2021年高考数学（四海八荒易错集）专题15椭圆、双曲线、抛物线理.doc

2017年高考数学（四海八荒易错集）专题15椭圆、双曲线、抛物线理专题15 椭圆、双曲线、抛物线1．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)A．(－1,3) B．(－1，)C．(0,3) D．(0，)答案　A2．已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1 B.－＝1C.－＝1 D.－＝1答案　D解析　由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，联立解得或即第一象限的交点为.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，，故＝2b，得b2＝12.故双曲线的方程为－＝1.故选D.3．已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)A.B.C.D．2答案　A解析　如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝.4．已知F1、F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF1F2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M有(　　)A．0个 B．1个C．2个 D．4个答案　C解析　由椭圆方程＋＝1可得a2＝25，b2＝16，∴a＝5，b＝4，c＝3.由椭圆的定义可得|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，且|F1F2|＝2c＝6，∴△MF1F2的周长|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝10＋6＝16.设△MF1F2的内切圆的半径为r，由题意可得2πr＝3π，解得r＝.5．已知圆x2＋y2＝上点E处的一条切线l过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F，且与双曲线的右支交于点P，若＝(＋)，则双曲线的离心率是______________．答案　解析　如图所示，设双曲线的右焦点为H，连接PH，由题意可知|OE|＝，由＝(＋)，可知E为FP的中点．由双曲线的性质，可知O为FH的中点，所以OE∥PH，且|OE|＝|PH|，故|PH|＝2|OE|＝.6．经过椭圆＋＝1的右焦点的直线l交抛物线y2＝4x于A、B两点，点A关于y轴的对称点为C，则·＝________.答案　－5解析　由椭圆＋＝1知右焦点为(1,0)，当直线l的斜率为0时，不符合题意，故可设直线l的方程为x＝my＋1.由得y2－4my－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－4，∴x1x2＝·＝1. 由题意知C(－x1，y1)，∴·＝(x2，y2)·(－x1，y1)＝－x1x2＋y1y2＝－1－4＝－5.7．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．答案　9解析　抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)．准线为x＝－1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9.8．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点(1，)在该椭圆上．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．解　(1)由题意可得e＝＝，又a2＝b2＋c2，所以b2＝a2.因为椭圆C经过点(1，)，所以＋＝1，解得a＝2，所以b2＝3，故椭圆C的方程为＋＝1.化简得18t4－t2－17＝0，即(18t2＋17)(t2－1)＝0，解得t＝1，t＝－(舍去)，又圆O的半径r＝＝，所以r＝，故圆O的方程为x2＋y2＝.9．已知椭圆C的长轴左，右顶点分别为A，B，离心率e＝，右焦点为F，且·＝－1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若P是椭圆C上的一动点，点P关于坐标原点的对称点为Q，点P在x轴上的射影点为M，连接QM并延长交椭圆于点N，求证：∠QPN＝90°.(1)解　依题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则A(－a,0)，B(a,0)，F(c,0)，由e＝＝，得a＝c.①由·＝－1，得(c＋a,0)·(c－a,0)＝c2－a2＝－1.②联立①②，解得a＝，c＝1，所以b2＝1，故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.因为点P，N在椭圆上，所以x＋2y＝2，x＋2y＝2，⑥把⑥代入⑤，得kPQkPN＋1＝＝0，即kPQkPN＝－1，所以∠QPN＝90°.易错起源1、圆锥曲线的定义与标准方程例1、(1)△ABC的两个顶点为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC周长为18，则C点轨迹方程为(　　)A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)(2)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.答案　(1)D　(2)【变式探究】(1)已知双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为(　　)A.－＝1 B.－＝1C.－＝1 D.－＝1(2)抛物线y2＝4x上的两点A，B到焦点的距离之和为8，则线段AB的中点到y轴的距离为________．答案　(1)B　(2)3解析　(1)由抛物线x2＝24y得焦点坐标为(0,6)，∵双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点相同，∴c＝6，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，又双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，∴＝，即b＝a，又∵c2＝a2＋b2，∴a2＝9，b2＝27，∴双曲线的标准方程为－＝1.故选B.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义及题意知，x1＋1＋x2＋1＝8，∴x1＋x2＝6.∴线段AB的中点到y轴的距离为3.【名师点睛】 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．【锦囊妙计，战胜自我】1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)；(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．易错起源2、圆锥曲线的几何性质例2　(1)椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线方程为(　　)A．y＝±3x B．y＝±2xC．y＝±(＋1)x D．y＝±(－1)x答案　(1)－1　(2)C易得直线BC的斜率为，cos∠CF1F2＝，又由双曲线的定义及|BC|＝|CF2|可得|CF1|－|CF2|＝|BF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a⇒|BF2|＝4a，故cos∠CF1F2＝＝⇒b2－2ab－2a2＝0⇒()2－2()－2＝0⇒＝1＋，故双曲线的渐近线方程为y＝±(＋1)x.【变式探究】(1)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则椭圆C的离心率为(　　)A. B. C. D.(2)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a＋，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是(　　)A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－，0)∪(0，) D．(－∞，－)∪(，＋∞)答案　(1)D　(2)A由－＝1可知A(a,0)，F(c,0)．易得B，C.∵kAB＝＝，∴kCD＝.∵kAC＝＝，∴kBD＝－.∴lBD：y－＝－(x－c)，即y＝－x＋＋，【名师点睛】 (1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．【锦囊妙计，战胜自我】1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝；(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．易错起源3、直线与圆锥曲线例3、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且右焦点F到直线l：x＝－的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若|PC|＝2|AB|，求直线AB的方程．解　(1)由题意，得＝且c＋＝3，解得a＝，c＝1，则b＝1，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)当AB⊥x轴时，|AB|＝，又|CP|＝3，不合题意．当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入椭圆方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，则x1,2＝，则P点的坐标为，从而|PC|＝.因为|PC|＝2|AB|，所以＝，解得k＝±1.此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.【变式探究】(1)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围为(　　)A．[－，] B．[－2,2]C．[－1,1] D．[－4,4](2)设椭圆C：＋＝1与函数y＝tan的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是________．答案　(1)C　(2)[，]解析　(1)由题意知抛物线的准线为x＝－2，∴Q(－2,0)，显然，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，当k＝0时，x＝0，此时交点为(0,0)，当k≠0时，Δ≥0，即[4(k2－2)]2－16k4≥0，解得－1≤k<0或0