重要不等式及其运用.doc

重要不等式及其运用教学目标:1．掌握定理的推证；2．能够灵活运用定理证明不等式；3．能够灵活运用定理求解函数的最值问题；4．争取掌握补充内容教学重点难点:灵活运用定理证明不等式和求函数的最值问题一、教材分析:本节所介绍的公式在整个代数中占有重要地位，它不仅用来为证明不等式提供理论依据，还在其它问题的求解中有着广泛的应用，例如求最值问题，求范围问题等主要内容:重要结论1：如果a,bUR,那么总+b-2ab（当且仅当a=b时取“=”号）定理：女口果a,bUR+,那么（当且仅当a=b时取“=”号）重要结论2（补充）:如果a,b,cUR+,那么a3+b3+c3>3ab当且仅当a=b=c时取“=”号）重要结论3（补充）:如果a,b,cUR+,那么a+b+C>^3（当且仅当a=b=c时取“=”号）重要结论4（补充）取“=”号），其中nUN,：如果a1,a2,..,anUR+,那么且n>1当且仅当a】=a2=……=a时12n以上内容有几点说明:①对于结论1，应注意灵活变形：比如…皿=八；如果b>0,那么另夕卜(\a\-\b\f-2\ab\+b2>0=>a2+b2>2\ab\②定理指出：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数，反映了两个数的和与积的重要关系，它是基础,因为它不仅应用广泛，而且了也可由它推出，现证明如下:设a,b,cuR+,，则A>0,且a+b+c=3A,于是>+(^[ab+-[cA)>y[4ab~4cA—,..Z4>abcAA>'•,,可以看出，当且仅当a=b,c=A且，即a=b=c(=A)时取“=”号。

2的几何意义是“半径不小于半弦”即两个正数的算术平，即两个正数1+1均数不小于这两数的调和平均数，显然需要比较的是临与"b的大小12.1—=2=>4ab>1“1abW必1+1ab••ah综上可得出：一p③ 结论2的条件是a,b,cUR+，实际上，由推证过程:a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]>0o只需a+b+c>0即可，但为了使用方便，往往限制a,b,cUR+这一点必须清楚，例如a3+b3+c3>3abc成立的充要条件是:a+b+c>0或a=b=c④ 结论4,设"，本定理反映的是n个(n是大于1的整数)正数的算术平均数A不小于它们的几何平均数Go⑤ 应用不等式证题时，一定要注意条件和“=”的说明，尤其在求函数最值时，“=”号成立与否是很关键的二、重要不等式的应用:例1.设a,b,cUR+，求证：心匸产円耳戸兀^压+宀)/2+n2S2+~2[2+~2分析:本题的难点在于2小C2戏不易处理，如能找出a2+b2与a+b之间的关系，问题就能解决证明：丁a,b,cuR+,a2+b2>2ab,二2(a2+b2)>(a+b)2,同理:##.+护+J护+亡2++中>亠胚(a+鸟+c).例2.若a,b,cUR+，求证(a+b+c)4^(a2+b2+c2)>243a2b2c2o分析:这类不等式可看作是“和的形式>积的形式”经迭乘而成。

a+b+c)4>34-(abcf>0(a+b+c)4(a2+b2+c2)>35(abc)2o(a+b+c)4(a2+b2+c2)>243a2b2c2例3.若a>2,求证诞岛一1)血岛EC分析:两个对数的积不好处理，而和易处理，从而想到重要不等式证明:.a>2,・•・log(a-1)>0,log(a+1)>0,且也(―咤,aa^loga(a-l)'loga(a+1)<叽©1)：1苗册+1)=3-1)<|log3=1.•・loga(a-l)loga(a+l)vlaa2例4.若Ovxv\求x(2-5x)的最大值解：.,..2-5x>0,..当且仅当5x=2-5x,即时，原式有最大值'例5.求函数*+以的最小值(a>0)⑴当01时，令"也(C石)—1a+1厂焜=如+〒=〒在沦&》1为增函数，如也，此时x=0综上可知，01时,min三、课外练习x2~2x+21. 若-4VXV1,贝I」有（）A、最小值1B、最大值1C、最小值-1D、最大值-12. 若x+2y=4,x>0,y>0,则lgx+lgy的最大值为25—+—xy3. 若lgx+lgy=1,贝I」的最小值为。

4. 已知a,b,cUR+,a+b+c=1求证：5. 某游泳馆出售冬季学生游泳卡,每张卡240元并规定不记名,每卡每次只限1人,每天只限1次某班有48名学生,教师准备组织学生集体冬泳,除需要购买若干张游泳卡外,每次去游泳还要包一辆汽车,无论乘坐多少学生,每次的包车费为40元要使每个学生游8次,每人最少交多少钱？参考答案：1.D2.lg23.21.土竺土心土「丄lx2=_r2.,当且仅当x=2y=2时取“=”3.lgx+lgy=1,xy=10,2x-22(x-l)21-x2##4.证明：*.*a,b,cuR+,a+b+c=1a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)13840.5.设购买x张游泳卡，活动开支为y元，则"当且仅当x=8时取“=”号，此时每人最少交80元谈对均值不等式的理解和应用均值不等式是不等式一章中最基础、应用最广泛的灵活因子，它是考查素质、能力的一个窗口，是高考的热点对均值不等式的应用可从以下三个方面着手1通过特征分析，用于证不等式均值不等式：1) 心2+鸟2上加心=心鸟+ab{a,b^应)a+b>2y[ab=+\[ab{a,b^R+")2)两端的结构、数字具有如下特征：1)次数相等；2) 项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等；3) 左和右积。

当要证的不等式具有上述特征时，考虑用均值不等式证明例1.已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.分析：观察要证不等式的两端都是关于a，b，c的3次多项式，左侧6项，右侧6项，左和右积，具备均值不等式的特征证明：丁b2+c2>2bc,a>0,Aa(b2+c2)>2abc同理，b(c2+a2)>2bac,c(a2+b2)>2cab,又Va，b，c不全相等，A上述三个不等式中等号不能同时成立，因此a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc例2.若a，b，cUR+,且a+b+c=l,求证总"匚.分析：由a，b，cUR+,联想均值不等式成立的条件，并把1=a+b+c代换圧°中的“1”，要证不等式变为a+b+c+a+b+c+b+c、、#亦即◎比沖发现互为倒数，已具备均值不等式的特征证明：*.*a,b,cuR+,##*/a+b+c=l,.说明：1）此题的证明方法采用的是综合法用综合法证不等式即由已知不等式推证要证不等式2）在附加条件的变换下，要证的不等式会隐含均值不等式的部分特征，显示其一个或两个特征，这时，仍可考虑用特征分析法，合理选择思路，寻找解决问题的切入点。

2抓条件“一正、二定、三等”求最值由均值不等式2），推证出最值定理及其使用的前提条件：“一正、二定、三等”，求最值时，三者缺一不可例3.已知x,yUR+且9x+16y=144，求xy的最大值分析：由题设一正：x,yUR+,二定:9x+16y=144求积的最大值，可考虑用均值不等式求解解：Jx,yUR+,畫丁=丄乂9匸《（张TO）?兔丄=芥.1442144当且仅当9x=16y，即时，(xy)=36.'7'mQv说明：本题若改为：x,yUR且9x2+16y2=144,求xy的最大值呢？请同学们一试3抓“当且仅当......等号成立”的条件，实现相等与不等的转化在均值不等式中“当且仅当......等号成立”的“当且仅当”是“充要条件”的同义词，它给出了相等与不等的界，是相等与不等转化的突破口例4.在AABC中，若三边a，b，c满足条件（a+b+c）3=27abc，试判定三角形ABC的形状分析：（a+b+c）3=27abc,具有三元均值不等式的结构特征，且属均值不等式的特例（取等号情形），所以有下面解法解：Ta〉b>0,c>0，故有不等式以+色+八期嬴’（见阅读材料），即（a+b+c）3上27abc，当且仅当a=b=c时，上式等号成立，故三角形为等边三角形。

例5.已知x,y,z为正实数，且x+y+z=3,.求x2+y2+z2的值解：由题设得x+->2,y+丄3+232*/x,y,z>0,0+—)+0+—)+0+—)“Xyz此不等式等号成立，当且仅当上述三个不等式的等号同时成立，即,.x2=1,y2=1,z2=1,.x2+y2+z2=3.说明：均值不等式给出了相等、不等的界，即等号成立的条件总之，均值不等式成立的条件，结构特征，积、和为定值，等号成立的条件，是理解应用均值不等式的认知角度同学们要学会观察已知和未知的结构特征、数字特征，认清其区别、联系，联想相关的知识点、方法，寻找解决问题的突破口用基本不等式求最值借助基本不等式：a+b>2\[aba,bWR+；a+b+c13y/ahca,b,cUR+求函数的最大值或最小值，在确保“各项为正”的前提下，还必须满足两点：第一，求和的最小值时，它们的积应为定值；求积的最大值时，它们的和应为定值第二，使上述不等式中的等号成立时的自变量为一个确定的值，且在该函数定义域内要满足上述两点，在运算过程中，必须对式子作适当的恒等变形，方能达到目的本文分析用基本不等式求最值容易产生的错误，并归纳一般方法1．常见致错原因分析例1.若x>0,求的最小值。

解法1：由于3张,故知Pmin=1.min##解法2：X1x=—=—2-说明：以上解法是错误，虽说满足了“积为定值”这个条件，但使等号或立的先决条件：39"却不成立正确解法如下：xAx2x2xx+—=——=——+——33332x时，有说明：以上求解中采用了“变换系数”的办法，使得“第一”，“第二”两个条件都得以满足变换系数”是变形中的常用方法之一丄+丄xy例2.已知x,yUR+,且2x+y=4，求的最小值解法1：由2x+y=4,知y=4-2x.Axe(0,2),x(4—而x(4-2x)在x=1时有最大值2，故有最小值'，所以1+1XV在x=ie(0,2)时，有最小值XV说明：以上解法是错误的其一，》的积不是定值；其二，要取得等号，x=y而当x=y=1时，与条件2x+y=4相悖兰+—194解法2.由2x+y=4，得£4说明：以上解法又是错的这里两次用到基。