千题百炼——高考数学100个热点问题(二)：第34炼向量的模长问题几何法.pdf
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第五章第 34 炼 向量的模长问题几何法向量第 34 炼 向量的模长问题几何法一、基础知识：1、向量和差的几何意义：已知向量,a b，则有：（1）若, a b共起点，则利用平行四边形法则求ab，可得ab是以, a b为邻边的平行四边形的对角线（2）若,a b首尾相接，则利用三角形法则求出ab，可得ab，,a b围成一个三角形2、向量数乘的几何意义：对于a（1）共线（平行） 特点：a与a为共线向量， 其中0时，a与a同向；0时，a与a反向（2）模长关系：aa3、与向量模长问题相关的定理：（1）三角形中的相关定理：设ABC三个内角,A B C所对的边为, ,a b c 正弦定理：sinsinsinabcABC 余弦定理：2222cosabcbcA（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线特别的，对于底角60的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形3）矩形：若四边形ABCD的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长二、典型例题：例 1： （2015 届北京市重点中学高三8 月开学测试数学试卷）已知向量,a b的夹角为45，且1,210aab，则b（）A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 3 2思 路 ： 本 题 利 用 几 何 图 形 可 解 ， 运 用 向 量 加 减 运 算 作 出 如 下 图 形 ： 可 知第五章第 34 炼 向量的模长问题几何法向量2,104ABBAC，只需利用余弦定理求出BC即可。
解：如图可得：bBC，在ABC中，有：2222cosACABBCAB BCB即：21042 2cos4BCBC22 260BCBC解 得3 2BC或2BC（舍）所以3 2b，答案：选D例 2： 若平面向量, ,a b c两两所成的角相等， 且1,3abc， 则abc等于（）A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 2或5思路：首先由, ,a b c两两所成的角相等可判断出存在两种情况：一是, ,a b c同向（如图1，此时夹角均为0） ， 则abc为5， 另一种情况为两两夹角23（如图 2） ，以1ab为突破口，由平行四边形法则作图得到ab与,a b夹角相等，1aba（底角为60的菱形性质） ，且与c反向，进而由图得到2abc，选 C 答案： C 例 3：已知向量,a b，且1,2ab，则2ba的取值范围是（）A. 1,3 B. 2,4 C. 3,5 D. 4,6思路：先作出a，即有向线段AB，考虑2ba，将2b的起点与A重合，终点C绕A旋转且24ACb，则2ba即为BC的长度， 通过观察可得C与,A B共线时2ba达到最值所以maxmin25, 23baba，且2ba连续变化，所以2ba的取值范第五章第 34 炼 向量的模长问题几何法向量围是3,5答案： C例 4：设,a b是两个非零向量，且2abab，则ab_ 思路：可知, ,a b ab为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由2abab可知满足条件的只能是底角为60，边长2a的菱形， 从而可求出另一条对角线的长度为32 3a答案：2 3例 5： 已知,a b为平面向量， 若ab与a的夹角为3，ab与b的夹角为4， 则ab（）A. 33 B. 64 C. 53 D. 63思路：可知, ,ab a b为平行四边形的一组邻边及对角线，通过 作 图 和 平 行 四 边 形 性 质 得 ： 在ABD中 ，,34ABaADbABDADB，由正弦定理可得：sinsin64sin3sin3ABADBADABD，即63ab答案： D 例 6：已知,a b是单位向量，且,a b的夹角为3，若向量c满足|2| 2cab，则|c的最大值为（）A.23 B.23 C.72 D.72思 路 ： 本 题 已 知,a b模 长 且 夹 角 特 殊 ， 通 过 作 图 可 得2ba为 模 长 为3， 设第五章第 34 炼 向量的模长问题几何法向量2mcba，则可得2m且2cmba，而m可视为以2ba共起点， 终点在以起点为圆心，2 为半径的圆上。
通过数形结合可得c的最大值为23（此时m的终点位于A点）答案： A 例 7：在ABC中，,3 3,66BABBC，设D是AB的中点，O是ABC所在平面内的一点，且320OAOBOC，则DO的值是（）A. 12 B. 1 C. 3 D. 2思路： 本题的关键在于确定O点的位置， 从而将DO与已知线段找到联系，将320OAOBOC考虑变形为323OAOBOCOAOBOBOCCB，即13OAOBCB，设OEOAOB，则,O D E三点共线，且OEBC，所以由平行四边形性质可得：11126ODOECB答案： B 例 8：已知向量,1ae e，对任意的tR，恒有ateae，则eae的值为_ 思路：本题以ateae作为突破口，通过作图设,ABa ACe，D为直线l上一点，则有ADte从而可得,aeBCateBD，即BDBC，所以C点为直线l上到B距离最短的线段，由平面几何知识可得最短的线段为B到l的垂线段所以BCl，即eae，所以有0eae答案： 0 小炼有话说：本题若用图形解决，找到,ate ae在图上的位置和两个向量的联系是关键第五章第 34 炼 向量的模长问题几何法向量例 9：已知平面向量, ,a b c满足1,2ab，且1a b，若向量,ac bc的夹角为60，则c的最大值是 _ 思 路 ： 由,a b条 件 可 得,a b夹 角的 余 弦 值1cos1202a ba b，若用代数方法处理夹角60的 条 件 ， 则 运 算 量 较 大 。
所 以 考 虑 利 用 图 形 ， 设,ABa ADb ACc， 则,C DbcC Bac， 即60DCB，从 而180DCB，可判定,A B C D四点共圆， 则AC的最大值为四边形ABCD外接圆的直径，即ABD的直径 在ABD中，由 余弦定理可得：2222cos7BDABADAD AB， 所 以7BD， 由 正 弦 定 理 可 得 ：22 12si n3BDdRBAD，即max2 213c答案：2 213小炼有话说： 若条件中向量的夹角为特殊角且很难用数量积，模长进行计算时，可考虑寻找几何图形进行求解例 10： （2010 年，浙江， 16）已知平面向量,0,满足=1，且与的夹角为120，则的取值范围是 _ 思路：本题很难找到与数量积相关的条件，那么考虑利用图形辅助求解从图中可观察到,构成BCD，60C，从而可利用正余弦定理求出即CD的取值范围解 ： 在BCD中 ，由 正 弦定 理 可得 ：sinsinsinsinBDCDCDBCCDBCCDBA第五章第 34 炼 向量的模长问题几何法向量12sinsinsinsin332DBCDBCDBCC而20,3DBCsin0,1DBC22 3sin0,33DBC答案：的取值范围是230,3小炼有话说 ：例题中的部分问题也可采用模长平方的方式，从而转化成为数量积求解。
具体解法如下：例 1：解：222224444cos,10abaa bbba bb22 260bb，解得3 2b例 2：解：2222222abcabca bb ca c, ,a b c夹角相同当, ,a b c同向时，可得225abc，所以5abc当, ,a b c两两夹角23时，可得133,222a bb ca c24abc，所以2abc综上所述：2abc或5例 3：解：222244174cos,178cos,baba baa ba ba b因为cos,1,1a b229 , 2 5ba即23,5ba例 4：解：2abab可得22224ababa b代入2ab得2a b222212ababa b2 3ab第五章第 34 炼 向量的模长问题几何法向量例 8： 解： 以B为原点，BC为x轴建立直角坐标系 所以9 3 36,0 ,22CA， 设,O xy，则93 3,6,22OAxyOBxyOCxy，由320O AO B O C可得：391360249 33 36024xxyy，所以13 3 3,44O因为D为AB中点9 3 3,44D1OD例 9：解：22ateaeateae222221aa ettaa e22210ta eta e对tR恒成立224 210a ea e即24840a ea e2410a e，所以1a e20eaee ae。
