高中数学竞赛标准教材(第五章数列).doc

高中数学竞赛标准教材 (第五章数列)第五 数列一、基础知识定义 1 数列，按顺序给出的一列数，例如 1，2，3，…，n，… 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作 a1, a2, a3,…，an 或 a1, a2, a3,…，an…其中 a1 叫做数列的首项，an是关于 n 的具体表达式，称为数列的通项定理 1 若 Sn 表示 {an}的前 n 项和，则 S1=a1, 当 n1 时，an=Sn-Sn-1定义 2 等差数列，如果对任意的正整数 n，都有 an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d 叫做公差若三个数 a, b, 成等差数列，即 2b=a+，则称 b 为 a 和的等差中项，若公差为 d, 则 a=b-d, =b+d定理 2 等差数列的性质：1）通项公式 an=a1+(n-1)d；2）前 n 项和公式：Sn= ；3）an-a=(n-)d，其中 n, 为正整数；4）若 n+=p+q，则 an+a=ap+aq；）对任意正整数 p, q，恒有 ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若 A，B 至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条是Sn=An2+Bn定义 3 等比数列，若对任意的正整数 n，都有 ，则{an}称为等比数列，q 叫做公比。

定理 3 等比数列的性质：1）an=a1qn-1 ；2）前 n 项和 Sn，当 q 1时，Sn= ；当 q=1 时，Sn=na1；3）如果 a, b, 成等比数列，即b2=a(b 0)，则 b 叫做 a, 的等比中项；4）若+n=p+q，则 aan=apaq定义 4 极限，给定数列{an}和实数 A，若对任意的 0，存在，对任意的 n ，则称 A 为 n→+∞时数列{an}的极限，记作 定义 无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比 q 满足|q|1，则称之为无穷递增等比数列，其前 n 项和 Sn 的极限（即其所有项的和）为 （由极限的定义可得） 定理 3 第一数学归纳法：给定命题 p(n)，若：（1）p(n0) 成立；（2）当 p(n)时 n=成立时能推出 p(n)对 n=+1 成立，则由（1） ， （2）可得命题 p(n)对一切自然数 n≥n0 成立竞赛常用定理定理 4 第二数学归纳法：给定命题 p(n)，若：（1）p(n0) 成立；（2）当 p(n)对一切 n≤的自然数 n 都成立时（≥n0）可推出 p(+1)成立，则由（1） ， （2）可得命题 p(n)对一切自然数 n≥n0 成立。

定理 对于齐次二阶线性递归数列 xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程 x2=ax+b 的两个根为 α,β:(1)若 α β，则 xn=1an-1+2βn-1，其中 1, 2由初始条 x1, x2 的值确定； (2)若 α=β，则 xn=(1n+2) αn-1，其中 1, 2的值由 x1, x2 的值确定二、方法与例题1．不完全归纳法 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明例 1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明） ；1）0，3，8，1，24，3，…；2）1， ，19，6，…；3）-1，0，3，8，1，…解】1）an=n2-1 ；2）an=3n-2n ；3）an=n2-2n例 2 已知数列{an}满足 a1= ,a1+a2+…+an=n2an, n≥1，求通项an【解】 因为 a1= ,又 a1+aa2,所以 a2= ，a3= ,猜想 (n≥1)证明；1）当 n=1 时，a1= ，猜想正确2）假设当 n≤时猜想成立当 n=+1 时，由归纳假设及题设，a1+ a1+…+a1=[(+1)2-1] a+1,，所以 =(+2)a+1, 即 =(+2)a+1,所以 =(+2)a+1,所以 a+1= 由数学归纳法可得猜想成立，所以 例 3 设 01，数列{an}满足 an=1+a, an-1=a+ ，求证：对任意 n∈N+,有 an1【证明】 证明更强的结论：1an≤1+a1) 当 n=1 时，1an≤1+a，则当 n=+1 时，有由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。

2．迭代法数列的通项 an 或前 n 项和 Sn 中的 n 通常是对任意 n∈N 成立，因此可将其中的 n 换成 n+1 或 n-1 等，这种办法通常称迭代或递推例 4 数列{an}满足 an+pan-1+qan-2=0, n≥3，q 0，求证：存在常数，使得 an+ 【证明】 (-qan)+ =+an(pqn+1+qan)]=q( )若 =0，则对任意 n, + =0，取=0 即可若 0，则{ + }是首项为 ，公式为 q 的等比数列所以 + = qn取 即可综上，结论成立例 已知 a1=0, an+1=an+ ，求证：an 都是整数，n∈N+【证明】 因为 a1=0, a2=1，所以由题设知当 n≥1 时 an+1an又由 an+1=an+ 移项、平方得①当 n≥2 时，把①式中的 n 换成 n-1 得 ，即②因为 an-1an+1，所以①式和②式说明 an-1, an+1 是方程 x2-10anx+ -1=0 的两个不等根由韦达定理得 an+1+ an-1=10an(n≥2)再由 a1=0, a2=1 及③式可知，当 n∈N+时，an 都是整数3．数列求和法数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。

例 6 已知 an= (n=1, 2, …)，求 S99=a1+a2+…+a99【解】 因为 an+a100-n= + = ，所以 S99= 例 7 求和： +…+ 【解】 一般地， ，所以 Sn= 例 8 已知数列{an}满足 a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn 为数列 的前n 项和，求证：Sn2证明】 由递推公式可知，数列{an}前几项为1，1，2，3， ，8，13因为 ， ①所以 ②由①-②得 ，所以 又因为 Sn-20, 所以 Sn, 所以 ，所以 Sn2，得证4．特征方程法例 9 已知数列{an}满足 a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求 an【解】 由特征方程 x2=4x-4 得 x1=x2=2故设 an=(α+βn)2n-1，其中 ，所以 α=3，β=0，所以 an=32n-1例 10 已知数列{an}满足 a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通项 an【解】 由特征方程 x2=2x+3 得 x1=3, x2=-1,所以 an=α(-1)n，其中 ，解得 α= ，β ，所以 3]．构造等差或等比数列例 11 正数列 a0,a1,…,an,…满足 =2an-1(n≥2)且 a0=a1=1，求通项。

解】 由 得 =1，即 令 bn= +1，则{bn}是首项为 +1=2，公比为 2 的等比数列，所以 bn= +1=2n，所以 =（2n-1）2，所以 an= a0= 注： 1n 例 12 已知数列{xn}满足 x1=2, xn+1= ,n∈N+, 求通项解】 考虑函数 f(x)= 的不动点，由 =x 得 x= 因为 x1=2, xn+1= ,可知{xn} 的每项均为正数又 +2≥ ，所以 xn+1≥ (n≥1)又Xn+1- = = , ①Xn+1+ = = , ②由①÷②得 ③又 0，由③可知对任意 n∈N+， 0 且 ,所以 是首项为 ，公比为 2 的等比数列所以 ，所以 ，解得 注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义三、基础训练题1． 数列{xn}满足 x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中 Sn 为{xn}前 n 项和，当 n≥2 时，xn=_________2 数列{xn} 满足 x1= ，xn+1= ,则{xn}的通项 xn=_________3 数列{xn} 满足 x1=1，xn= +2n-1(n≥2)，则{xn} 的通项xn=_________4 等差数列 {an}满足 3a8=a13，且 a10, Sn 为前 n 项之和，则当 Sn 最大时， n=_________等比数列{an}前 n 项之和记为 Sn,若 S10=10，S30=70，则S40=_________6 数列{xn}满足 xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn，则 S100=_________7 数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1 则|a1|+|a2|+…+|a10|=_________8 若 ，并且 x1+x2+…+ xn=8，则 x1=_________9 等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，若 ，则 =_________10 若 n!=n(n-1)…21, 则 =_________11．若{an}是无穷等比数列，an 为正整数，且满足 a+a6=48, lg2a2lg2a6+ lg2alg2a6=36，求 的通项。

12．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，数列{ }是公比为 q的等比数列，且 b1=1, b2=, b3=17, 求：（1）q 的值；（2）数列{bn} 的前 n 项和 Sn四、高考水平训练题1．已知函数 f(x)= ，若数列{an}满足 a1= ，an+1=f(an)(n∈N+)，则 a2006=_____________2．已知数列{an}满足 a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，则{an}的通项 an= 3 若 an=n2+ , 且{an}是递增数列，则实数 的取值范围是__________4 设正项等比数列{an}的首项 a1= , 前 n 项和为 Sn, 且 210S30-（210+1）S20+S10=0，则 an=_____________已知 ，则 a 的取值范围是 ______________6．数列{an}满足 an+1=3an+n(n ∈N+) ，存在_________个 a1 值，使{an}成等差数列；存在________个 a1 值，使{an} 成等比数列7．已知 (n ∈N+) ，则在数列{an}的前 0 项中，最大项与最小项分别是____________8．有 4 个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中 16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为____________9 设{an}是由正数组成的数列，对于所有自然数 n, an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项，则 an=____________10 在公比大于 1 的等比数列中，最多连续有__________项是在100 与 1000 之间的整数11．已知数列{an}中，an 0，求证：数列{an}成等差数列的充要条是（n≥2）①恒成立。

12．已知数列{an}和{bn}中有 an=an-1bn, bn= (n≥2), 当 a1=p, b1=q(p0 且an+bn=1（ n∈N） ；（ 2）求证：an+1= ；（3）求数列 13．是否存在常数 a, b, ，使题设等式 1(n+1)2= (an2+bn+)对于一切自然数 n 都成立？证明你的结论五、联赛一试水平训练题1．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于 3，且各项和为 972，这样的数列共有_________个2．设数列{xn} 满足 x1=1, xn= ，则通项 xn=__________3 设数列{an}满足 a1=3, an0，且 ，则通项 an=__________4 已知数列 a0, a1, a2, …, an, …满足关系式(3-an+1)(6+an)=18，且 a0=3，则 =__________等比数列 a+lg23, a+lg43, a+lg83。