第四讲 基本不等式知识梳理·双基自测知识点一 重要不等式a2＋b2≥_2ab__(a，b∈R)(当且仅当_a＝b__时等号成立)．知识点二 基本不等式≤(均值定理)(1)基本不等式成立的条件：_a>0，b>0__；(2)等号成立的条件：当且仅当_a＝b__时等号成立；(3)其中叫做正数a，b的_算术平均数__，叫做正数a，b的_几何平均数__.知识点三 利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：“积定和最小”)(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当x＝y时，xy有最大值.(简记：“和定积最大”) 常用的几个重要不等式(1)a＋b≥2(a>0，b>0)．(当且仅当a＝b时取等号)(2)ab≤2(a，b∈R)．(当且仅当a＝b时取等号)(3)2≤(a，b∈R)．(当且仅当a＝b时取等号)(4)＋≥2(a，b同号)．(当且仅当a＝b时取等号)．(5)≤≤≤(a，b>0当且仅当a＝b时取等号)．题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.( × )(2)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．( × )(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．( √ )(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.( × )(5)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )题组二 走进教材2．(必修5P100练习T1改编)若x<0，则x＋( D )A．有最小值，且最小值为2B．有最大值，且最大值为2C．有最小值，且最小值为－2D．有最大值，且最大值为－2[解析] 因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.3．(必修5P100练习T3改编)设00，y>0，x＋2y＝4，则的最小值为___.[解析] ＝＝＝2＋.∵x>0，y>0，∴4＝x＋2y≥2，解得00，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为_4__.(2)(2021·吉林模拟)已知x>2，若f(x)＝x＋在x＝n处取得最小值，则n＝( B )A． B．3 C． D．4(3)(2021·重庆南开中学质检)已知实数a，b>1，且满足ab－a－b＝5，则2a＋3b的最小值为_17__.[解析] (1)＋＋＝＋＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即(a＋b)2＝16，也即a＋b＝4时取等号．又∵ab＝1，∴或时取等号，∴＋＋的最小值为4.(2)由f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥4，当且仅当x－2＝>0，即x＝3时，取得等号，故选B．(3)由ab－a－b＝5⇒6＝(a－1)(b－1)⇒36＝(2a－2)(3b－3)≤2则2a＋3b≥17，当且仅当a＝4，b＝3取最小值．[引申]f(x)＝x＋的值域为_(－∞，0]∪[4，＋∞)__.[解析] f(x)＝(x－2)＋＋2，∵|(x－2)＋|＝|x－2|＋≥2(当且仅当|x－2|＝1即x＝3或1时取等号)∴(x－2)＋≥2或x－2＋≤－2，∴f(x)≥4或f(x)≤0，即f(x)的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)．名师点拨拼凑法求最值的技巧(1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，“二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用函数单调性．(2)求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”，如例(2)的关键是变形，凑出积为常数．角度2 换元法求最值例2 (1)已知x>，求函数y＝的最小值；(2)(2021·百校联盟尖子生联考)已知a，b∈R＋，且a＋2b＝ab－16，则ab的最小值为( B )A．16 B．32C．64 D．128[思路] (1)通过换元转化为形如Ax＋＋C形式的函数．[解析] (1)设4x－5＝t，则x＝.∵x>，∴t>0.∴y＝＝＝t＋＋3≥2＋3＝5.当且仅当t＝1即x＝时，上式取“＝”号．∴x＝时，ymin＝5.(2)ab－16＝a＋2b≥2，令＝t，则t2－2t－16≥0⇒t≥＝4，故ab≥32，即ab最小值为32.(当且仅当a＝8，b＝4时取等号)故选B．[答案] (1)5角度3 常数代换法求最值例3 (1)已知正数x，y满足x＋2y＝4，则＋最小值为_2__；(2)已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值为_18__.[思路] (2)先利用乘常数法或消元法，再利用基本不等式求解最值．[解析] (1)＋＝(x＋2y)×＝≥＝2.当且仅当＝，即⇒时取等号．(2)解法一：x＋2y＝·(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当即时“＝”成立，故x＋2y的最小值是18.解法二(消元法)：由＋＝1，得y＝，由y>0⇒>0，又x>0⇒x>8，则x＋2y＝x＋＝x＋＝x＋2＋＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18，当且仅当x－8＝，即x＝12(x＝4舍去)，y＝3时，“＝”成立，故x＋2y的最小值为18.名师点拨常数代换法的技巧(1)常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与“1”的积、商都是自身的性质，通过代数式的变形构造和式或积式为定值，然后利用基本不等式求最值．(2)利用常数代换法求解最值应注意：①条件的灵活变形，常数化成1是代数式等价变形的基础；②利用基本不等式求最值时“一正、二定、三相等”的检验，否则容易出现错解．〔变式训练1〕(1)(角度1)(2021·宁夏银川一中月考)已知正数x、y满足x＋y＝1，则＋的最小值为( B )A．2 B． C． D．5(2)(角度2)(2021·山东师大附中模拟)若正数x，y满足x＋5y＝3xy，则5x＋y的最小值为_12__；(3)(角度3)(2020·天津七校期中联考)已知a>0，b>0，且＋＝1，求a＋b的最小值_3__.[解析] (1)∵x＋y＝1，所以x＋(1＋y)＝2，则2＝[x＋(1＋y)]＝＋＋5≥2＋5＝9，所以＋≥，当且仅当，即当时取等号∴＋的最小值为，故选B．(2)∵x>0，y>0，x＋5y＝3xy，即＋＝3，∵5x＋y＝(5x＋y)＝≥＝12，(当且仅当x＝y＝2时取等号)∴5x＋y的最小值为12，另解：∵x>0，y>0，x＋5y＝3xy，即x＝，令3y－1＝t，则y＝，(t>0)，∴5x＋y＝＋y＝＋＝＋≥＋＝12.(当且仅当t＝5，即x＝y＝2时取等号)∴5x＋y的最小值为12.(3)∵a>0，b>0，且＋＝1，∴a＋b＝[(a＋1)＋b]－1＝[(a＋1)＋b]－1＝＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＋1＝b，即a＝1，b＝2时取等号，∴a＋b的最小值为3，另解：(换元法)由＋＝1得b＝1＋，(a>0)，∴a＋b＝a＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝1，b＝2时取等号，∴a＋b的最小值为3.考点二 利用基本不等式求参数的范围——师生共研例4 若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则(1)ab的取值范围是_[9，＋∞)__；(2)a＋b的取值范围是_[6，＋∞)__.[解析] (1)∵ab＝a＋b＋3≥2＋3，令t＝>0，∴t2－2t－3≥0，∴(t－3)(t＋1)≥0.∴t≥3即≥3，∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号．(2)∵ab＝a＋b＋3，∴a＋b＋3≤2.令t＝a＋b>0，∴t2－4t－12≥0，∴(t－6)(t＋2)≥0.∴t≥6即a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．名师点拨利用方程的思想是解决此类问题的常规解法．另外，本例第二问也可用如下方法求解：由已知b＝>0，∴a－1>0，∴a＋b＝a＋＝a＋＝a＋1＋＝(a－1)＋＋2≥6.当且仅当a＝b＝3时取等号．〔变式训练2〕(2020·黑龙江哈尔滨三中期中)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是_4__.[解析] 解法一：∵x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8.∴(2y＋1)(x＋1)＝9且x＋1>0,2y＋1>0∴x＋2y＝(2y＋1)＋(x＋1)－2≥2－2＝4.(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)∴x＋2y的最小值为4.解法二：∵x>0，y>0，∴2xy≤2＝2(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)又x＋2y＋2xy＝8，∴x＋2y＋2≥8，∴(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，∴x＋2y－4≥0，即x＋2y≥4(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)∴x＋2y的最小值为4.解法三：∵x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，∴x＝＝－1，∴x＋2y＝＋(2y＋1)－2≥2－2＝4(当且仅当y＝1时取等号)∴x＋2y的最小值为4.秒杀解法：x＋2y＋2xy＝8，即x＋2y＋x·2y＝8.由条件及结论关于x、2y的对称性知当x＝2y＝2时x＋2y取最小值为4.考点三 利用基本不等式解决实际问题——师生共研例5 某人准备在一块占地面积为1 800 m2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1 m的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m2，其中a︰b＝1︰2，则S的最大值为_1_568__.[解析] 由题意可得xy＝1 800，b＝2a，x>3，y>3，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a＝(3x －8)＝1 808－3x－y＝1 808－3x－×＝1 808－≤1 808－2＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x＝，即x＝40，y＝45时等号成立，S取得最大值，所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值为1 568.名师点拨应用基本不等式解决实际问题的步骤：①仔细阅读题目，深刻理解题意；②找出题目中的数量关系，并设出未知数，并用它表示其它的量，把要求最值的量设为函数；③利用基本不等式求出最值；④再还原。
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