有限元教案_薄板问题.ppt

薄板问题的有限元法u薄板弯曲的基本方程u薄板矩形单元及其位移函数 u薄板矩形单元的刚度矩阵（单刚）1一、基本假设薄板弯曲的基本方程（1）中面上任一点沿z轴方向产生挠度ω （2）中间弯成曲面，叫做弹性曲面弹性曲面发生双向 弯曲变形，并伴随有扭曲变形 （3）在板的任一横截面上产生横剪力、弯矩和扭矩薄板在垂直中面载荷作用 下的变形和受力状态有如下 特点：平分板厚的中间平面，称作板的中面当板的厚度t远小于中面尺寸时 ，这种板称为薄板2薄板弯曲的基本方程（3）忽略板厚度的微小变化，即忽略法向应力对变 形的影响在薄板小挠度问题中，通常采用下列假设：（1）直法线假设——变形前的中面法线在变形后 仍然是弹性曲面的法线2）板弯曲时，中面不产生应变也就是说，中面 是中性层3二、薄板问题中位移与应变的关系——几何方程挠度是薄板变形的基本参数1. 弹性曲面沿x，y方向的倾角微小矩形ABCD变形前后弹性曲面沿x方向的倾角：弹性曲面沿y方向的倾角：薄板弯曲的基本方程42. 沿x，y方向的位移分量u、v薄板弯曲的基本方程53. Z平面的应变分量：薄板中与中面相距为 Z的平行面，称为z平面薄板弯曲的基本方程64. 弹性曲面的曲率和扭率——弹性曲面在x方向的曲率kx——弹性曲面在y方向的曲率ky——弹性曲面在x和y方向的扭率kxyZ平面的应变可以表示为：其中：薄板弯曲的基本方程7三、应力与应变的关系——物理方程应用弹性方程求薄板的应力和内力。

1. 应力根据假设可以忽略应力 对变形的影响因此由Z平 面的应变求应力时，可采用平面应力状态的弹性方程弹性矩阵说明正应力和剪应力沿板的厚度为直线分布薄板弯曲的基本方程8微小六面体上的应力分布情况薄板弯曲的基本方程92. 弯矩和扭矩由应力分量求内力分量——弯矩和扭矩薄板弯曲的基本方程10薄板弯曲的基本方程11薄板弯曲的基本方程12将带入薄板弯曲的弹性矩阵薄板弯曲的基本方程13应力与内力之间的关系式为：薄板弯曲的基本方程14薄板矩形单元及其位移函数一、结点位移与结点力薄板的一个矩形 单元，四个结点编 码为1，2，3，4 单元尺寸为 2a×2b×t，坐标系 原点取在矩形的中 心O15自由度数 ＝结点位移数 ＝12 平面三角形单元及其位移函数 １．单元的自由度任一结点i有三个 位移分量：16172．结点力结点i的三个结点力分量为：结点i的结点力分量表示为：18单元结点位移向量 ：单元结点力向量 ：单元结点位移和结点力之间的转换关系可以写成：19二．位移函数的选择基本未知量是挠度ω现在选取矩形单元的位移函数— —选取单元内部各点的挠度表示式 20位移函数的性质平面三角形单元及其位移函数 位移函数21（2）位移函数中的二次项代表单元的均匀变形状态。

22（3）位移函数能够保证相邻单元在公共边界上挠度的连续 性 （4）位移函数不能保证相邻单元在公共边界上法线转角的 连续性 （5）关于有限元解的收敛性23用虚功原理来推导薄板矩形单元的单刚 薄板矩形单元的刚度矩阵（单刚）24一、虚功原理（Virtual Work Principle）由虚功原理知：薄板弯曲问题的虚功方程为：薄板矩形单元的刚度矩阵（单刚）25二、结点位移 与位移参数 之间的转换关系将四个结点的坐标值带入位移函数，可得26将上式求逆转得：将上式带入位移函数可得单元内部点的挠度与结点位移 之间的转换关系：形函数27三、由几何方程求弯扭变形 {k}已知：对位移函数求导得：28因为：所以：或：其中：29四、由弹性方程求内力 {M}已知：因为：得：或：其中：30五、单元刚度矩阵虚功方程：或：其中：31。