高中数学第一章导数及其应用1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用学案新人教B版选-7页.pdf

1 / 7 12.1 常数函数与幂函数的导数12.2 导数公式表及数学软件的应用明目标、知重点1. 能根据定义求函数yc，yx，yx2，y1x，yx的导数 .2. 能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数1几个常用函数的导数原函数导函数f(x) c f(x) 0 f(x) x f(x) 1 f(x) x2f(x) 2xf(x) 1xf(x) 1x2f(x) x f(x) 12x2. 基本初等函数的导数公式原函数导函数yc y 0 yxn(nN)ynxn 1yx(x0，0 且Q)yx 1y sin x y cos_xy cos x y sin_xyax(a0，a1)yaxln_ay exy exylogax(a0，a1，x0)y1xln ayln x y1x2 / 7 情境导学 在前面， 我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题探究点一几个常用函数的导数思考 1 类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义法求函数yf(x) 的导函数？利用定义求下列常用函数的导数：yc，yx，yx2，y1x，yx. 答(1) 计算yx，并化简；(2) 观察当x趋近于 0 时，yx趋近于哪个定值；(3)yx趋近于的定值就是函数yf(x)的导函数y 0，y 1，y 2x，y limx0yxlimx01xx1xxlimx01xxx1x2( 其它类同 ) ，y12x. 思考 2 在同一平面直角坐标系中，画出函数y2x，y3x，y4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数(1) 从图象上看，它们的导数分别表示什么？(2) 这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？(3) 函数ykx(k0)增 ( 减) 的快慢与什么有关？答函数y2x，y3x，y4x的图象如图所示，导数分别为y 2，y 3，y 4. (1) 从图象上看，函数y2x，y3x，y4x的导数分别表示这三条直线的斜率(2) 在这三个函数中，y4x增加得最快，y2x增加得最慢3 / 7 (3) 函数ykx(k0)增加的快慢与k有关系，即与函数的导数有关系，k越大，函数增加得越快，k越小，函数增加得越慢函数ykx(k0) 减少的快慢与|k| 有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k| 越大，函数减少得越快， |k| 越小，函数减少得越慢思考 3 画出函数y1x的图象根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1) 处的切线方程答函数y1x的图象如图所示，结合函数图象及其导数y1x2发现，当x0时，随着x的增加，函数减少得越来越慢点(1,1)处切线的斜率为1，过点 (1,1) 的切线方程为yx2. 探究点二基本初等函数的导数公式思考利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？答可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度例 1 求下列函数的导数：(1)ysin3；(2)y5x；(3)y1x3；(4)y4x3；(5)ylog3x. 解(1)y 0；(2)y (5x) 5xln 5 ；(3)y1x3 (x3) 3x4；(4)y (4x3) (34x) 1434x344x；(5)y (log3x) 1xln 3. 反思与感悟对于教材中出现的基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解， 如 sin332是常数， 而常数的导数一定为零，就不会出现 sin3 cos3这样的错误结果二是准确记忆，灵活变形如根式、分式可转化为指数式，然后利用公式求导4 / 7 跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)yx8；(2)y(12)x；(3)yxx；(4)ylog13x. 解(1)y 8x7；(2)y (12)xln 12 (12)xln 2 ；(3) yxxx32，y1232x；(4)y1xln 131xln 3. 例 2 判断下列计算是否正确求ycos x在x3处的导数，过程如下：y|x3 cos3 sin 332. 解错误应为y sin x，y|x3 sin 332. 反思与感悟函数f(x)在点x0处的导数等于f(x) 在点xx0处的函数值在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将x0代入导函数求解，不能先代入后求导跟踪训练2 求函数f(x) ln x在x1 处的导数解f(x) (ln x) 1x，f(1) 1，函数f(x) 在x 1处的导数为1. 探究点三导数公式的综合应用例 3 已知直线l: 2xy40 与抛物线yx2相交于A、B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧?AOB上求一点P，使ABP的面积最大解设P(x0，y0) 为切点，过点P与AB平行的直线斜率ky 2x0，k2x02，x01，y01. 故可得P(1,1) ，切线方程为2xy10. 由于直线l: 2xy40 与抛物线yx2相交于A、B两点，所以 |AB| 为定值，要使ABP5 / 7 的面积最大，只要P到AB的距离最大，故P(1,1) 点即为所求弧?AOB上的点，使ABP的面积最大反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算跟踪训练3 曲线yx33x26x10 的切线中，求斜率最小的切线方程解由题意知：y 3x26x63(x 1)23，当x 1 时，y取最小值为3，即最小的斜率为3. 此时切点坐标为( 1， 14) 斜率最小的切线方程为y143(x1) ，即 3xy110. 1给出下列结论：若y1x3，则y3x4；若y3x，则y133x；若y1x2，则y 2x 3；若f(x)3x，则f(1) 3. 其中正确的个数是( ) A1 B 2 C 3 D 4 答案C 解析y1x3x3，则y 3x 43x4；y3x13x，则y1323x133x；y1x2x2，则y 2x 3；由f(x)3x，知f(x) 3，f(1) 3. 正确6 / 7 2函数f(x) x，则f(3) 等于 ( ) A.36B 0 C.12xD.32答案A 解析f(x) (x) 12x，f(3) 12336. 3设正弦曲线ysin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是 ( ) A0 ，4 34，) B 0 ，)C4，34 D 0 ，4 2，34 答案A 解析(sin x) cos x，klcos x，1kl1，l0 ，4 34，) 4曲线yex在点 (2 ，e2) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_答案12e2解析y (ex) ex，ke2，曲线在点 (2 ，e2) 处的切线方程为ye2e2(x2) ，即ye2xe2. 当x0 时，y e2，当y0 时，x 1. S121| e2| 12e2. 呈重点、现规律 1利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归2有些函数可先化简再应用公式求导如求y 12sin2x2的导数因为y12sin2x2cos x，7 / 7 所以y (cos x) sin x. 3对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化。