谱估计实验报告.docx

随机过程 第一次大作业 2016 年秋季学期1 / 8谱估计尹凯凯 2012011109（清华大学电子工程系无 37 班）【摘要】 谱分析是信号分析的一种工具功率谱估计就是基于有限的数据寻找信号、随机过程或系统的频率成分它表示随机信号频域的统计特征，有着明显的物理意义，是信号处理的重要研究内容研究随机信号在频域的功率分布情况，即功率谱密度或功率谱，功率谱估计有着广泛的应用关键词】 谱估计 周期图方法 MUSIC 方法 1．谱估计谱估计技术是现代信号处理的一个重要部分，还包括空间谱估计，高阶谱估计等功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内提取被淹没在噪声中的有用信号在一般工程实际中，随机信号通常是无限长的，例如，传感器的温漂，不可能得到无限长时间的无限个观察结果来获得完全准确的温漂情况，即随机信号总体的情况，一般只能在有限的时间内得到有限个结果，即有限个样本，根据经验来近似地估计总体的分布有时，甚至不需要知道随机信号总体地分布，而只需要知道其数字特征，如均值、方差、均方值、相关函数、功率谱的比较精确的情况即估计值。

功率谱估计(PSD)是用有限长的数据估计信号的功率谱，它对于认识一个随机信号或其他应用方面都是重要的，是数字信号处理的重要研究内容之一功率谱估计可以分为经典谱估计( 非参数估计) 和现代谱估计(参数估计) 1.1 背景英国科学家牛顿最早给出了“谱”的概念后来，1822 年，法国工程师傅立叶提出了著名的傅立叶谐波分析理论该理论至今依然是进行信号分析和信号处理的理论基础傅立叶级数提出后，首先在人们观测自然界中的周期现象时得到应用19 世纪末，Schuster 提出用傅立叶级数的幅度平方作为函数中功率的度量，并将其命名为“周期图”（periodogram ） 这是经典谱估计的最早提法，这种提法至今仍然被沿用，只不过现在是用快速傅立叶变换（FFT）来计算离散傅立叶变换（ DFT） ，用 DFT 的幅度平方作为信号中功率的度量周期图法和自相关法都可用快速傅立叶变换算法来实现，且物理概念明确，因而仍是目前较常用的谱估计方法周期图较差的方差性能促使人们研究另外的分析方法现代谱估计主要是针对经典谱估计的分辨率差和方差性能不好的问题而提出的现代谱估计从方法上大致可分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计两种，前者有 AR 模型、MA 模型、ARMA 模型、 PRONY 指数模型等；后者有最小方差方法、多分量的 MUSIC 方法等。

1.2 周期图方法周期图的基本原理是对观测到的数据直接进行傅里叶变换，然后取模的平方就是功率谱取平稳随机信号 的有限个观察点 ，则傅里叶变换为𝑥(𝑛) 𝑥(0)、 𝑥(1)……𝑥(𝑛‒1)，𝑋𝑁(𝑒‒𝑗𝜔)=∑𝑁‒1𝑛=0𝑥(𝑛)𝑒‒𝑗𝜔𝑛进行谱估计；随机过程 第一次大作业 2016 年秋季学期2 / 8𝑃(𝜔)=1𝑁|𝑋𝑁(𝑒‒𝑗𝜔)|2=1𝑁|𝑁‒1∑𝑛=0𝑥(𝑛)𝑒‒𝑗𝜔𝑛|2基本地周期图法可以提高计算效率，不需要计算自相关函数，但谱分辨率较低当数据长度 N 太大时，谱曲线起伏加剧，当 N 太小，谱的分辨率又不好1.3 MUSIC 方法MUSIC 法功率谱估计是基于矩阵特征分解的一种功率谱估计的非参数方法这种谱分析方法把相关数据矩阵的信息分类，把信息分配到信号的子空间或噪声的子空间它适合于普遍情况下的正弦信号参数估计的方法，是多信号分类法的简称MUSIC 法谱估计在偏差和方差可以达到较好的平衡2．问题介绍 随机过程 ；𝑋(𝑡)=10∗sin(0.34𝜋𝑡+𝜃1)+5∗sin(0.36𝜋𝑡+𝜃2)+𝑒(𝑡)， 𝑡=1,2……64是零均值、方差为1的白噪声； 和 是[0, 2π]均匀分布的随机变量， 、 与e(t)三者𝑒(𝑡) 𝜃1 𝜃2 𝜃1 𝜃2相互独立。

请用50 次样本分析下面问题：1）给出周期图方法与MUSIC方法对两个频率的估计值，比较它们对这两个频率的分辨能力；2）改变噪声功率，分析信噪比对两种方法频率分辨能力的影响；3）改变两个正弦波分量的相对强度，分析信号分量相对强度对两种方法频率分辨能力的影响3．结果3.1、 当噪声功率为 ，相对幅值为 2:1（10:5）时：𝜎2=1𝑋(𝑡)=10∗sin(0.34𝜋𝑡+𝜃1)+5∗sin(0.36𝜋𝑡+𝜃2)+𝑒(𝑡)， 𝑡=1,2……64周期图谱和 MUSIC 谱如下：随机过程 第一次大作业 2016 年秋季学期3 / 83.2、相对幅值为 2:1（10:5）不变，改变噪声功率当噪声功率为 ：𝜎2=4𝑋(𝑡)=10∗sin(0.34𝜋𝑡+𝜃1)+5∗sin(0.36𝜋𝑡+𝜃2)+𝑒(𝑡)， 𝑡=1,2……64随机过程 第一次大作业 2016 年秋季学期4 / 8当噪声功率为 ：𝜎2=16𝑋(𝑡)=10∗sin(0.34𝜋𝑡+𝜃1)+5∗sin(0.36𝜋𝑡+𝜃2)+𝑒(𝑡)， 𝑡=1,2……64随机过程 第一次大作业 2016 年秋季学期5 / 8当噪声功率为 ：𝜎2=25𝑋(𝑡)=10∗sin(0.34𝜋𝑡+𝜃1)+5∗sin(0.36𝜋𝑡+𝜃2)+𝑒(𝑡)， 𝑡=1,2……64随机过程 第一次大作业 2016 年秋季学期6 / 83.3、噪声功率 不变，相对幅值为改变𝜎2=1当相对幅值为 20:1（100:5）𝑋(𝑡)=100∗sin(0.34𝜋𝑡+𝜃1)+5∗sin(0.36𝜋𝑡+𝜃2)+𝑒(𝑡)， 𝑡=1,2……64随机过程 第一次大作业 2016 年秋季学期7 / 84．结论与思考1.经过上述的仿真结果可以看出MUSIC 法求出的两个频率分别为0.34pi、0.36pi；周期图不能分辨出两个频率。

因此在频率分辨率方面MUSIC方法比周期图法的频率分辨率高的多2.通过改变噪声功率，逐渐提高信噪比，两种方法的频率分辨能力都会有所下降下降由上图可以看出，当噪声 时，MUSIC方法已经不能分辨 0.34*pi 和0.36*pi 两个频率了𝜎2=25进一步的实验发现，噪声功率上升时，周期图谱法的频率分辨率也降低两者相比较来说在抗噪声的性能上MUSIC法要强于周期图法随机过程 第一次大作业 2016 年秋季学期8 / 83. 改变两个正弦波分量的相对强度， MUSIC法的频率分辨能力变化不明显，但而周期图法的频率分辨能力将下降4.思考3中下降的原因，我们可以这样思考：信号一的幅值相对于二的幅值占得比重越大，周期图法得到的结果会误认为是幅度较大者对应的单频信号5.参考文献《随机过程及其应用》 陆大金 清华大学出版社6.附录Project.m。