第七章实数完备性习题课.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑第七章实数完备性习题课 第七章 实数完备性习题课 一 表达概念和定理 1表达实数完备性定理 1）．确界原理：设S为非空数集，若S有上界，那么S必有上确界；若S有下界，那么S必 有下确界． 推论 有界数集必有上下确界． 2）．单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限． 注 递增有上界的数列极限是上确界；递减有下界的数列极限是下确界． 3）．区间套定理：若??an,bn??是一个区间套，那么在实数系中存在唯一的一点?，使得 ??[an,bn],n?1,2,?. 4）．有限笼罩定理：设H闭区间?a,b?的一个（无限）开笼罩，那么从H中可选出有限 个开区间来笼罩?a,b?． 5）．聚点定理：实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点． 注 （致密性定理） 有界数列必有收敛子列． 6）．柯西收敛准那么：数列?an?收敛的充要条件是：对任给的??0，存在N?0，使得 对m,n?N有am?an??． 注 1） 单调有界定理与柯西收敛准那么通常用于判断数列的收敛性． 2） 确界原理所确定的点，通常是具有或不具有某种性质的分界点． 在什么处境下应用确界定理呢？一般来说，在一个有界数集上要想找到与该数集有特殊关系的数（最大的下界或最小的上界），要使用确界定理，其作用类似闭区间套定理． 3） 区间套定理是把区间上的整体性质收缩为某点的局部性质． 在什么处境下应用闭区间套定理呢？一般来说，证明问题是需要找到具有某种性质P的一个点，往往应用闭区间套定理将这个点“套”出来．怎样应用闭区间套定理呢？首先构造一个具有性质P的闭区间，其次，通常采用二等分法，将此闭区间二等分，至少有一个闭区间具有性质P，然后持续使用二等分法，得到得志闭区间套定理条件的和具有性质P的闭区间列．根据闭区间套定理，就得到唯一一个具有性质P的点． （注：此性质P是所找点的本质属性） 4） 有限笼罩定理主要用于把局部性质扩展为整体性质． 在什么处境应用有限笼罩定理呢？一般来说，假设我们已知在闭区间?a,b?的每一点的某个邻域内都具有性质P，任一点的邻域所成之集S??x??x,x??x?x??a,b?笼罩 ???a,b?，为了将性质P扩展到整个闭区间?a,b?，这时用有限笼罩定理能将笼罩?a,b?的无 限个邻域转化为有限个邻域．总之，要想将闭区间每一点的局部性质扩展到整个闭区间，往往要用有限笼罩定理． 5） 聚点定理（致密性定理）一般是将数列过渡到子列． 首先需要构造有界数列，然后由致密性定理，存在收敛的子列． 2．表达?为点集S聚点的定义： 1）设S为数轴上的点集，?为定点（它可以属于S，也可以不属于S）．若?的任何邻域内都含有S中无穷多个点，那么称?为点集S的一个聚点． 2) 对于点集S，若点?的任何?邻域内都含有S中异于?的点，即U(?;?)?S??， ?那么称?为S的一个聚点． 3)若存在各项互异的收敛数列?xn??S，那么其极限limxn??称为S的一个聚点． n??3．表达?不是点集S聚点的定义： 设S是数集，在U(?;?0)中至多包含S中有限多个点． ?不是S的聚点?存在?0?0，二 疑难问题留神事项 1．区间套定理假设把闭区间改成开区间，结果成立吗？ 答： 不确定，如??0,??，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个?0,??1????n???1??1????0,?，n?1???n?且lim(?0)?0，但只有数0???lim0?limn??n??1n??1??1?可以作为，但0不属于该区间 ???0,?．n??n??n?注 对于开区间列有以下结果： 设??an,bn??是一个严格开区间套，即得志 a1?a2??an?bn???b2?b1， 且lim(bn?an)?0．那么存在唯一的一点?，使得 n??an???bn,n?1,2,?. 2．若[an,bn]?[an?1,bn?1],n?1,2,?，但lim(bn?an)?0，此时应有什么结论呢？ n??答： 由[an,bn]?[an?1,bn?1]知?an?递增有上界b1，依单调有界定理知，?an?有极限 ?1，且有an??1．同理，递减有下界的数列?bn?也有极限?2，且?2?bn，又由于an?bn， 由极限保不等式性与lim(bn?an)?0知?1??2，那么对任意的?，只要?1????2，就有?n??属于全体的闭区间[an,bn]． 3．点集S的聚点确定属于S吗？ 答： 不确定，点集S的聚点可以属于S，也可以不属于S，例如若S为开区间?a,b?，那么?a,b?内每一点以及端点a,b都是S的聚点，但a,b不属于S． 4．设S是有界数集，那么supS，infS是S的聚点吗？ 答： 一般处境下，当supS?S时，它可能不是数集S的聚点，例如S?但它不是聚点． 当supS?S时，由36页的结论存在严格递增数列?xn??S，使得limxn?supS，依 n??1，supS?1，n据聚点的等价定义，可知supS是S的聚点． 5．在有限笼罩定理中当?a,b?改为?a,b?，结论还成立吗？ 答：不确定成立，例如，开区间集合????1??,1??(n?1,2,?)构成了开区间(0,1)的一个n?1????开笼罩，但不能从中选出有限个开区间盖住(0,1)． 1）分析 ?x??0,1?，要使x??大时是成立． 证 ?x??0,1?，当n充分大时（n?11?1?，即需要n??1，当n充分,1?，只要x?n?1x?n?1?11?1?,1?． ，就有x?，即x???1时） xn?1?n?1?2）反证法，设????1??,1??(n?1,2,?)中能选出有限个开区间（对应有限个n）盖住 ??n?1???1??1?,1?中，,1?在这有限个n中选取最大的为N，这些有限区间都含在?那么?(0,1)， ?N?1??N?1?中能笼罩(0,1)，冲突． 6．若函数f在?a,b?上连续，能保证f在?a,b?上有界吗？ 答： 函数f在?a,b?上连续反例：f(x)?f在?a,b?上有界． 11在?0,1?连续，但f(x)?在?0,1?上无界． xxx?ax?bf(x)，limf(x)存在?f在?a,b?上有界． 注 函数f在?a,b?上连续，lim??注 函数f在?a,b?上连续f在?a,b?上有最大值最小值． 7．试总结确界定理的应用． 答 确界原理所确定的点，通常是具有或不具有某种性质的分界点． 在什么处境下应用确界定理呢？一般来说，在一个有界数集上要想找到与该数集有特殊关系的数（最大的下界或最小的上界），要使用确界定理． 构造适合的点集E，使得E确实界即为需证命题中的数． (1)证明根的存在定理：f(x)在?a,b?上连续， f(a)?0， f(b)?0，若定义 E?xf(x)?0,x??a,b? ????infE，那么有f(?)?0． (2)证明有界性定理：设 E?xf(t)在?a,x?上有界,x?(a,b??， 若证得supE?b,即得f(x)在?a,b?上有界． 8．试总结区间套定理的应用． 答 应用区间套定理的关键是针对要证明的数学命题，恰当地构造区间套．一方面，闭区间列??an,bn??得志（i）[an,bn]?[an?1,bn?1],n?1,2,?;(ii)lim(bn?an)?0，另一 n???方面，也是最重要的，要把欲证命题的本质属性留存在区间套的每一个闭区间中．前者是区间套定理本身条件的要求，保证诸区间[an,bn](n?1,2,?)唯一存在公共点?；后者那么把证明整个区间[a,b]上所具有某性质的问题归结为?点邻域U(?,?)的性质，完满实现“整体”向“局部”的转化． 在什么处境下应用闭区间套定理呢？一般来说，证明问题是需要找到具有某种性质P的一个点，往往应用闭区间套定理将这个点“套”出来．怎样应用闭区间套定理呢？首先构造一个具有性质P的闭区间，其次，通常采用二等分法，将此闭区间二等分，至少有一个闭区间具有性质P，然后持续使用二等分法，得到得志闭区间套定理条件的和具有性质P的闭区间列．根据闭区间套定理，就得到唯一一个具有性质P的点． （注：此性质P是所找点的本质属性） (1)证明柯西准那么：对于柯西列?an?构造区间套??an,?n??使得在每个?an,?n?外只有数列?an?中有限项，区间套的公共占?即为?an?的极限． (2)证明聚点定理：设S为有界无限点集，S??a,b?，把区间?a,b?二等分，其中必有一子区间包含数集中无限多个点，持续上述步骤，可得区间套??a,b??，其公共点?即为S的聚点． (3)证明有限笼罩定理：用反证法．若闭区间不能用有限个区间笼罩，把区间二等分， 其中必有一子区间不能用有限个开区间笼罩，由此可构造区间套，其公共点?属于某个开区间，从而导致区间套中某区间可以用一个开区间笼罩的冲突． (4)证明根的存在定理：设f(a)?0,f(b)?0,用二等分区间的方法构造区间套 ??an,?n??，使得f(an)?0,f(bn)?0,即f(x)在区间?an,bn?的两个端点上异号，区间套的 公共点?必得志f(?)?0. 9．试总结有限笼罩定理的应用． 答 有限笼罩定理的妙处在于将“无限”化为“有限”，把局部性质推广成整体性质，它的好处在以后的应用中我们会看到．在什么处境应用有限笼罩定理呢？一般来说，假设我们已知在闭区间?a,b?的每一点的某个邻域内都具有性质P，任一点的邻域所成之集 S???x??x,x??x?x??a,b??笼罩?a,b?，为了将性质P扩展到整个闭区间?a,b?，这时 用有限笼罩定理能将笼罩?a,b?的无限个邻域转化为有限个邻域．总之，要想将闭区间每一点的局部性质扩展到整个闭区间，往往要用有限笼罩定理． 根据证明要求构造无限开笼罩，由有限笼罩定理选出有限开笼罩以达成需证的要求． (1)证明有界性定理：应用连续函数的局部有界性，?x??a,b?存在领域U(x;?x)，使得在此领域上，f(x)?Mx，其中Mx是与x有关的常数， H??U(x;?x)x??a,b?? 为?a,b?的无限开笼罩．由H中可选出有限个邻域笼罩?a,b?，然后易证f的有界性． (2)证明一致连续性定理：应用连续性， ???0，?x??a,b?,??x?0,?x'?U(x;?x),f(x')?f(x)??.取 ???H??U(x;x)x??a,b?? 2??为?a,b?的无限笼罩，然后利用有限笼罩定理证明一致连续性． 10．试总结致密性定理的应用． 答 聚点定理（致密性定理）一般是将数列过渡到子列． 首先需要构造有界数列，然后由致密性定理，存在收敛的子列．经常在反证法中对选出的有界子列应用致密性定理． (1)证明有界性定理：用反证法，若f(x)在?a,b?上无界，那么存在?xn???a,b?,使得 f(xn)?n， — 9 —。