高中物理教学论文向量概念与运算(数学)在物理中的应用.pdf

用心爱心专心1 向量概念与运算（数学）在物理中的应用数学中的向量概念及其运算法则，在物理中有广泛的应用把数学与物理沟通，既有利于理解数学，也有利于理解物理，还有利于提高迁移能力与综合能力数学中的向量，物理中叫矢量定义如下：向量（数学）：我们把既有大小又有方向的量叫向量 （全日制普通高级中学教科书（必修） 数学第一册（下） ，人民教育出版社，以下简称数学，第 96 页，黑体字为原书所加，下同，物理同）矢量（物理）：力既有大小，又有方向，力的合成要遵守平行四边形定则在物理学中，象这样的物理量叫做矢量 （全日制普通高级中学教科书（必修）物理第一册，人民教育出版社，以下简称物理第一册，第13 页）而长度、质量、温度、时间、能量等物理量，只有大小，没有方向，在物理学中叫做标量 （同上）物理量有许多矢量，如力F、位移 s、速度 v、加速度a、动量 p、电场强度E、磁感应强度 B 等等标量除上述外还有，如功 W、功率 P、能量 E（包括动能与势能，势能又包括重力势能、弹性势能、分子势能、电势能等）等等矢量与标量物理意义不同，比较大小的方法不同，运算法则也不同矢量的运算法则与数学中的向量相同一、向量的加法与减法力与运动的合成与分解（一）数学中向量的加法：1定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

（ 数学第99 页）2法则：（1）三角形法则：图1 中的两个向量，如图2（教科书图5-7） ，根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则A a B b O A b b a B D a C 图 1 图 2 图 3 （2）平行四边形法则：如图3（教科书图5-8）以同一点A 为起点的两个已知向量a、b 为邻边作 ABCD ，则以 A 为起点的对角线AC就是 a 与 b 的和， 我们把这种作两个向量和的方法叫做 向量加法的平行四边形法则 数学第100 页）（二）数学中向量的减法：1定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法 （ 数学第102 页）2法则：（1）三角形法则：如图5（教科书图5-11） ，a-b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量 （ 数学第102 页）O aA aB b a+b bba-ba a-b D C 图 4 图 5 图 6 （2）平行四边形法则：如图6（教科书图5-14）,ABCD中，ABa,ADb,知用心爱心专心2 DB=AB-ADa-b.（ 数学第103 页）（三）物理中力的合成与分解1力的合成（1）定义：求几个力的合力叫做力的合成 。

2）平行四边形法则：实验表明，如果用表示两个力F1和 F2的线段为邻边作平行四边形，那么，合力F 的大小和方向就可以用这两个邻边之间的对角线表示出来这叫做力的平行四边形定则 （ 物理第12 页）2力的分解（1）定义：求一个已知力的分力叫做力的分解 2）平行四边形法则：把一个已知力F 作为平行四边形的对角线，那么，与力F 共点的平行四边形的两个邻边，就表示力F 的两个分力同一个力F 可以分解为无数对大小、方向不同的分力一个已知力究竟该怎样分解，这要根据实际情况来决定 物理第14 页）比较可知，数学的研究从定义出发，物理的研究从实验出发四）物理中运动的合成与分解1运动的合成与分解（1）定义：在描述演示蜡块在注满水的玻璃管中参与玻璃管的水平运动与上浮运动两个运动的实验后给出：上述实验中红蜡块在竖直方向的运动和随管做的水平方向的运动，通常叫做分运动 ，红蜡块实际发生的运动，通常叫做合运动2）定义： 已知分运动求合运动，叫做 运动的合成 已知合运动求分运动，叫做 运动的分解 （ 物理第84 页）2平抛运动的分解平抛运动可以分解为水平方向和竖直方向上的两个分运动在水平方向（也就是在初速度方向）上物体不受力，物体由于惯性而做匀速直线运动，速度等于平抛物体的初速度。

在竖直方向上物体受到重力的作用，并且初速度为零，物体做自由落体运动 （ 物理第86 页）然后是平抛实验和频闪照片，最后得公式：tvx0221gty0vvxgtvy22yxtvvvxyvvtan（是tv与 x 轴（水平方向）的正方向的夹角） （ 物用心爱心专心3 理第 86 和 87 页）比较可知， 数学的研究方法用逻辑推理，物理的研究方法以应用为主二、向量的数量积力的功（一）数学中向量的数量积1定义：已知两个非零向量a 和 b，它们的夹角为，我们把数量cosba叫做a 与b 的数量积（ 或内积，或点乘积笔者加 ） ，记作a?b， 即a?b=cosba （ 数学第118 页）2几何意义：数量积 a?b 等于 a 的长度a与 b 在 a 上的投影cosb的乘积 数学第119 页）（二）物理中力的功定义： 一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，这个力就对物体做了功F2 F F2F F1 F1 s 图 7 如图 7（教科书图8-2）所示，cosFsW这就是说，力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力和位移的夹角的余弦这三者的乘积 物理第135 页）与数学比较可以得出， 功 W （标量）是力 F(矢量 )与位移 s(矢量 )的数量积，记作：W= F?s，也叫做点乘积，其结果是数量（标量）。

三、向量的向量积安培力与洛仑兹力（一）数学中实数与向量的积定义：实数与向量 a 的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：（1）a=a（2）当0 时，a 的方向与a 的方向相同；当0 时，a 的方向与 a 的方向相反；当=0 时，a=0二）数学中向量的向量积1定义：已知两个非零向量a 和 b，它们的夹角为，我们把向量c 叫做 a与 b 的向量积 （或叉乘积）， 记作 ab， 即 ab=c， 其中 c的大小 为sinba，c 的方向由左手定则确定（左手定则后面介绍） （高中数学教科书没有，笔者根据大学所学知识仿数学中向量的数量积的模式写）2几何意义：向量积ab 等于 a 的长度a与 b 在 a 的法线（垂线）上的投用心爱心专心4 影sinb的乘积同上）（三）物理中的安培力和洛仑兹力1安培力（1）定义：磁场对电流的作用力通常称为安培力 这是为了纪念法国物理学家安培（ 1775-1836） 2）安培力的大小：实验表明：把一段通电直导线放在磁场里，当导线方向与磁场方向垂直时，电流所受的安培力最大；当导线方向与磁场方向一致时，电流所受的安培力最小，等于零；当导线方向与磁场方向斜交时，电流所受的安培力介于最大值和最小值之间。

物理第二册第147 页）导线方向与磁场方向垂直时，公式为BILF（ 物理第二册第148 页）导线方向与磁场方向斜交，夹角为时，公式为BILFsin （笔者加）(3) 安培力的方向：通电直导线所受安培力的方向和磁场方向、电流方向之间的关系，可以用左手定则来判定（图8，教科书图16-17） ：伸开左手，使大拇指跟其余四个手指垂直，并且都跟手掌在一个平面内，把手放入磁场中，让磁感线垂直穿入手心，并使伸开的四指指向电流的方向，那么，大拇指所指的方向就是通电直导线安培力的方向 物理第二册第149 页）图 8 与数学比较可以得出，安培力F 是磁感应强度B 与电流 I 和导体长度L 的积（IL） 的向量积其中，F（安培力）、B（磁感应强度）与电流I 三个物理量是矢量（向量），其字母用黑体；导体长度L 是标量（数量） ，其字母不用黑体电流 I 与导体长度L 的乘积是实数与向量的积，I 相当于 a, L 相当于；B（磁感应强度）与 （IL）的乘积是向量的向量积可以记作：F=B（IL） ，所以也叫做叉乘积3洛仑兹力(1) 定义： （电子射线管） 实验表明， 在没有外磁场时，电子束是沿直线前进的（图9 之上图，教科书图16-22 甲） ，如果把射线管放在蹄形磁铁的两极间，荧光屏上显示的电子束运动的径迹发生了弯曲（图9 之下图，教科书图16-22 乙） 。

这表明，运动电荷确实受到了磁场的作用力，这个力通常叫做洛仑兹力 荷兰物理学家洛仑兹（1853-1928）首先提出了运动电荷产生磁场和磁场对运动电荷有作用力的观点，为纪念他，人们称这种力为洛仑兹力 物理第二册第151 页）用心爱心专心5 图 9 （2）洛仑兹力的方向：洛仑兹力的方向也可以用左手定则来判定：伸开左手，使大拇指跟其余四个手指垂直，且处于同一个平面内，把手放入磁场中，让磁感线垂直穿入手心，四指指向正电荷运动的方向，那么，大拇指所指的方向就是电荷正电荷所受洛仑兹力的方向运动的负电荷在磁场中所受的洛仑兹力，方向跟正电荷受的力相反 （ 物理第二册第152 页）（3）洛 仑 兹 力 的 大 小 ： 将 导 线 中 的 电 流 公 式nqvSI代 入 安 培 力 公 式BILF得LBnqvSF)(，再除以这段导线的电荷数nLS得：洛仑兹力的大小公式：qvBF这就是说，当电荷在垂直于磁场的方向上运动时，磁场对运动电荷的洛仑兹力 F 等于电荷q、速率v、磁感应强度B 三者的乘积 物理 第二册第152 页）如果速度v与磁感应强度B 不垂直而是夹角为，则洛仑兹力的大小公式变为：sinqvBF （笔者加）与数学比较可以得出，洛仑兹力F 是磁感应强度B 与速度 v 和电荷量q 的积（ q v ）的向量积。

其中，F（洛仑兹力） 、v（速度）与B（磁感应强度）三个物理量是矢量（向量），其字母用黑体，q(电荷量 )是标量（数量） ，其字母不用黑体； v（速度）与q（电荷量）的乘积是数量与向量的积， 其中， q 相当于，v相当于 a; B （磁感应强度） 与 （qv） 的乘积是向量的向量积；可以记作： F=B （qv） ，所以也叫做叉乘积需要注意的是，如果q 为正电荷，则（qv）与 v 方向相同；如果 q 为负电荷，则（qv）与 v 方向相反那么，按左手定则，q 为负电荷时的洛仑兹力与q 为正电荷时的洛仑兹力方向相反在学习中，有的同学对F 与位移 s 的乘积功 W 是标量，而磁感应强度B 与导线的长度L 及电流 I 三者的乘积（为力F）0 或电荷 q、速率v、磁感应强度B三者的乘积 （也是力 F）是矢量不理解；对物理量不垂直而斜交其夹角为时， 求功 W 时用cos而求安培力或洛仑兹力F 时用sin不理解，通过物理与数学的对比，就能知道，原来前者是向量的数量积（点乘积），后者是向量的向量积（叉乘积） 在教学中，我们发现，一个学科的老师“客串”另一学科，会获得学生的极大兴趣，例如物理课上，老师介绍物理名词的英语写法和读法（新教科书就是这样做的，可惜的是大部分老师没有体会教科书编写者的意图而对此不加理会）；如用心爱心专心6 果数学老师更多地讲一点物理或物理老师更多地讲一点数学；或者数学、物理老师把数学与物理更好地结合起来讲，学生将更能融会贯通，更有利于综合高考及将来的科学工作。