2023年归类解析与rdquo有关的数学竞赛题.doc

归类解析与“[x]”有关的数学竞赛题 “[x]”是一种特殊的数学符号，它在各类数学竞赛中屡见不鲜，本文结合全国各省市的数学竞赛题，归纳出与“[x]”有关的三类常见题型，供同学们学习时参考． 一、有关的运算 例1 设a是有理数，用[a]表达不超过a的最大整数，如[1.7]＝1，[－1] ＝－1，[0]＝0，[－1.2]＝－2，则在以下四个结论中，对的的是( ) (A)[a]＋[－a]＝0 (B)[a]＋[－a]＝0或1 (C)[a]＋[－a]≠0 (D)[a]＋[－a]＝0或－1 (2023年希望杯数学竞赛初二第1试试题) 解 依题意，令a＝1.7，则 [a]＋[－a]＝[1.7]＋[－1.7] ＝1－2＝－1； 令a＝－1，则 [a]＋[－a]＝－1＋l＝0． ∴[a]＋[－a]＝0或－1． 即选D． 例2 设[x]表达不大于x的最大整数，如[3.4]＝3，[2]＝2，[－3.4]＝－4，则下列结论中，不成立的有( )个 ①[x]≤x<[x]＋1； ②x－1<[x]≤x； ③[－x]＝－[x]； ④[2x]＝2[x]； ⑤[x]＋[1－x]＝1 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (2023年五羊杯数学竞赛初三试题) 解 依题意，令x＝，则 [x]＝0，[2x]＝1， [－x]＝－1，[1－x]＝0． ∴③④⑤均不成立，即选B． 二、求代数式的值 例3 规定[a]表达不超过a的最大整数．当x＝－1时，代数式2mx3－3nx＋6的值为16，则[m－n]＝( ) (A)－4 (B)－3 (C)3 (D)4 (2023年希望杯数学竞赛初二第2试试题)将x＝－1代入2mx3－3nx＋6＝16得3n－2m＝10，故选Ａ． 例4 [x]表达不大于x的最大整数，如[3.15]＝3，[－2.7]＝－3，[4]＝4，则( ) (A)1001 (B) 2023 (C) 2023 (D)1002 (2023年希望杯数学竞赛初二第1试试题) 故选B． 例5 设[x]表达不大于x的最大整数，如[3.4]＝[3.7]＝[3]＝3， 　若，则[S]＝_______(2023年五羊杯数学竞赛初三试题)　　 例6 对于实数a，令[a]表达不超过a的最大整数，例如[3.1]＝3，[－1.5]＝－2，[0.7]＝0， 令f(x)＝，那么[f(2)]＋[f(3)]＋…＋[f(100)]＝_______． (2023年希望杯数学竞赛初一第1试试题)　　 三、解方程问题 例7 对于数x，符号[x]表达不大于x的 最大整数，如[3.14]＝3，[－7.59]＝－8，则 满足关系式[]＝4的x的整数值有 ( ) (A)6个 (B)5个 (C)4个 (D)3个(2023年希望杯数学竞赛初一第1试试题) 故选D． 例8 已知0