高考第一轮复习数学：9.2直线与平面平行.doc

高考数学精品复习资料 2019.59.2 直线与平面平行●知识梳理1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行.●点击双基1.设有平面α、β和直线m、n，则m∥α的一个充分条件是A.α⊥β且m⊥β B.α∩β=n且m∥n C.m∥n且n∥α D.α∥β且mβ答案：D2.（2004年北京，3）设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ ③若m∥α，n∥α，则m∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βA.①② B.②③ C.③④ D.①④解析：①②显然正确.③中m与n可能相交或异面.④考虑长方体的顶点，α与β可以相交.答案：A3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定解析：设α∩β=l，a∥α，a∥β，过直线a作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b，β∩γ=c，则a∥b且a∥c，∴b∥c.又bα，α∩β=l，∴b∥l.∴a∥l.答案：C4.（文）设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS=8，BS=9，CD=34，①当S在α、β之间时，SC=_____________，②当S不在α、β之间时，SC=_____________.解析：∵AC∥BD，∴△SAC∽△SBD，①SC=16，②SC=272.答案：①16 ②272（理）设D是线段BC上的点，BC∥平面α，从平面α外一定点A（A与BC分居平面两侧）作AB、AD、AC分别交平面α于E、F、G三点，BC=a，AD=b，DF=c，则EG=_____________.解析：解法类同于上题.答案：5.在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.解析：连结AM并延长，交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F重合为一点，且该点为CD的中点E，由==得MN∥AB，因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.答案：平面ABC、平面ABD●典例剖析【例1】 如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE.证法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足（如上图），连结PQ.∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ.又NQ= BN=CM=MP，∴MPQN是平行四边形.∴MN∥PQ，PQ平面BCE.而MN平面BCE，∴MN∥平面BCE.证法二：过M作MG∥BC，交AB于点G（如下图），连结NG.∵MG∥BC，BC平面BCE，MG平面BCE，∴MG∥平面BCE.又==，∴GN∥AF∥BE，同样可证明GN∥平面BCE.又面MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCE.又MN平面MNG.∴MN∥平面BCE.特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.【例2】 如下图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E=C1F.求证：EF∥平面ABCD.证法一：分别过E、F作EM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，连结MN.∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC.∴EM∥BB1，FN∥BB1.∴EM∥FN.又B1E=C1F，∴EM=FN.故四边形MNFE是平行四边形.∴EF∥MN.又MN在平面ABCD中，∴EF∥平面ABCD.证法二：过E作EG∥AB交BB1于点G，连结GF，则=.∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴=.∴FG∥B1C1∥BC.又∵EG∩FG=G，AB∩BC=B，∴平面EFG∥平面ABCD.而EF在平面EFG中，∴EF∥平面ABCD.评述：证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行.【例3】 已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.（1）求证：直线MN∥平面PBC；（2）求直线MN与平面ABCD所成的角.（1）证明：∵P—ABCD是正四棱锥，∴ABCD是正方形.连结AN并延长交BC于点E，连结PE.∵AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶ND.又∵BN∶ND=PM∶MA，∴EN∶AN=PM∶MA.∴MN∥PE.又∵PE在平面PBC内，∴MN∥平面PBC.（2）解：由（1）知MN∥PE，∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角.设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角.由正棱锥的性质知PO==.由（1）知，BE∶AD=BN∶ND=5∶8，∴BE=.在△PEB中，∠PBE=60°，PB=13，BE=，根据余弦定理，得PE=.在Rt△POE中，PO=，PE=，∴sin∠PEO==.故MN与平面ABCD所成的角为arcsin.思考讨论证线面平行，一般是转化为证线线平行.求直线与平面所成的角一般用构造法，作出线与面所成的角.本题若直接求MN与平面ABCD所成的角，计算困难，而平移转化为PE与平面ABCD所成的角则计算容易.可见平移是求线线角、线面角的重要方法.●闯关训练夯实基础1.两条直线a、b满足a∥b，bα，则a与平面α的关系是A.a∥α B.a与α相交 C.a与α不相交 D.aα答案：C2.a、b是两条异面直线，A是不在a、b上的点，则下列结论成立的是A.过A有且只有一个平面平行于a、b B.过A至少有一个平面平行于a、bC.过A有无数个平面平行于a、b D.过A且平行a、b的平面可能不存在解析：过点A可作直线a′∥a，b′∥b，则a′∩b′=A.∴a′、b′可确定一个平面，记为α.如果aα，bα，则a∥α，b∥α.由于平面α可能过直线a、b之一，因此，过A且平行于a、b的平面可能不存在.答案：D3.（2004年全国Ⅰ，16）已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.在上面结论中，正确结论的编号是__________.（写出所有正确结论的编号）解析：A1D与BC1在平面ABCD上的射影互相平行；AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直；DD1与BC1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点.答案：①②④4.已知Rt△ABC的直角顶点C在平面α内，斜边AB∥α，AB=2，AC、BC分别和平面α成45°和30°角，则AB到平面α的距离为__________.解析：分别过A、B向平面α引垂线AA′、BB′，垂足分别为A′、B′.设AA′=BB′=x，则AC2=（）2=2x2，BC2=（）2=4x2.又AC2+BC2=AB2，∴6x2=（2）2，x=2.答案：25.如下图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，侧面PBC内有BE⊥PC于E，且BE= a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.解：在面PCD内作EG⊥PD于G，连结AG.∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥PD.∴CD∥EG.又AB∥CD，∴EG∥AB.若有EF∥平面PAD，则EF∥AG，∴四边形AFEG为平行四边形，得EG=AF.∵CE==a，△PBC为直角三角形，∴BC2=CE·CPCP=a，====.故得AF∶FB=2∶1时，EF∥平面PAD.6.如下图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PD上的点，且=，求证：直线MN∥平面PBC.分析：要证直线MN∥平面PBC，只需证明MN∥平面PBC内的一条直线或MN所在的某个平面∥平面PBC.证法一：过N作NR∥DC交PC于点R，连结RB，依题意得====NR=MB.∵NR∥DC∥AB，∴四边形MNRB是平行四边形.∴MN∥RB.又∵RB平面PBC，∴直线MN∥平面PBC.证法二：过N作NQ∥AD交PA于点Q，连结QM，∵==，∴QM∥PB.又NQ∥AD∥BC，∴平面MQN∥平面PBC.∴直线MN∥平面PBC.证法三：过N作NR∥DC交PC于点R，连结RB，依题意有==，∴=，=+ + =.∴MN∥RB.又∵RB平面PBC，∴直线MN∥平面PBC.培养能力7.已知l是过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，（1）求证：D1B1∥l；（2）若AB=a，求l与D1间的距离.（1）证明：∵D1B1∥BD，∴D1B1∥平面ABCD.又平面ABCD∩平面AD1B1=l，∴D1B1∥l.（2）解：∵D1D⊥平面ABCD，在平面ABCD内，由D作DG⊥l于G，连结D1G，则D1G⊥l，D1G的长即等于点D1与l间的距离. ∵l∥D1B1∥BD，∴∠DAG=45°.∴DG=a，D1G===a.探究创新8.如下图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1、B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.（1）求证：EM∥平面A1B1C1D1；（2）求二面角B—A1N—B1的正切值；（3）设截面A1BMN把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V1、V2（V1＜V2），求V1∶V2的值.（1）证明：设A1B1的中点为F，连结EF、FC1.∵E为A1B的中点，∴EFB1B.又C1MB1B，∴EFMC1.∴四边形EMC1F为平行四边形.∴EM∥FC1.∵EM平面A1B1C1D1，FC1平面A1B1C1D1，∴EM∥平面A1B1C1D1.（2）解：作B1H⊥A1N于H，连结BH.∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BH⊥A1N.∴∠BHB1为二面角B—A1N—B1的平面角.∵EM∥平面A1B1C1D1，EM平面A1BMN，平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N，∴EM∥A1N.又∵EM∥FC1，∴A1N∥FC1.又∵A1F∥NC1，∴四边形A1FC1N是平行四边形.∴NC1=A1F.设AA1=a，则A1B1=2a，D1N=a.在Rt△A1D1N中，A1N== a，∴sin∠A1ND1==.在Rt△A1B1H中，B1H=A1B1sin∠HA1B1=2a·= a.在Rt△BB1H中，tan∠BHB1===.（3）解：延长A1N与B1C1交于P，则P∈平面A1BMN，且P∈平面BB1C1C.又∵平面A1BMN∩平面BB1C1C=BM，∴P∈BM，即直线A1N、B1C1、BM交于一点P.又∵。