定理二维散度定理0模式传输常数的平方可以模式传输常数的平方可以由相应的模式场分布得到由相应的模式场分布得到 2的稳定性的稳定性二维散度定理二维散度定理0横向非均匀性横向非均匀性n1n2ab横向折射率非均匀分布波导界面不规则微扰法统一处理微扰法统一处理寻找一个波导结构与横向非均匀波导结构相近，模场解已知，用已知解近似描述难解之解！四、波导横向非均匀性的微扰法处理四、波导横向非均匀性的微扰法处理微扰法微扰法两个相近的弱导波导结构：1、可解、可解2、不可解、不可解折射率分布模场分布传输常数折射率分布模场分布传输常数只有微小差异微扰展开微扰展开模式的完备性模式的完备性严格地，这里没有写出辐射模在连续谱上的积分严格地，这里没有写出辐射模在连续谱上的积分？？*横截面上积分？？m = n正交性一阶微扰近似一阶微扰近似一阶微扰近似一阶微扰近似差异甚小，一阶一阶近似即可！必要时，需要高阶高阶微扰处理！一阶微扰解一阶微扰解缓慢变化五、纵向非均匀性与模式耦合方程五、纵向非均匀性与模式耦合方程纵向非均匀性纵向非均匀性光波导的纵向不均匀：人为引入；制作不完善；z理想波导理想波导—均匀均匀实际波导实际波导—不均匀不均匀折射率分布模场分布传输常数差异甚微缓变函数。