新教材21版数学必修1人A新教材学习方略5.1.1.ppt

5.1.1任意角,必备知识自主学习,1.任意角(1)角的分类,逆时针,顺时针,(2)本质：将初中所学的锐角、直角、钝角、平角和周角等推广到任意角.(3)应用：可以定义任意的旋转角.,2.象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的_重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是_.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.3.终边相同的角(1)定义：所有与角终边相同的角，连同角在内.(2)表示：集合S=|=+k360，kZ.(3)本质：表示成角与整数个周角的和.,非负半轴,第几象限角,【思考】反过来，若角，满足S=|=+k360，kZ时，角，是否是终边相同的角？提示：当角，满足S=|=+k360，kZ时，表示成角与相隔整数个周角，即角，终边相同.,【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)经过1小时，时针转过30.()(2)终边与始边重合的角是零角.()(3)第二象限的角是钝角.()提示：(1)，因为是顺时针旋转，所以时针转过-30.(2)，终边与始边重合的角是k360(kZ).(3)，钝角是第二象限的角，但第二象限角不一定是钝角.,2.与45角终边相同的角是()A.-45B.225C.395D.-315【解析】选D.与45角终边相同的角可以表示为45+k360，kZ，结合四个选项可以发现只有答案D符合题意.,3.(教材二次开发：例题改编)已知0360，且与600角终边相同，则=_，它是第_象限角.【解析】因为600=360+240，所以240角与600角终边相同，且0240360，故=240，它是第三象限角.答案：240三,关键能力合作学习,类型一任意角的概念及应用(数学抽象)【题组训练】 1.(2020杭州高一检测)下列说法：终边相同的角必相等；锐角必是第一象限角；小于90的角是锐角；第二象限的角必大于第一象限的角；若角的终边经过点M(0，-3)，则角是第三或第四象限的角，其中错误的是()A. B. C. D.,2.给出下列四个命题：-75是第四象限角；225是第三象限角；475是第三象限角；-310是第一象限角.其中正确的命题有() A.1个 B.2个C.3个D.4个3.将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是_.,【解析】1.选C.终边相同的角必相等错误，如0与360终边相同，但不相等；锐角的范围为(0，90)，必是第一象限角，正确；小于90的角是锐角错误，如负角；第二象限的角必大于第一象限的角错误，如120是第二象限角，390是第一象限角；若角的终边经过点M(0，-3)，则角是终边在y轴负半轴上的角，故错误.其中错误的是.,2.选C.因为-90-750，所以-75是第四象限角，正确；因为180225270，所以225是第三象限角，正确；因为360+90475360+180，所以475是第二象限角，错误；因为-360-310-270，所以-310是第一象限角，正确.所以这四个命题中有3个是正确的.3.分针每分钟转6，由于顺时针旋转，所以20分钟转了-120.答案：-120,【解题策略】根据角的概念解题的关键(1)准确理解各个象限内角的特点，逐个判断所在的象限.(2)钟表的旋转方向都是顺时针方向，所以所得的角应该是负角.,【补偿训练】已知集合A=第一象限角，B=锐角，C=小于90的角，则下面关系正确的是()A.A=B=CB.ACC.AC=BD.BC C【解析】选D.由已知得BC，所以BC=C，故D正确.,类型二终边相同的角的表示及应用(直观想象)【典例】写出终边落在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360720的元素写出来.,【解题策略】(1)一般地，可以将所给的角化成k360+的形式(其中0360，kZ)，其中的就是所求的角.(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360的方式；当所给角是正角时，采用连续减360的方式，直到所得结果达到要求为止.特别提醒：表示终边相同的角时，kZ这一条件不能省略.,【跟踪训练】 1.(2020济南高一检测)下列各角中，与角30终边相同的角是()A.-390B.-330C.330D.570【解析】选B.与角30终边相同的角的集合为|=30+k360，kZ，取k=-1，可得=-330，所以与角30终边相同的角是-330.,2.写出终边落在x轴上的角的集合S.【解析】S=|=k360，kZ|=k360+180，kZ=|=2k180，kZ|=(2k+1)180，kZ=|=n180，nZ.,【拓展延伸】运用终边相同的角的注意点所有与角终边相同的角，连同角在内可以用式子k360+，kZ表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉.(2)是任意角.(3)k360与之间用“+”连接，如k360-30应看成k360+(-30)，kZ.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍.,【拓展训练】写出与=-1 910终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720360的元素写出来.,【解析】与=-1 910终边相同的角的集合为|=k360-1 910，kZ.因为-720360，即-720k360-1 910360(kZ)，所以3 k6 (kZ)，故取k=4，5，6.k=4时，=4360-1 910=-470；k=5时，=5360-1 910=-110；k=6时，=6360-1 910=250.,类型三象限角及其应用(直观想象)角度1用不等式组表示角的集合【典例】如图所示. (1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合.(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.【思路导引】(1)根据题目给出的角度分别写出OA，OB表示的角.(2)根据阴影部分写出不等式，注意两个角的先后顺序.,【解析】(1)终边落在射线OA上的角的集合是|=k360+210，kZ.终边落在射线OB上的角的集合是|=k360+300，kZ.(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是|k360+210k360+300，kZ.,【变式探究】如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.,【解析】设终边落在阴影部分的角为，角的集合由两部分组成.|k360+30k360+105，kZ.|k360+210k360+285，kZ.所以角的集合应当是集合与的并集，即S=|k360+30k360+105，kZ,|k360+210k360+285，kZ=|2k180+302k180+105，kZ|(2k+1)180+30(2k+1)180+105，kZ=|2k180+302k180+105或(2k+1)180+30(2k+1)180+105，kZ=|n180+30n180+105，nZ.,角度2n或 所在象限的判定【典例】若是第二象限角，则2， 分别是第几象限的角？【思路导引】根据已知条件，用不等式表示出的范围，再求出n或 的范围，然后判定所在象限即可.,【解析】(1)因为是第二象限角，所以90+k360180+k360(kZ)，所以180+k7202360+k720，所以2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.,(2)因为是第二象限角，所以90+k360180+k360(kZ)，所以45+k180 90+k180(kZ).当k=2n(nZ)时，45+n360 90+n360(nZ)，即 是第一象限角；当k=2n+1(nZ)时，225+n360 270+n360(nZ)，即 是第三象限角.故 是第一或第三象限角.,【解题策略】关于角n或 象限的确定(1)由的范围，表示出n， 的范围，由n的取值确定象限.(2)特别地，求 所在象限时，可以把每个象限等分为n份，在每一份中按顺序标记一，二，三，四，找到原象限数字即可.,【题组训练】1.角=-60+k180(kZ)的终边落在()A.第四象限B.第一、二象限C.第一象限D.第二、四象限【解析】选D.令k=0，=-60，在第四象限；再令k=1，=-60+180=120，在第二象限.,2.已知角的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角的集合是_.【解析】观察图形可知，角的集合是|k360+45k360+150，kZ.答案：|k360+45k360+150，kZ,3.若角是第一象限角，则(1)-是第_象限角；(2) 是第_象限角.【解析】因为是第一象限角，所以k360k360+90(kZ).(1)-k360-90-k360(kZ)，所以-所在区域与(-90，0)范围相同，故-是第四象限角.,(2)方法一(分类讨论)：k120 k120+30(kZ).当k=3n(nZ)时，n360 n360+30，所以 是第一象限角；当k=3n+1(nZ)时，n360+120 n360+150，,所以 是第二象限角；当k=3n+2(nZ)时，n360+240 n360+270，所以 是第三象限角.综上可知， 是第一或第二或第三象限角.,方法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上1，2，3，4，则标有1的区域即为 角的终边落在的区域，故 为第一或第二或第三象限角.答案：(1)四(2)一或二或三,【补偿训练】已知为第一象限角，求180- 是第_象限角.【解析】因为为第一象限角，所以k360k360+90，kZ，所以k180 k180+45，kZ，所以-45-k180- -k180，kZ，所以135-k180180- 180-k180，kZ.,当k=2n(nZ)时，135-n360180- 180-n360，为第二象限角；当k=2n+1(nZ)时，-45-n360180- -n360，为第四象限角.所以180- 是第二或第四象限角.答案：二或四,课堂检测素养达标,1.在下列说法中，正确的是()时钟经过两个小时，时针转过的角是60；钝角一定大于锐角；射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0；-2 000是第二象限角.A.B.C.D.,【解析】选D.时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60，因而转过的角为-60，所以不正确.钝角的取值范围为90180，锐角的取值范围为090，因此钝角一定大于锐角，所以正确.射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360，所以不正确.-2 000=-6360+160与160终边相同，是第二象限角，所以正确.,2.179角是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B. 179是第二象限角.,3.(教材二次开发：练习改编)与-457角终边相同的角的集合是()A.|=k360+457，kZB.|=k360+97，kZC.|=k360+263，kZD.|=k360-263，kZ【解析】选C.-457=-2360+263，所以与-457角终边相同的角的集合是|=k360+263，kZ.,4.若角=m360+60，=k360+120(m，kZ)，则角与的终边的位置关系是()A.重合B.关于原点对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称【解析】选D.角的终边和60角的终边相同，角的终边与120角终边相同，因为180-120=60，所以角与的终边的位置关系是关于y轴对称.,5.2 021角是第_象限角.【解析】因为2 021=5360+221，因为221角在第三象限，所以2 021是第三象限角.答案：三,终边相同的角中必须保证k是整数,数学抽象：通过具体实例抽象出象限角、终边相同角的概念，培养数学抽象的核心素养,。