
数列——等差数列.pdf
6页-- 等差数列总复习 【考情解读】 1.理解等差数列的概念; 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式; 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题; 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系. 【重点知识梳理】 1.等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示. 数学语言表达式:an+1-an=d(n∈N*,d为常数), 或an-an-1=d(n≥2,d为常数). 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d. 通项公式的推广:an=am+(n-m)d(m,n∈N*). (2)等差数列的前n项和公式 Sn=n(a1+an)2=na1+n(n-1)2d(其中n∈N*,a1为首项,d为公差,an为第n项). 3.等差数列及前n项和的性质 (1)若a,A,b成等差数列,则A叫做a,b的等差中项,且A=a+b2. (2)若{an}为等差数列,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*). (3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为m d的等差数列. (4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列. (5)S2n-1=(2n-1)an. (6)若n为偶数,则S偶-S奇=nd2;若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项). 4.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn=d2n2+a1-d2n. 数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数). 5.等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最-- -- 小值. 【高频考点突破】 考点一 等差数列的性质及基本量的求解 1.设 Sn为等差数列{an}的前 n 项和,S8=4a3,a7=-2,则 a9=( ) A.-6 B. -4 C.-2 D.2 2. (2014·浙江卷)已知等差数列{an}的公差 d>0.设{an}的前 n 项和为 Sn, a1=1, S2·S3=36. ①求 d 及 Sn; ②求 m,k(m,k∈N*)的值,使得 am+am+1+am+2+…+am+k=65. 规律方法 (1)一般地,运用等差数列性质,可以化繁为简、优化解题过程.但要注意性质运用的条件,如 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*),只有当序号之和相等、 项数相同时才成立. (2)在求解等差数列基本量问题中主要使用的是方程思想,要注意公式使用时的准确性与合理性,更要注意运算的准确性.在遇到一些较复杂的方程组时,要注意整体代换思想的运用,使运算更加便捷. 【变式探究】 (1)设数列{an}, {bn}都是等差数列, 且 a1=25, b1=75, a2+b2=100,则 a37+b37等于( ) A.0 B.37 C.100 D.-37 (2)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数列的项数为( ) A.13 B.12 C.11 D.10 (3)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=10,S20=30,则 S30=________. -- -- 考点二 等差数列的判定与证明 1.若数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=12. (1)求证:1Sn成等差数列;(2)求数列{an}的通项公式. 规律方法 证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种:一是定义法,证明 an-an-1=d(n≥2,d 为常数);二是等差中项法,证明 2an+1=an+an+2.若证明一个数列不是等差数列,则只需举出反例即可,也可以用反证法. 【变式探究】 已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 a3·a4=117,a2+a5=22. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn=Snn+c,是否存在非零实数 c 使得{bn}为等差数列?若存在,求出 c 的值;若不存在,请说明理由. -- -- 考点三 等差数列前 n 项和的最值问题 1.等差数列{an}的首项 a1>0,设其前 n 项和为 Sn,且 S5=S12,则当 n 为何值时,Sn有最大值? 规律方法 求等差数列前 n 项和的最值,常用的方法:(1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项;(2)利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值;(3)将等差数列的前 n 项和 Sn=A n2+Bn(A,B 为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值. 【变式探究】 (1)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a5+a7=4,a6+a8=-2,则当 Sn取最大值时,n 的值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 (2)设数列{an}是公差 d<0 的等差数列,Sn为前 n 项和,若 S6=5a1+10d,则 Sn取最大值时,n 的值为( ) A.5 B.6 C.5 或 6 D.11 (3)已知等差数列{an}的首项 a1=20,公差 d=-2,则前 n 项和 Sn的最大值为________. -- -- 【真题感悟】 1.【2015 高考新课标 1,文 7】已知是公差为 1 的等差数列,为的前项和,若,则( ) (A) (B) (C) (D) 2.【2015 高考陕西,文 13】中位数为 10 10 的一组数构成等差数列,其末项为 2015,则该数列的首项为________ 3.【2015 高考福建,文 16】若 是函数 的两个不同的零点, 且 这三个数可适当排序后成等差数列, 也可适当排序后成等比数列,则 的值等于________. 4.【2015 高考浙江,文 10】已知是等差数列,公差不为零.若,,成等比数列,且,则 , . 5. (2014·安徽卷)数列{an}是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列,则 q=________. 6. (2014·北京卷) 若等差数列{an}满足 a7+a8+a9>0, a7+a10<0, 则当 n=________时,{an}的前 n 项和最大. 7. (2014·福建卷)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,S3=12,则 a6等于( ) A.8 B.10 C.12 D.14 {}nanS{}nan844SS10a1721921012, a b 20,0f xxpxq pq, , 2a b pq nad2a3a7a1221aa1a d -- -- 8. (2014·湖北卷)已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)记 Sn为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n+800?若存在,求 n 的最小值;若不存在,说明理由. 9. (2014·湖南卷)已知数列{an}满足 a1=1,|an+1-an|=pn,n∈N*. (1)若{an}是递增数列,且 a1,2a2,3a3成等差数列,求 p 的值; (2)若 p=12,且{a2n-1}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{an}的通项公式. 。












