数学第二章 函数、导数及其应用 第5讲 函数的单调性与最值配套 理.ppt

第5讲　函数的单调性与最值考纲要求考点分布考情风向标1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.3.会运用函数图象理解和研究函数的性质2011 年新课标第 3 题考查函数的奇偶性和单调性；2012 年新课标第 16 题考查函数奇偶性、最值；2013 年新课标Ⅱ第 12 题考查函数单调性、最值；2014 年新课标Ⅰ第 15 题以分段函数为背景，考查指数函数、幂函数的单调性；2016 年北京、天津考查利用函数单调性求最值；2017 年新课标Ⅱ第 8 题求函数单调区间函数的单调性、奇偶性常与函数的其他性质，如与周期性、对称性相结合求函数值或参数的取值范围，是高考的热点及重点.常与函数的图象及其他性质交汇命题.题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇，则多为解答题1.函数的单调性(续表)前提设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足条件①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得____________结论M 为最大值M 为最小值2.函数的最大(小)值f(x0)＝M)DD1.函数 y＝x2－6x 的单调递减区间是(A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[3，＋∞)D.(－∞，3]2.已知函数 f(x)的值域是[－2,3]，则函数 f(x－2)的值域为()A.[－4,1]C.[－4,1]∪[0,5]B.[0,5]D.[－2,3]3.(2016 年北京)下列函数中，在区间(－1,1) 上为减函数的是()D2考点 1 函数单调性的判断考向 1 利用定义(或性质)判断函数的单调性例 1：(1)(2017 年新课标Ⅱ)函数 f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A.(－∞，－2)C.(1，＋∞)B.(－∞，－1)D.(4，＋∞)答案：D解析：x2－2x－8>0，x<－2或x>4，f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域为(－∞，－2)∪(4，＋∞)，又y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9，当x<1时单调递减， 当x>1时单调递增，所以函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞).故选D.(2)(2017 年广东深圳第二次调研)下列四个函数中，在定义)域上不是单调函数的是(答案：C考向 2 利用导数判断函数的单调性例2：(1)函数f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为(　　)A.(0,4)C.(4，＋∞)B.(0,2)D.(－∞，0)解析：f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0，得00.60.6>0.61.5，即b10.6＝1，即c>1.综上所述，b2 时，f(x)单调递增；当－2＜x＜0 或 0＜x＜2 时，f(x)单调递减.故当 x＝－2 时，f(x)极大值＝f(－2)＝－4；当 x＝2 时，f(x)极小值＝f(2)＝4.∴所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞).∵－1≤cos x≤1，∴当 cos x＝－1 时，2－cos x 有最大值 3.【规律方法】常用的求值域的方法有：①代入法：适用于定义域为有限集的函数；②分离系数法：若函数 y＝f(x)的解析式中含有|x|，x2，sin x，cos x 等元素，又能用 y 表示出来，则利用这些元素的有界性解出 y 的范围；③配方法：适用于二次函数类的函数；⑥换元法：主要处理一些根式类的函数；⑦不等式法：借助于不等式的性质和基本不等式等工具求最值；⑧最值法：通过求导数进而求出最值；⑨求三角函数的值域主要有三条途径：将sin x 或cos x 用所求变量y 来表示，如sin x＝f(y)，再由|sin x|≤1 得到一个关于y 的不等式|f(y)|≤1，从而求得 y 的取值范围.【互动探究】难点突破⊙正确理解函数在区间 A 上单调与 f(x)的单调区间为A 的区别例题：(1)若 f(x)＝x3－6ax 的单调递减区间是(－2,2)，则 a)的取值范围是(A.(－∞，0]C.{2}B.[－2,2]D.[2，＋∞)答案：C(2)若f(x)＝x3－6ax在区间(－2,2)内单调递减，则a的取值范围是()A.(－∞，0]B.[－2,2]C.{2}D.[2，＋∞)答案：D【规律方法】(1)在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域.函数的单调性是对某一个区间而言的.f(x)在区间A 与B上都是增(或减)函数，在 A∪B 上不一定单调.(2)注意f(x)在区间A 上单调递减与f(x)的单调递减区间为A的区别.本题(1)中 f(x)的单调递减区间是(－2,2)是指方程 f′(x)＝3x2－6a＝0的两根为±2；(2)题f(x)在(－2,2)上单调递减是指f′(x)＝3x2－6a≤0在(－2,2)上恒成立.【互动探究】2.已知函数f(x)＝x3＋ax2－2x＋3在区间(1,2)单调递减，则a 的取值范围是____________.。