新1曲线积分与曲面积分习题答案.doc

第十一章 曲线积分与曲面积分第一节 对弧长的曲线积分1.选择题：(1)对弧长的曲线积分的计算公式Lf(x,y)ds f[ (t), (t)b 2(t) 2(t)dt 中要(A) (B)(C)(2)设光滑曲线L的弧长为，则6ds(B)(A) ( B) 6 (C)12L2.计算下列对弧长的曲线积分：(1) (x y)ds，其中 L 为求 (C) •LI)以0(0,0), A(1,0), B(1,1)为顶点的三角形的边界;II )上半圆周x2 y2 R2 ；(xy)ds(x y)ds(x y)ds(x y)dsLOAABBO101xdx (101y)dy 02 \ 2xdx12 .222II )(xLy)ds 0(RcostRsint) (x)2(y)2dt2 2R [sint cost]0 2R解：I)⑵ yds，其中L为y2 2x上点(2,2)与点(1, —2)之间的一段弧;L解：2 2yds _r.1 (x)2dy 尹 1 y2dyLH(1 y2)3/2]2 2 3('莎 27)3 3*(3)(x2y2)ds，其中 为螺旋线 x a cost, y a sint,z bt ;解:*(4)解:ds(0 t(x22 2 2 2 2 2 2y )ds 0 a (a sin t a cos ta2 dt 2 a%/a20—2y2ds，其中L为x2LL的极坐标方程为r 2sinb2y22y ；■_r2 (r )2d。

• x2 y2dsL22rdr r2 (r )2d24 sin d 81/22b2) dt，则r \ 4sin2 4cos2 d第二节对坐标的曲线积分1 •填空题(1) 对坐标的曲线积分的计算公式LP(x,y)dx Q(x,y)dy= {P[ (t), (t)] (t) Q[ (t), (t)] (t)}dt中，下限 对应于L的 始 点，上限 对应于L的终 点;(2) 第二类曲线积分 l P(x, y)dx Q(x, y)dy化为第一类曲线积分是 _L[P(x, y)cos dx Q(x, y)cos Ids ，其中，为有向光滑曲线 L在点(x, y)处的 切向量 的方向角.2•选择题：(1)对坐标的曲线积分与曲线的方向 —(B) (A)无关， (B)有关；⑵ 若P(x, y) , Q(x, y)在有向光滑曲线L上连续，则 (A) _(A) L P(x, y)dx Q(x, y)dy LP(x,y)dx Q(x, y)dy ,(B) L P(x, y)dx Q(x,y)dy LP(x, y)dx Q(x, y)dy.3 •计算下列对坐标的曲线积分： *(4) y2dx xydy zxdz,其中 为从点 O(0,0,0)到点 C(1,1,1)，沿着(1)(X2 y2)dx，其中L为从点A(0,0)经上半圆周L(x 1)2I )直线段；II )有向折线OABC ,这里的O、A、B、C 依次为点(0,0,0)、(y0)到点B(1,1)的一段弧;L 的方程为1 (x 1)2x: 0(1,0,0)、(1,,,0)、(1,1,1)x22 1 2y2)dx 0[x2 1 (x1)2]1xdx 10解：I)的参数方程为1，则⑵xdyL解:xdyL⑶Lx2yLydx，其中L为y1ydx 1 xg|2xdx2x上从点B(1,1)到点A( 1,1)的一段弧;1原式=0(t2 tt2)dtx2dx\2dx1II)OA:1;AB:t 1;y3xdy，其中L为y21所围成区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；BC:1.2解：L1: x y , y :11 1,则2 3?lX ydx y xdy1 5 51 (y5g2y y5)dyx2ydx y3xdy x2 ydx y3xdyL1 L21 3 1 6 41y dy 1 2y dy 7原式=OAy2dx xydyAB BCzxdz1tdt01tdt 10第五节 对坐标的曲面积分⑵ (x+1)dydz ydzdx dxdy，其中 为x y z 1在第一卦限的1.(1)选择题对坐标的曲面积分与曲面的方向(A)无关 (B)有关已知 R(x, y, z)dxdy存在，则(B)部分且取法线的方向与 解：由已知得，平面与 等腰直角三角形，故1 1 y原式=dy (20^0、2.(1)R(x,y,z)dxdy+ R(x, y, z)dxdy(A) 0 ( B)2 R(x,y,z)dxdy(A)计算下列对坐标的曲面积分：y2)zdxdy，其中 为曲面z 1 x2 y2在第一卦限部分的(x2上侧•解：由1 x2 y20Dxy {( x, y)|0知，在xoy面的投影区域为:-12x ,0 x 1} {(r, )|0 r 1,0原式=(x2Dxyy2)(1x2y2)dxdy02d 0r2(1『)rdr—(1 丄)—2 4 6 24Z轴的夹角为锐角• x,y轴的夹角也为锐角,在三坐标面上的投影为1z)dz 0dx1 x0 (1 x1z)dz 0 dxx 4dy3*3 .把xdydz ydzdx (x z)dxdy化为对面积的曲面积分，其中 为平面2x2y z2第一卦限部分的上侧.解：因取上侧，故法向量rn与z轴正向夹角为锐角，方向余弦为cos2,cos32,cos3-,从而3原式=2 11 1 1x z)dS - (3x 2y z)dS3 3 3第六节Gauss公式*通量与散度1.利用高斯公式计算下列曲面积分：3 _ 2(1) 一 (x yz)dydz 2x ydzdx zdxdy,其中 为平面x 0, y 0,z 0,x 1, y 1, z 1围成的立方体 的表面外侧;解：由Gauss公式，得2 2 1 1 1 2 4原式= (3x 2x 1)dxdydz Qdz o dy o(x 1)dx*(3) xdydz ydzdx zdxdy，其中 为上半球面 z pa2 x2 y2的上侧；2 2 2解：设1为z 0( x +y a)的下侧， 与1围成的闭区域为 ，由Gauss公式，得3 ° xdydz ydzdx zdxdy 3dxdydz 2 a ,1而 ° xdydz ydzdx zdxdy 0，故原式=2 a19,z 0,z 1 所⑵ o(x y)dxdy x(y z)dydz，其中由 x2 y2围空间闭区域 的整个边界曲面的外侧;解：由Gauss公式，得原式二 (y z)dxdydz3rdr010(rsinz)dz2d r(r sin0 0 '1 2)dr 90 (sin；)d。