2011年高考数学试题分类汇编10——数列.doc

第 1 页 共 21 页十、数列一、选择题1． （天津理 4）已知 na为等差数列，其公差为-2 ，且 7a是 3与 9的等比中项， nS为na的前 项和， *N，则 10S的值为A．-110 　　 B．-90 　　 C．90 　 D．110【答案】D2． （四川理 8）数列 na的首项为 3， nb为等差数列且 1(*)nnbaN．若则3b， 102，则 8A．0 B．3 C．8 D．11【答案】B【解析】由已知知 1,2,nna由叠加法213287 81()()()64024603a a3． （四川理 11）已知定义在 0,上的函数 ()fx满足 ()3)ffx，当0,x时，2()fxx．设 在 ,n上的最大值为 (*)nN，且 na的前 项和为 nS，则limnA．3 B．52C．2 D．32【答案】D【解析】由题意1()()3fxfx,在 [,]n上， 21()1 331,(),2(),()()lim3 2nn nnfnffaSS4． （上海理 18）设 {}na是各项为正数的无穷数列， iA是边长为 1,i的矩形面积（1,2i） ，则 A为等比数列的充要条件为A． {}n是等比数列。

第 2 页 共 21 页B． 1321,,na  或 242,,na  是等比数列C．   和   均是等比数列D． 1321,,n  和 242,,n  均是等比数列，且公比相同答案】D5． （全国大纲理 4）设 nS为等差数列 na的前 项和，若 1a，公差 2d，2kS，则 kA．8 B．7 C．6 D．5【答案】D6． （江西理 5） 已知数列{ na}的前 n 项和 nS满足： nmnS，且 1a=1．那么 10=A．1 B．9 C．10 D．55【答案】A7． （福建理 10）已知函数 f（x）=e+x，对于曲线 y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形②△ABC 可能是直角三角形③△ABC 可能是等腰三角形④△ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A．①③ B．①④ C． ②③ D．②④【答案】B二、填空题8． （湖南理 12）设 nS是等差数列 {}na()N，的前 n项和，且 14,7a，则 9= ．【答案】259． （重庆理 11）在等差数列 {}na中， 37，则 2468a__________【答案】7410． （北京理 11）在等比数列{an} 中，a1=12，a4=-4 ，则公比 q=______________；12.naa____________。

— 2 【答案】n11． （安徽理 14）已知 ABC的一个内角为 120o，并且三边长构成公差为 4 的第 3 页 共 21 页等差数列，则 ABC的面积为_______________.【答案】 31512． （湖北理 13） 《九章算术》 “竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共为 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为 升答案】6713． （广东理 11）等差数列 na前 9 项的和等于前 4 项的和．若 14,0ka，则k=____________．【答案】1014． （江苏 13）设 721 ，其中 7531,a成公比为 q 的等比数列，642,a成公差为 1 的等差数列，则 q 的最小值是________【答案】 3三、解答题15． （江苏 20）设Ｍ部分为正整数组成的集合，数列 1}{an的 首 项 ，前 n 项和为 nS，已知对任意整数 kM，当整数 )(2, knkSSkn时 都成立（1）设 52,},1{a求的值；（2）设 }{43n求 数 列 的通项公式本小题考查数列的通项与前 项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，满分 16 分。

解：（1）由题设知，当 112,2()nnSS时 ，即 1()()nnS，从而 12 2,,,()2.naaan又 故 当 时所以 5的值为 82）由题设知，当 {3,4}nknkkMSS且 时 ,1112nknknkSS且 ，两式相减得 111,nknknkaaaa即第 4 页 共 21 页所以当 63368,,,nnnaa时 成等差数列，且 626,,nnaa也成等差数列从而当 8时， 362.nnn（*）且 6 2,8,n naaa 所 以 当 时 ，即 22313.9,n n于 是 当 时 成等差数列，从而 31nn，故由（*）式知 11, .nnnaaa即当 9时，设 .nd当 28,6m时 ，从而由（*）式知 6122mm故 713.ma从而 61132()()maa，于是 1.mad因此， 1nd对任意 2n都成立，又由2({,4})kkSS可知 34()()9162nnkSdS故 且，解得 42173,,.ada从 而因此，数列 {}n为等差数列，由 12.d知所以数列 a的通项公式为 na16． （安徽理 18）在数 1 和 100 之间插入 个实数，使得这 2个数构成递增的等比数列，将这2n个数的乘积记作 nT，再令 ,lgnaT1≥ .（Ⅰ）求数列 {}na的通项公式；（Ⅱ）设 1t,nbA求数列 {}nb的前 项和 nS.第 5 页 共 21 页本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.解：（I）设 21,nll 构成等比数列，其中 ,10,21nt则2nttT①,121n②①×②并利用 得),2(023 nittni .1,2lg,10))( )(211212  nTatT nn（II）由题意和（I）中计算结果，知 .),3tabn另一方面，利用,tan)1t()1ta(nkkk得.tant)1ta(k所以231t)1t(nkkn kbS.1tan)()tt23k17． （北京理 20）若数列 12,.()nnA满足 1(,2.1)nakn，数列 nA为 E数列，记 ()S=a．（Ⅰ）写出一个满足 10s，且 ()sSA〉0 的 E数列 n；（Ⅱ）若 12，n=2000，证明：E 数列 n是递增数列的充要条件是 na=2011；（Ⅲ）对任意给定的整数 n（n≥2 ） ，是否存在首项为 0 的 E 数列 A，使得 S=0？如果存在，写出一个满足条件的 E 数列 nA；如果不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）0，1，2 ，1，0 是一具满足条件的 E 数列 A5答案不唯一，0，1，0 ，1，0 也是一个满足条件的 E 的数列 A5）第 6 页 共 21 页（Ⅱ）必要性：因为 E 数列 A5 是递增数列，所以 )19,2(1kak .所以 A5 是首项为 12，公差为 1 的等差数列.所以 a2000=12+（2000—1） ×1=2011.充分性，由于 a2000—a1000≤1，a2000—a1000≤1……a2—a1≤1所以 a2000—a≤19999，即 a2000≤a1+1999.又因为 a1=12，a2000=2011,所以 a2000=a1+1999.故 nn Aka即),19,2(011 是递增数列.综上，结论得证Ⅲ）令 .1),,(1  Akk cc 则因为 212 caa…… ,121nnc所以 132)()()()( ncncaAS  )].()(1)(1[2 12 nncn因为 .,, nkckk 为 偶 数所 以所以 )()()(*21 cc 为偶数,所以要使1,0ASn必 须 使为偶数,即 4 整除 *)(4),1( Nmn或亦 即 .当 ,1,0,* 2414 kkkaaAENmn的 项 满 足数 列时 4k),21(k时，有 ;0)(1nSa;)(,,,144 nkk Sa有时当 nAENmn数 列时*)(的项满足， ,1,024314kkkaa第 7 页 共 21 页当 )1(,)(342mnNnm时或 不能被 4 整除，此时不存在 E 数列 An，使得 .0)(,1ASa18． （福建理 16） 已知等比数列{an}的公比 q=3，前 3 项和 S3=1。

I）求数列{an}的通项公式；（II）若函数 ()sin(2)0,)fxAp在 6x处取得最大值，且最大值为 a3，求函数 f（x）的解析式本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分 13 分解：（I）由313(), ,aqS得解得 1.3a所以12.nn（II）由（I）可知23,.naa所 以因为函数 ()fx的最大值为 3，所以 A=3因为当 6时 ()f取得最大值，所以sin(21.又0,.6故所以函数 ()fx的解析式为()3sin(2)6fx19． （广东理 20） 设 b>0,数列 na满足 a1=b，1(2)nnba．第 8 页 共 21 页（1 ）求数列 na的通项公式；（2 ）证明：对于一切正整数 n，1.2nba解：（1）由11 120, 0,.nnnnabaab知令1,nA，当 122,nnAb时 21211nb 221.nb①当 时，12()2,()nnnbbA②当2,.nb时 (),22,nnba（2）当 b时， （欲证11() 2,()2nnnnbba只 需 证）111212()()()nnnnn122211nnnnnbbb  第 9 页 共 21 页21( )22nnnbbb  1)n nn，1(.2nnba当1,.nn时综上所述1.2nba20． （湖北理 19）已知数列 n的前 项和为 nS，且满足： 1a(0)， 1nnarS(N*，,1)rR．（Ⅰ）求数列 na的通项公式；（Ⅱ）若存在 kN*，使得 1kS， k， 2成等差数列，是判断：对于任意的 mN*，且 2m， 1， m， 2a是否成等差数列，并证明你的结论．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想。

（满分 13 分）解：（I）由已知 1,nrS可得 21nrS，两式相减可得211()naa即 1,nr又 21所以 r=0 时，数列 {}na为：a，0，…，0，…；当 ,r时，由已知 0,na所 以 （ *N） ，于是由 21(),nnar可得21()nr，3,  成等比数列，第 10 页 共 21 页当 n2时 ，2(1).nnara综上，数列 {}n的通项公式为21,()nra（II）对于任意的 *mN，且 12,,m成等差数列，证明如下：当 r=0 。