答案-高中数学必做100题--数学选修1-1.doc

中山市东升高中 书山有路勤为径 1高中数学必做 100 题(选修 1-1)班级： 姓名： （说明：《选修 1-1》部分共精选 12 题， “◎” 表示教材精选， “☆”表示《精讲精练. 选修 1-1》 精选）1. 已知 , , 若 的必要不充分条件，求实数 的取4:23xp22:10()qxmqp是 m值范围. （☆P 6 9）解：∵﹁p 是﹁q 必要不充分条件， ∴ ，即 .……（3 分）q解 得 ，即： . ……（6 分）4:23x210x:210px解 变形为 ，解得 ，1m[()][()]m1mx即 . ……（9 分）:q由 ，则 ，解得 . p209所以实数 的取值范围 ……（12 分）2. 点 与定点 的距离和它到直线 的距离的比是常数 ，求 M 的轨迹.（◎P 41 例(,)Mxy(4,)F25:4lx456） 解：设 是点 到直线 的距离，根据题意得，点 的轨迹就是集合 ，d25:4lxM45Fd……（4 分）由此得 。

将上式两边平方，并化简，得 ……（92()5xy 295xy215xy分）所以，点 M 的轨迹是长轴、短轴长分别为 10、6 的椭圆 ……（12 分）3. 双曲线的离心率等于 ，且与椭圆 有公共焦点，求此双曲线的方程. （◎P 68 4）522194xy解：椭圆 焦点为 ，根据题意得双曲线的焦点为 ，……（3 分）2194xy(,0)F(5,0)F设双曲线的标准方程为 ，且有 ……（6 分）21xyab5c又由 ，得 ，得 ，……（10 分）5cea2241a所求双曲线的方程为 ……（2 分）214xy4. 倾斜角为 的直线 l 经过抛物线 的焦点，且与抛物线相交于 A、B 两点，求线段 AB 的长. 4yx（◎P 61 例 4）解：设 ， 到准线的距离分别为 ，12(,)(,)AxyB,A,ABd由抛物线的定义可知 ，于是 ……（312,BFdxFx12Fx分） 高中数学必做 100 题◆选修 1-1 学海无涯苦作舟 2由已知得抛物线的焦点为 ，斜率 ，所以直线 方程为 ……（6 分）(1,0)Ftan14kAB1yx将 代入方程 ，得 ，化简得 。

由求根公式得1yx24yx2x2610x，……（9 分）123,3于是 所以，线段 AB 的长是 8……（12 分）18AB5. 当 从 到 变化时，方程 表示的曲线的形状怎样变换？02cos1xy解：当 时， ，方程 表示圆心在原点的单位圆……（3 分）cos1当 时， ，方程 表示圆心在原点的单位圆……（5 分）902当 时， ，方程 ，得 表示与 轴平行的两条直线……（7 分）9xy当 时， ，方程 表示焦点在 轴上的双曲线……（9 分）180cs2cos1yx当 时， ，方程 表示焦点在 轴上的等轴双曲线……（12 分）o186. 一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为 52 米，拱顶距离水面 6.5 米.（1）建立如图所示的平面直角坐标系 xoy，试求拱桥所在抛物线的方程；（2）若一竹排上有一 4 米宽 6 米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？解：（1）设抛物线方程 .……（2 分）2xpy由题意可知，抛物线过点 ，代入抛物线方程，得(,5)， 解得 ，263p所以抛物线方程为 . ……（6 分）2104xy（2）把 代入，求得 . ……（9 分）而 ，所以木排能安全通过此桥. ……（12 分）6.50.267. 已知椭圆 C 的焦点分别为 F1（ ，0）和 F2（2 ，0） ，长轴长为 6，设直线 y=x+2 交椭圆 C2于 A、B 两点. 求：（1）线段 AB 的中点坐标； （2）弦 AB 的长.解：设椭圆 C 的方程为 ，由题意 a=3，c=2 ，于是 b= =1. ……（3 分）2xyab2ac∴ 椭圆 C 的方程为 ＋y 2＝1．……（5 分）9联立方程组 ，消 y 得 10x2＋36x ＋27＝0，2x因为该二次方程的判别式 Δ ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，……（9 分）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 x1＋x 2＝ ，故线段 AB 的中点坐标为（ ） ．……（12 分）8591,58. 在抛物线 上求一点 P，使得点 P 到直线 的距离最短, 并求最短距离.4:40lxy解：设与直线 平行，且与抛物线 相切的直线为 .……（3 分）:0lxy2 0xyk由 ， 消 x 得 .……（5 分）2xyk240yko y x中山市东升高中 书山有路勤为径 3∴ ，解得 ，即切线为 .……（7 分）24160k1k10xy由 ，解得点 . ……（9 分）2xy(,2)P∴ 最短距离 .……（12 分）2||31d9. 点 M 是椭圆 上的一点，F 1、F 2 是左右焦点，∠F 1MF2=60º，求△2643xyF1MF2 的面积 .解：由 ，得 a=8，b=6， .……（3 分）21643xy27cab根据椭圆定义，有 .……（5 分）2|||16F在△F 1MF2 中，由余弦定理，得到.21212||||||cosMMFA即 ，……（7 分）1(47) |0，2 2121212112|||||(|)3|||63|||FMFFMAA解得 .……（10 分）48A△F 1MF2 的面积为： .……（12 分）1212|||sin48sin0SFA10. （06 年江苏卷）已知三点 P（5，2） 、 （－6，0） 、 （6，0）. （☆P 21 例 4）12F（1）求以 、 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；（2）设点 P、 、 关于直线 y＝x 的对称点分12F 12F别为 、 、 ，求以 、 为焦点且过点 的双曲线的标准方程。

P'' '1' 解：（1）设所求椭圆方程为 (a>b>0),其半焦距 c=6，……（2 分）2xy……（4 分）212 65aF∴ ,b2=a2-c2=9. 所以所求椭圆的标准方程为 ．　……（6 分）35 219xy（2）点 P(5,2)、F 1(-6,0)、F 2(6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为点 P， (2，5)、F 1， (0，-6)、F 2， (0，6).　 ……（8 分）设所求双曲线的标准方程为 ，由题意知，半焦距 c1=6，121(0,)yxab， ,b12=c12-a12=36-20=16. 2122 45aPF1所以，所求双曲线的标准方程为 ．……（12 分）016yx11. 已知函数 （ 为自然对数的底）. ()xfe（1）求函数 的单调递增区间；F1MO F2 高中数学必做 100 题◆选修 1-1 学海无涯苦作舟 4（2）求曲线 在点 处的切线方程. ()yfx1,()f解： ，因此有……（3 分）()xfxee（1）令 ，即函数 的单调递增区间是 ；……（6 分）0f()fx(1,)（2）因为 ， ，……（9 分）()()2f所以曲线 在点 处的切线方程为yfx1,，即 .……（12 分）ye0ey12. 设函数 .32()fxx（1）求函数 f(x)的单调区间；（2）求函数 f(x)的极大值和极小值.解：∵ f′(x)= －x 2+4x－3=－(x－3)(x－1), ……（2 分）（1）由 f′(x)>0 ，解得：13，则函数 f(x)的单调递增区间为（1, 3） ，单调递减区间为（－ ∞，1）和（3，+∞）. ……（6 分）（2）由 f′(x)=0 ，解得：x =1 或 x=3. 列表如下：……（9 分）x (－∞，1) 1 (1, 3) 3 (3,+ ∞)f′ (x) — 0 + 0 —f(x) 单调递减 ↘ － 43单调递增 ↗ 0 单调递减 ↘∴函数 f(x)的极大值为 0，极小值为－ .……（12 分）13.（06 年福建卷）已知函数 的图象在点 处的切线方程为 .26()axfb(1,)Mf250xy（1）求函数 的解析式；（2）求函数 的单调区间. （☆P 50 8）()yfx)yfx解：（1） ， .……（2 分）6ab22((6)afx又 函数 的图象在点 处的切线方程为 x+2y+5=0， ……（4 分）()fx(1,M250,)2).ff即 ,3ab解 得 (10,)b舍 去所求函数解析式为 .……（6 分）2(3x（2） 解得 ……（8 分）21().)fx()0,f令 123,3.xx当 或 时， 当 时， 3;x2()0.fx在 和 内是减函数，在 内是增函数. 26()fx(,32)(,)(,2……（12 分）14. 已知 a 为实数， ， （1）求导数 ；2()4)(fxxa'()fx（2）若 ，求 在 上的最大值和最小值；'(1)0f,（3）若 在 和 上都是增函数，求 a 的取值范围. （☆P 45 例 3）x,)中山市东升高中 书山有路勤为径 5解：（1）因为 = ，所以 .……（3 分）2()4)(fxxa324xa'2()34fxax（2）由 ，得 ， 此时有 所以 ……（5 分）'1011())(,2f'2()f由 ，得 或 ,又因为 ，'()fx3x509,,(0,37ff所以 在 上的最大值为 ，最小值为 .……（8 分）2,922（3） 的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线.'()4fxax由条件得 即 ，解得 . 所以 的取值范围为 .……（12' ',(),f804a2a2,分）15. （ 2005 年全国卷 III.文）用长为 90cm，宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90°角，再焊接而成（如图） ，问该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少? （☆P 47 例 1）解：设容器的高为 x，容器的体积为 V，……（1 分）则 V=（90-2x） （48-2x ）x， （00 得 x>36 或 x<10 ；令 V′<0 得 10