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Taylor公式应用研究姓名：**专业：**学号：**内容提要本文对泰勒公式及其在高等数学上的几个重要应用与技巧进行了探究，比如 在求极限、近似计算、研究函数性质、等式和不等式的证明、求某点处函数的高 阶导数的应用以及求行列式值等上的应用.其中每一应用都给岀了相应的实例， 这样有助于我们加深对每一应用的理解与掌握，进而能够很好地把泰勒公式这一 多功能数学工具应用到解题过程中.关键词：泰勒定理麦克劳林公式应用目录0.引言 31.基础知识 31.1泰勒公式 31.2常见简单函数的泰勒展开式及其应用 51.2.1常见简单函数的泰勒展开式1.2.2简单应用 52.泰勒公式常见的一些应用 62.1求极限 62.2近似计算 72.3探究函简单性质 82.4证明等式与不等式 102.5求某点处函数的高阶导数 112.6求解行列式值 123.参考文献 13Taylor公式应用研究0・引言我们知道只能使用加、减、乘三种运算的多项式是初等函数里最简单的函数, 可想而Z知假如能用多项式函数初近似代替初等超越函数、无理函数以及有理分 式函数，并R又在误差允许范围内的情况下，那么这将对函数值的近似计算以及 函数性态的研究都有着很是重要的意义.由此想到一个函数在满足什么样条件下 才能使用多项式函数来近似代替呢？所求函数与替代它的多项式函数的各项系 数的关系如何呢？两者之间的误差又将怎么样呢？学习了数学分析，我们了解到泰勒公式恰好是利用了一种叫“无限逼近”思 想近似地把某些繁杂的函数表示成了简单的多项式函数，掌握了这种化繁为简的 思想对于我们分析和研究其他数学问题就像搬运重物时使用的一个有力杠杆.1 •基础知识1.1泰勒公式（1）带有佩亚诺（Peano）型余项的泰勒公式对于一个函数/（兀）若能满足以下两个条件：① 在点兀）的某领域〃（心）有直到斤-1阶的连续函数导数；② 广匕）存在・则门兀）可以表示为:广U。
)n\fM = /(x0) + / (x-x0)+ ' (X一x0)2 +(x -xQ)n + o((x - x0)w), x e 17 (x0)（2）带有拉格朗日（Lagrange）型余项的泰勒公式我们知道对于带有佩亚诺型余项的泰勒公式，需要引起注意的有两点：其一, 适用范围很小，它只适用于那些“白变量x必须充分接近于点心”的函数，即带 有佩亚诺型余项的泰勒公式只“在小范I韦I内”刻画了函数/（%）;由此我们更想 “在大范围内”也能那样做；其二，得到的误差o（（x-x0D也应该有清晰、明 确的表达式，那样才便于我们求解•从这以上两个方面做进一步的研究，我们很容易得到一下的结果:① 函数/（兀）在闭区间b］上有直到n阶的连续函数；② 函数/（%）在开区间（a,b）内有〃 +1阶导数.贝IJ对于兀，兀o 至少存在一点,使得fM = /（%（））+ / （兀_兀（））+ / （兀_兀（））2 + •••+/ ¥" （x_x（））" + Rn（x）.5)泰勒定理又称泰勒中值定理，上式即称作/O）在点兀0处泰勒公式，Pn (兀)=f (兀0)+ f (兀 _ 兀0)+ f 第)(兀一兀0)2 + …+ ' f)(X _ X() )" •S + 1)!称为/⑴在点兀。
处的泰勒多项式，Rn =尸"⑷忆）（% _兀（）严称为门朗在点兀处泰 勒公式的余项，另外若= x0 + 0（x-xo）,O < < 1.在刃=0时，泰勒定理即为拉格朗日中值定理•泰勒公式在珀）=0时又变为g "0） +晋“学宀…+ 丁八心⑴,心⑴=孚譽严n\1! 2! n\ （n + 1）!上式称作(带有拉格朗日型余项的)麦克劳林公式.1・2常见简单函数的泰勒展开式及其应用1- 2. 1常见简单函数的泰勒展开式(1)护=1 +兰+兰+…+兰+ o(兀").1! 1! nl(2)sinx = x-3! 5!2殊-1n-1 (2/1-1)!+ o(x2n).(3)cosxl-兰+*2!r6 r2n4!才…+ "而(4)Y： Y' Ynln(l + x) = x ——+ + (_ 1广二 + ).2! 3! n\(5)(l + M)Jl + ,M + ^^F+・・・ + 'Mj"57 + l)r+oX).2!n\(6)1 ? =1 + x + x +••• + xn + o(兀")• I — X1. 2. 2简单应用例1求下列函数的况阶展开(1) /(x) = xex,xQ =0; (2) y = Inx,x0 = 2.解：(1)因为f(n)(x) = ex伙+兀)，所以所以…。
)+钞+牛宀…+—+M)1! 2! n\“ +兰+ 兰 +…+ -^+(" + 1 +如/严,0<"l. 1! 2! (n-1)! '…(/? + !)!(2)由于Inx = ln[2 + (x-2)] = In2 + ln(l +x + 2 "T"）又宀("占(-2)”,Inx = In[2 + (x-2)] = ln2 + ln(l +21 1 9= ln2 + -(x-2)-—-(x-2)2+...2 2-22+ (—1)心x — 2(兀一2)“+)").求函数的展开式关键是求出高阶导数并写出余项，可以用前面求高阶导数的 知识、方法和技巧来完成•这种间接法展开则是一种常用方法，结合给出的展开 式、四则运算以及导数运算就可解决，这样就简化了计算过程.2. 泰勒公式常见的一些应用2.1求极限很多吋候我们需耍对极限进行化简运算,而这时如果我们试着用泰勒展开式来代替原来的难以化简的单项式，使其转变为类似多项式的有理式极限，或许就 能起到事半功倍的效果比如下面的例了:例2.求极限lim竺乂分析：上式是9型的极限,可用我们学习过得洛必达法则这种常用求解极限 02的方法來求解此题，但显然过程复杂不易求解，若将COSI 丁勺两者分别运用泰勒公式展开,则就能化简此比式型极限.2 4 2解：由 cos X = 1 - — + — + r?（x4）,（X 0）,用-二代替 2. 1.2. 1 节公式（1）2! 4! 2中的兀，便得厂=1-才 + + + 卅）,（20）则得极限lim竺肯心0 r4/. cosx-^ 2=limxtO討+。
小x4二亠12112在利用泰勒公式求解极限问题时，常可使用麦克劳林公式，以及附带使用佩亚诺型余项来解决，遇到分式型极限式时，此时只需将分了、分母展成同阶的麦克劳林公式，再通过比较便可求出此极限.2. 2近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算，比如利用.f(切的麦克劳林展开式得到函数的近似计算式如卜•式:g(0) + f(0)占宀…+亠〃其中误差是余项/?〃(x)・例3.计算幺的值，使其误差不超过10".解：= 由严⑷⑴二几得到/ = l + x+二+..•+=+上 2!n\ (n +1)!xn+l ,0 v & v 1,兀 w (-oo,+oo)e9故心(1)=＜」一，当〃 =9时，便有(/2 + 1)! 5 + 1)!/?9(1)<-10! 3628800-—<10~6有:日+1+丄…丄+2! n! (/? +1)!从而略去他(1)而求得的近似值为S1 + 1 + 2 + * …+ 訂 2.718285可以得出：当所求式子为不易求的准确值的算式时，此时应用泰勒公式能求 解岀其近似的值，由此可以得出泰勒公式是解此类问题的-•种不错的方法.而且 在解题的过程中，突破了查表和应用微分求近似值的局限•计算更加精确，可以 满足在精密仪黠设计过程中的计算需要.2. 3探究函数性质例4•若函数/(x)在区间［0, 1］上存在2阶导数，且在点a g (0,1)可以满足0 )不妨设厂(兀0)>0,于是存在J>0,使得兀V兀V兀°+5时厂(兀0)(兀一兀o)>O,从而/(x0)>0；另在满足x0-^ 在 a,b,c 之间，故cr^b^+c2 > 3xn = 3( ) •即得 < ・° 3 3 32. 5求某点处函数的高阶导数若能求解出已知甫数/⑴在某点X处的广')(兀0)*=0,。
