自控原理离散系统分析课件.ppt

7.4 7.4 离散系统的数学离散系统的数学模型模型1自控原理离散系统分析 内容回顾：内容回顾： Z Z变变换换的的性性质质：：线线性性定定理理、、迟迟后后定定理理（（以以及及超前定理），终值定理超前定理），终值定理 脉脉冲冲传传递递函函数数的的概概念念：：输输出出脉脉冲冲序序列列的的Z Z变变换与输入脉冲序列的换与输入脉冲序列的Z Z变换之比变换之比 脉脉冲冲传传递递函函数数与与哪哪些些因因素素有有关关：：（（系系统统结结构构与参数、采样周期以及采样开关的具体位置）与参数、采样周期以及采样开关的具体位置） 2自控原理离散系统分析7.4.1 脉冲传递函数概念脉冲传递函数概念 1 1 1 1、脉冲传递函数的定义、脉冲传递函数的定义、脉冲传递函数的定义、脉冲传递函数的定义 性定常离散系统中，当初始条件为零时，性定常离散系统中，当初始条件为零时，性定常离散系统中，当初始条件为零时，性定常离散系统中，当初始条件为零时，系统离散输出信号的系统离散输出信号的系统离散输出信号的系统离散输出信号的z z z z变换与离散输入信号的变换与离散输入信号的变换与离散输入信号的变换与离散输入信号的z z z z变换变换变换变换之比，称为离散系统的脉冲传递函数。

之比，称为离散系统的脉冲传递函数之比，称为离散系统的脉冲传递函数之比，称为离散系统的脉冲传递函数c(k) +a1c(k  1)+ a2c(k  2)+…+ anc(k  n) =b0 r(k) +b1r(k  1)+ b2r(k  2)+…+ bmr(k  m)(1 + a1z 1 + a2z 2 +…+ anz  n) C(z) = (b0 + b1z 1 + b2z 2 +…+ bmz m) R(z)3自控原理离散系统分析 2 2、脉冲传递函数的求法、脉冲传递函数的求法 （（1 1）由差分方程求脉冲传递函数）由差分方程求脉冲传递函数 令初始条件为零，对方程两端进行令初始条件为零，对方程两端进行z z变换变换 → → → → 整理整理整理整理 → → → → 脉冲传递函数脉冲传递函数 例例例例1 1 1 1 已知离散系统的差分方程为已知离散系统的差分方程为 c(k+2)  2c(k +1)+ c(k) = Tr(k+1) 试求脉冲传递函数试求脉冲传递函数G G( (z z) )。

解解解解：：：： ( ( z2  2z+1 ) )C(z) = TzR(z)4自控原理离散系统分析例例2 2 2 2 求图示系统的脉冲传递函数求图示系统的脉冲传递函数解：解：得得 c(t)TsTsr(t)（（2 2）由连续部分的传递函数求脉冲传递函数）由连续部分的传递函数求脉冲传递函数5自控原理离散系统分析例例3 求图示系统的脉冲传递函数求图示系统的脉冲传递函数解：解：查查Z变换表变换表，得，得 c(t)TsTsr(t) 由由以以上上例例题题可可见见，，原原连连续续系系统统传传递递函函数数G（（s））的的阶阶次次与与加加入入采采样样开开关关后后的的离离散散系系统统脉脉冲冲传传递递函函数数G（（z））的的阶阶次次完全相同完全相同 6自控原理离散系统分析7.4.2 开环系统的脉冲传递函数开环系统的脉冲传递函数 当当离离散散系系统统中中有有两两个个连连续续环环节节串串联联时时，，他他们们之之间间有有无无采采样样开开关关，，系系统统的的脉脉冲冲传传递递函函数数是是不不同同的7自控原理离散系统分析1.1.连续环节之间有同步采样开关连续环节之间有同步采样开关 结结论论：：被被理理想想采采样样开开关关隔隔开开的的n个个线线性性环环节节串串联联时时，，其其脉脉冲冲传传递递函函数数为为每每个个环环节节所所对应的脉冲传递函数之积对应的脉冲传递函数之积 r (t)c(t)G1(s)G2(s)Tsx(t)G1(z z)G2(z z)TsX(z z)8自控原理离散系统分析2.连续环节之间无同步采样开关连续环节之间无同步采样开关 r (t)c(t)G1(s)G2(s)Tsx(t)G1G2(z)9自控原理离散系统分析例例4解：解： ① ①两环节之间有采样开关时两环节之间有采样开关时两两环环节节串串联联,G1(s)前前有有一一采采样样开开关关,比比较较两两环环节节之之间间有有无无采采样样开开关关时时脉冲脉冲传递传递函数有何区函数有何区别别 。

∴∴ 10自控原理离散系统分析 ② ②两环节之间无采样开关时两环节之间无采样开关时因此因此, ,环节之间有环节之间有﹑﹑无采样开关，两个系统的脉冲传递无采样开关，两个系统的脉冲传递函数往往是不同的，但极点是相同的，只是零点不同函数往往是不同的，但极点是相同的，只是零点不同11自控原理离散系统分析3.带带有零有零阶阶保持器保持器的开环系统的脉冲传递函数的开环系统的脉冲传递函数 上式第二上式第二项项可以写可以写为为 采样后带有零阶保持器的系统的脉冲传递函数为采样后带有零阶保持器的系统的脉冲传递函数为r (t)c(t)G (s)Ts零阶保持器零阶保持器连续环节连续环节R(z z)C(z z)其中其中12自控原理离散系统分析例例5 采样控制系统如图所示，试求其脉冲传递函数采样控制系统如图所示，试求其脉冲传递函数 解解：： 系系统统脉冲脉冲传递传递函数函数为为：： 可见，零阶保持器的引入对系统脉冲传递函数的阶次无影响可见，零阶保持器的引入对系统脉冲传递函数的阶次无影响r (t)c(t)Ts13自控原理离散系统分析4 4．连续信号直接进入连续环节时的脉冲传递函数．连续信号直接进入连续环节时的脉冲传递函数 连续环节连续环节G1（（s）的输入信号为）的输入信号为连续信号连续信号r (t)，输出的连续信号为，输出的连续信号为e (t)。

e (t)经采样开关后得到离散信号经采样开关后得到离散信号e *(t)，，z变换为变换为而连续环节而连续环节G2（（s）输入采样信号）输入采样信号e *(t)，其输出序列的，其输出序列的z变换为变换为 以以上上分分析析表表明明，，若若对对于于某某离离散散系系统统，，当当连连续续信信号号首首先先进进入入连连续续环环节节时时，，该该系系统统无无法法写写出出脉脉冲冲传传递递函函数数的的形形式式，，只能求出输出序列只能求出输出序列C（（z）的表达式的表达式G2(s)r(t)c(t)Tse*(t)E(z z)Tsc*(t) C (z z)G1(s)e(t)14自控原理离散系统分析7.4.3离散控制系离散控制系统统的的闭环闭环脉冲脉冲传递传递函数函数 ★★ 由由于于离离散散控控制制系系统统中中，，既既有有连连续续信信号号的的传传递递,又又有有离离散散信信号号的的传传递递,所所以以在在分分析析离离散散控控制制系系统统时时与与连连续续系系统统分分析析不不同同，，需需要要增增加加符符合合离离散散传传递关系的分析递关系的分析1．采样信号拉氏变换的重要性质．采样信号拉氏变换的重要性质采采样样函函数数的的拉拉氏氏变变换换G*1（（s））与与连连续续函函数数的的拉拉氏氏变变换换G2（（s））相相乘乘后后再再离离散化，则散化，则G*1（（s）可以从离散符号中提出来，即）可以从离散符号中提出来，即与此相比较，若连续信号相乘后再离散化，则有与此相比较，若连续信号相乘后再离散化，则有 15自控原理离散系统分析①①离散系统的典型结构离散系统的典型结构1 1r(t)c(t)G(s)H(s)Tsb(t)e(t)e*(t)2 离散控制系离散控制系统统的的闭环闭环脉冲脉冲传递传递函数函数 ★★ 考考虑虑到离散信号拉氏到离散信号拉氏变换变换的相关性的相关性质质，，则则偏差信号离散化后的偏差信号离散化后的s变换为变换为 16自控原理离散系统分析闭环系统的特征方程：闭环系统的特征方程：开环脉冲传递函数：开环脉冲传递函数： 应当注意：离散系统的闭环脉冲传递函数不应当注意：离散系统的闭环脉冲传递函数不能从对应的连续系统传递函数的能从对应的连续系统传递函数的Z变换直接得到。

变换直接得到17自控原理离散系统分析②②离散控制系统的典型结构离散控制系统的典型结构2e(t)c(t)r (t)Gc(s)G (s)Tsx(t)TsH(s)b(t)由第一个式子由第一个式子18自控原理离散系统分析表表 典型离散控制系统结构图及输出信号典型离散控制系统结构图及输出信号C（（z）） 19自控原理离散系统分析20自控原理离散系统分析21自控原理离散系统分析解解：： 例例6 已知离散控制系统结构如图所示，试计算系统的闭环已知离散控制系统结构如图所示，试计算系统的闭环脉冲传递函数脉冲传递函数e(t)c(t)r (t)TsTsb(t)零阶保持器零阶保持器22自控原理离散系统分析 此此系系统统为为三三阶阶离离散散系系统统，，零零阶阶保保持持器器的的引引入入并不影响系统的阶次并不影响系统的阶次23自控原理离散系统分析结论：结论：1））利利用用z变变换换只只能能求求出出输输出出信信号号离离散散序序列列的的z变变换换，，采采样样开开关关的的不不同同位位置置，，导导致致了了闭闭环环系系统统输输出出C（（z））具具有有不不同同的的形形式式，，若若输输出出信信号号为为连连续续信信号号，，可可以以在在输输出出端端虚虚设设采采样样开开关关表表明明只只能求取输出信号在采样瞬时的值。

能求取输出信号在采样瞬时的值2））当当输输入入信信号号与与第第一一个个连连续续环环节节之之间间（（即即比比较较环环节节之之后后））无无采采样样开开关关时时，，则则应应利利用用输输入入信信号号拉拉氏氏变变换换函函数数R（（s））与与相相连连环环节节传传递递函函数数G1（（s））乘乘积积RG1（（s））的的z变变换换RG1（（z）），，以以求求出出输输出出序序列列的的z变变换换C（（z）），，但但无无法法定定义义Φ（（z））= C（（z））/ R（（z）3））离散系统的脉冲传递函数与连续系统的传递函数作用类离散系统的脉冲传递函数与连续系统的传递函数作用类似，表征离散系统的固有特性，与系统连续部分的结构、参似，表征离散系统的固有特性，与系统连续部分的结构、参数，采样周期，采样开关的具体位置有关数，采样周期，采样开关的具体位置有关 24自控原理离散系统分析4））离离散散系系统统脉脉冲冲传传递递函函数数Φ（（z））与与相相应应的的连连续续系系统统的的闭闭环环传传递递函函数数Φ（（s））具具有有相相似似的的形形式式，，可可以以根根据据Φ（（s））再再考考虑虑离离散散系系统统采采样样开开关关的的位位置置直直接接写写出出离离散散系系统统的的Φ（（z）） ；；当当环环节节G1（（s））与与环环节节G2（（s））之之间间无无采采样样开开关关隔隔开开时时，，利用相连环节传递函数拉氏变换乘积的利用相连环节传递函数拉氏变换乘积的z 变换变换G1G2（（z）。

需需要要注注意意的的是是，，由由于于研研究究的的是是采采样样输输入入与与采采样样输输出出之之间间的的关关系系，，当当输输入入信信号号与与输输出出信信号号之之间间（（前前向向通通道道））无无采采样样开开关关时时，，由由于于输输入入信信号号未未经经采采样样就就流流向向输输出出端端，，则则无无法法利利用用上上述述规规律律直直接接求求系系统统的的输输出出序序列列C（（z）），，必必须须严严格格按按照信号之间的关系求取照信号之间的关系求取C（（z）25自控原理离散系统分析§7.5 离散系统的稳定性分析离散系统的稳定性分析26自控原理离散系统分析7.5.7.5.１１ s s平面与平面与z z平面的映射关系平面的映射关系 在在z z变换定义中已经确定了变换定义中已经确定了z z和和s s变量之间关系如下变量之间关系如下 z = eTs其中其中s s是复变量，可写成是复变量，可写成s =  +j ，所以，所以z z也是复变量也是复变量 z = eTs = eT    e j T写成极坐标形式为写成极坐标形式为z =   z     e j  = eT    e j Ts s的实部只影响的实部只影响z z的模，的模，s s的虚部只影响的虚部只影响z z的相角。

的相角 s s平面与平面与z z平面的映射关系为平面的映射关系为 s s平面平面 z z平面平面    ００ 右半平面右半平面   z    １１ 单位园外单位园外   =００ 虚轴虚轴   z   =１１ 单位园周单位园周    ００ 左半平面左半平面   z    １１ 单位园内单位园内27自控原理离散系统分析0 j  [s]0ReIm [z] s /20 j  [s]0ReIm [z]128自控原理离散系统分析 7.5.2、、z域稳定的充分必要条件域稳定的充分必要条件 离散系统稳定的充分必要条件离散系统稳定的充分必要条件也是它的特征方程的全也是它的特征方程的全部根的模都小于１。

或者说，全部特征根都位于部根的模都小于１或者说，全部特征根都位于z平面以平面以原点为园心的单位园内原点为园心的单位园内 例例1 1 设离散系统如图所示，其中设离散系统如图所示，其中T＝＝0.07( (秒秒) )，试分，试分析该系统的稳定性析该系统的稳定性r(t)c(t)+-100s(s+10) 解：解：由已知的由已知的G(s)可求出开环脉冲传递函数可求出开环脉冲传递函数29自控原理离散系统分析z2 + 3.5z + 0.5 = 0z1 = 0.15 z2 = 3.73因为因为 z2   1，所以该系统是不稳定的所以该系统是不稳定的闭环特征方程为闭环特征方程为7.5.37.5.3、代数判据、代数判据 连续系统中的代数判据连续系统中的代数判据( (劳斯判据劳斯判据) )，是根据特征方，是根据特征方程的系数关系判断其根是否在程的系数关系判断其根是否在s s左半平面，从而确定系左半平面，从而确定系统的稳定性统的稳定性 劳斯判据：特征方程是代数方程劳斯判据：特征方程是代数方程 稳定的边界是虚轴，稳定的区域是复平稳定的边界是虚轴，稳定的区域是复平面的面的左半平面左半平面30自控原理离散系统分析 在离散系统中，在在离散系统中，在z z平面或在平面或在s s半平面都不能直接引半平面都不能直接引用劳斯判据。

用劳斯判据 根据复变函数双线性变换公式，引用下列变换：根据复变函数双线性变换公式，引用下列变换： 令令 z = x + jy w = u + jv或（或（)或或( ()31自控原理离散系统分析当当u＝０时＝０时，对应，对应w平面虚轴，则有平面虚轴，则有x2 + y2 = 1即即z平面单位圆平面单位圆当当u<０时０时，，w平面平面左半平面，左半平面，对应对应z平面单位圆内；平面单位圆内；当当u >０时０时，，w平面平面右半平面，右半平面，对应对应z平面单位圆外平面单位圆外32自控原理离散系统分析 例例2 若已求得采样系统的特征方程式为若已求得采样系统的特征方程式为3z3 +3z2 + 2z + 1 = 0试用试用w平面的劳斯判据判别稳定性平面的劳斯判据判别稳定性解：应用解：应用w变换，令变换，令由于第一列元素由于第一列元素全为正，所以系全为正，所以系统稳定w3 +7w2 + 7w + 9 = 0劳斯表为劳斯表为33自控原理离散系统分析例例3 试确定图示系统稳定的试确定图示系统稳定的K的取值范围的取值范围解：离散系统开环脉冲传递函数为解：离散系统开环脉冲传递函数为 34自控原理离散系统分析系系统统稳稳定定的的充充分必要条件是分必要条件是将将 代入代入35自控原理离散系统分析§7.6 离散系统的时域分析离散系统的时域分析36自控原理离散系统分析7.6.1 离散系统的时间响应过程离散系统的时间响应过程 由时域解求性能指标的步骤：由时域解求性能指标的步骤： （（1 1）由离散系统闭环脉冲传递函数）由离散系统闭环脉冲传递函数 (z)，求出输，求出输出量的出量的z z变换函数变换函数 （（2 2）用长除法将上式展成幂级数，通过）用长除法将上式展成幂级数，通过z z反变换求反变换求得得c*(t) 。

（（3 3）由）由c*(t)给出的各采样时刻的值，直接得出给出的各采样时刻的值，直接得出Mp%、、tr、、tp、、ts等性能指标等性能指标37自控原理离散系统分析 例例4　单位反馈采样系统如图所示，当　单位反馈采样系统如图所示，当T=1s，， 输入为单位阶跃函数时，试求输出响应及动态性能指标输入为单位阶跃函数时，试求输出响应及动态性能指标r(t)c(t)+-1s(s+1)解：根据已知的解：根据已知的G(s)求开环脉冲传递函数求开环脉冲传递函数38自控原理离散系统分析再求闭环脉冲传递函数再求闭环脉冲传递函数C(z) = 0.632z  1 + 1.097z  2 + 1.207z  3 +1.014 z  4 + 0.96z  5 + 0.968 z  6 + 0.99 z  7 + …c*(t) = 0.632 ( t  T) + 1.097 ( t  2T) + 1.207 ( t  3T) + 1.014 ( t  4T) + 0.96 ( t  5T) + 0.968 ( t  6T) + 0.99 ( t  7T) + …39自控原理离散系统分析0 T 2T 3T 4T 5T 6Tc*(t)t1c*(t) = 0.632 ( t  T) + 1.097 ( t  2T) + 1.207 ( t  3T) + 1.014 ( t  4T) + 0.96 ( t  5T) + 0.968 ( t  6T) + 0.99 ( t  7T) + …Mp% =20.7% tr = 2(s) tp = 3(s) ts = 5(s) 连续二阶系统连续二阶系统:Mp% =16.3%，，tr = 2.42(s)，，tp = 3.6(s)，， ts = 5.3(s) 40自控原理离散系统分析解：求开环脉冲传递函数解：求开环脉冲传递函数 例例5　在例　在例4中，增加零阶保持器，采样系统如图示，中，增加零阶保持器，采样系统如图示，T＝＝1(s)，，r(t)=1(t)，试分析系统的性能指标。

试分析系统的性能指标r(t)c(t)+-1s(s+1)ZOH41自控原理离散系统分析再求闭环脉冲传递函数再求闭环脉冲传递函数C(z) = 0.368z  1 + z  2 + 1.4z  3 +1.4z  4 + 1.147z  5 + 0.895z  6 + 0.802z  7 + 0.868z  8 + …c*(t) = 0.368 ( t  T) +  ( t  2T) + 1.4 ( t  3T) + 1.4 ( t 4T) + 1.147 ( t  5T) + 0.895 ( t  6T) + 0.802 ( t  7T) + 0.868 ( t  8T) + 0.993 ( t  9T) + …42自控原理离散系统分析0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7Tc*(t)1tc*(t) = 0.368 ( t  T) +  ( t  2T) + 1.4 ( t  3T) + 1.4 ( t 4T) + 1.147 ( t  5T) + 0.895 ( t  6T) + 0.802 ( t  7T) + 0.868 ( t  8T) + 0.993 ( t  9T) + …Mp% =40% tr = 2(s) tp = 4(s) ts = 12(s) 43自控原理离散系统分析7.6.2 离散系统的稳态误差离散系统的稳态误差 稳态误差也是离散系统分析和设计的一个重要指标。

稳态误差也是离散系统分析和设计的一个重要指标用离散系统理论分析的稳态误差，仍然是指采样时刻的用离散系统理论分析的稳态误差，仍然是指采样时刻的值与连续系统相类似，离散系统的稳态误差可以值与连续系统相类似，离散系统的稳态误差可以由由z 域域终值定理终值定理得到，也可以通过得到，也可以通过系统的类型划分和典型输入系统的类型划分和典型输入信号信号两个方面进行分析两个方面进行分析 １、用终值定理计算稳态误差１、用终值定理计算稳态误差 采用终值定理计算稳态误差，只要采用终值定理计算稳态误差，只要E(z)的极点全部的极点全部严格位于严格位于z平面单位园内平面单位园内 例例6 设离散系统如图设离散系统如图所示，其中所示，其中T = 0.1(s)，输，输入连续信号入连续信号r(t)分别为分别为1(t)和和t，试求离散系统相应的，试求离散系统相应的稳态误差稳态误差r(t)c(t)+-1s(0.1s+1)e(t)44自控原理离散系统分析解解：开环脉冲传递函数误差脉冲传递误差脉冲传递函数函数45自控原理离散系统分析 离散系统的型别根据开环脉冲传递函数离散系统的型别根据开环脉冲传递函数 G(z) 中中 z=1的的极点个数来确定。

极点个数来确定 v=1，，2，，3…，， 分别称为分别称为0型、型、Ⅰ型、型、Ⅱ型等等２、用静态误差系数求稳态误差２、用静态误差系数求稳态误差46自控原理离散系统分析（（1）单位阶跃输入时的稳态误差）单位阶跃输入时的稳态误差0型系统型系统Ⅰ型及以上的系统型及以上的系统令令 位置误差系数位置误差系数47自控原理离散系统分析（（2）单位斜坡输入时的稳态误差）单位斜坡输入时的稳态误差令令 速度误差系数速度误差系数0型系统型系统Ⅱ型及以上系统型及以上系统Ⅰ型系统型系统系统稳态误差为有限值系统稳态误差为有限值48自控原理离散系统分析（（3）单位抛物线输入时的稳态误差）单位抛物线输入时的稳态误差令令 加速度误差系数加速度误差系数0型和型和Ⅰ型系统型系统Ⅲ型及以上系统型及以上系统 Ⅱ型系统型系统系统稳态误差为有限值系统稳态误差为有限值49自控原理离散系统分析 当当离离散散系系统统为为前前图图所所示示的的典典型型系系统统时时，，可可以以直直接接由由此此表表根根据据系系统统的的开开环环脉脉冲冲传传递递函函数数直直接接求求取取在在给给定定信信号号作作用用下下的的稳稳态态误误差差。

如如果果是是其其他他结结构构的的离离散散系系统统，，则则先先求求出出E(z)，，再再根根据据终终值值定定理理求求取取稳稳态态误差 表表2 典型离散系统在不同信号作用下采样瞬时的稳态误差典型离散系统在不同信号作用下采样瞬时的稳态误差50自控原理离散系统分析例例7 7 求图示系统在输入信号为求图示系统在输入信号为r r（（t t））=1+t=1+t，系统的稳态误差系统的稳态误差解：系统连续部分的传递函数为：解：系统连续部分的传递函数为：系统是一型系统，并可判断该系统是稳定的系统是一型系统，并可判断该系统是稳定的 系统开环脉冲传递函数为：系统开环脉冲传递函数为：51自控原理离散系统分析 kp=∞ 因为输入因为输入r(t)=1+t,则根据表可得系统的稳态误差为则根据表可得系统的稳态误差为 由由于于系系统统连连续续部部分分有有积积分分环环节节，，系系统统在阶跃输入作用下的稳态误差为在阶跃输入作用下的稳态误差为052自控原理离散系统分析谢 谢 ！53自控原理离散系统分析。