曲线积分与曲面积分重点总结+例题.pdf

高等数学教案曲线积分与曲面积分第十章第十章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系2.掌握计算两类曲线积分的方法.3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数.4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法教学重点】【教学重点】1两类曲线积分的计算方法；2格林公式及其应用；3第一类曲面积分的计算方法；【教学难点】【教学难点】1两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算;3应用格林公式计算对坐标的曲线积分；6.两类曲线积分的计算方法；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分;【参考书】【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学(下)》，第五版.高等教育出版社[2］ 同济大学数学系.《高等数学学习与习题选解》，第六版.高等教育出版社.［3］同济大学数学系《高等数学习题全解指南(下)》，第六版.高等教育出版社§ §11.111.1对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分一、一、 对弧长的曲线积分的概念与性质对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量设一曲线形构件所占的位置在 xOy 面内的一段曲线弧 L 上已知曲线形构件在点(x，y）处的线密度为(x，y)。

求曲线形构件的质量把曲线分成 n 小段，s1，s2，sn(si也表示弧长)；任取(ii)si 得第 i 小段质量的近似值（ii）si整个物质曲线的质量近似为令max｛s1s2sn｝0 则整个物质曲线的质量为高等数学课程建设组高等数学教案曲线积分与曲面积分这种和的极限在研究其它问题时也会遇到定义定义设函数 f（x，y）定义在可求长度的曲线 L 上，并且有界 ，将 L 任意分成 n 个弧段：s1s2，sn并用si表示第 i 段的弧长在每一弧段si上任取一点(i，i）作和；令max｛s1s2sn}，如果当0 时这和的极限总存在，则称此极限为函数 f（x，y)在曲线弧 L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分记作即其中 f(xy)叫做被积函数L 叫做积分弧段曲线积分的存在性：曲线积分的存在性：当 f（xy)在光滑曲线弧 L 上连续时对弧长的曲线积分是存在的 以后我们总假定 f(x，y）在 L 上是连续的根据对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量就是曲线积分的值， 其中(x，y）为线密度对弧长的曲线积分的推广如果 L(或）是分段光滑的 则规定函数在 L(或）上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和 例如设 L 可分成两段光滑曲线弧L1及 L2则规定。

闭曲线积分：闭曲线积分：如果 L 是闭曲线，那么函数 f(xy）在闭曲线 L 上对弧长的曲线积分记作对弧长的曲线积分的性质：对弧长的曲线积分的性质：性质 1 设 c1、c2为常数 则；性质 2 若积分弧段 L 可分成两段光滑曲线弧 L1和 L2 则性质 3 设在 L 上 f(xy)g(xy) 则特别地 有二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义 如果曲线形构件 L 的线密度为 f(x，y) 则曲线形构件L 的质量为 另一方面若曲线 L 的参数方程为x（t）y（t) （t)，高等数学课程建设组高等数学教案曲线积分与曲面积分则质量元素为，曲线的质量为即定理定理设 f(xy）在曲线弧 L 上有定义且连续L 的参数方程为 x（t)y(t) （t)其中（t） 、(t)在[］上具有一阶连续导数，且2(t）2(t）0则曲线积分存在且（<)应注意的问题：应注意的问题：定积分的下限一定要小于上限讨论：讨论：（1)若曲线 L 的方程为 y（x)(axb)，则?提示：L 的参数方程为 xx，y（x）(axb） ，。

2)若曲线 L 的方程为 x（y)(cyd)则?提示L 的参数方程为 x（y)yy(cyd）(3）若曲的方程为 x(t） ，y（t）z（t）(t)，则?提示提示 例例 1 1 计算其中 L 是抛物线 yx2上点 O(0， 0）与点 B（1 1）之间的一段弧解曲线的方程为 yx2（0x1)，因此例例 2 2 计算半径为 R、中心角为2的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为1）解取坐标系如图所示则曲线 L 的参数方程为xRcosyRsin (〈)于是R3(sin cos）例例 3 3 计算曲线积分其中为螺旋线 xacost、yasint、zkt 上相应于 t 从 0 到达 2的一段弧解 在曲线上有 x2y2z2(a cos t）2（a sin t）2(kt)2a2k 2t 2，并且高等数学课程建设组高等数学教案曲线积分与曲面积分于是小结小结用曲线积分解决问题的步骤（1)建立曲线积分(2)写出曲线的参数方程（ 或直角坐标方程） ，确定参数的变化范围(3)将曲线积分化为定积分；（4）计算定积分教学方式及教学过程中应注意的问题教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意曲线积分解决问题的步骤，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计师生活动设计1已知椭圆周长为 a,求.2设 C 是由极坐标系下曲线及所围成区域的边界，求讲课提纲、板书设计讲课提纲、板书设计作业作业P190： 3（1） （3)（5） （7）§ §11112 2对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功：变力沿曲线所作的功：设一个质点在 xOy 面内在变力 F F(x，y)P（x，y)i iQ(x，y)j j 的作用下从点 A 沿光滑曲线弧L 移动到点 B试求变力 F F（x，y)所作的功用曲线 L 上的点 AA0，A1，A2An1，AnB 把 L 分成 n 个小弧段设 Ak（xkyk)，有向线段的长度为sk它与 x 轴的夹角为k则（k0， 1 2n1） 显然，变力 F F(x，y）沿有向小弧段所作的功可以近似为于是变力 F F(x，y）所作的功从而这里(xy） ， {cos sin｝是曲线 L 在点(xy）处的与曲线方向一致的单位切向量把 L 分成 n 个小弧段L1 L2， Ln变力在 Li上所作的功近似为：F F(ii）s siP（ii）xiQ(ii）yi；高等数学课程建设组高等数学教案曲线积分与曲面积分变力在 L 上所作的功近似为：；变力在 L 上所作的功的精确值：其中是各小弧段长度的最大值提示提示 用s si{xiyi}表示从 Li的起点到其终点的的向量用si表示s si的模。

对坐标的曲线积分的定义：对坐标的曲线积分的定义：定义定义 设函数 f（xy）在有向光滑曲线L 上有界把 L 分成 n 个有向小弧段 L1， L2，， Ln小弧段 Li的起点为(xi1yi1)终点为(xiyi)，xixixi1yiyiyi1； (i，)为 Li上任意一点为各小弧段长度的最大值如果极限总存在，则称此极限为函数 f（xy）在有向曲线 L 上对坐标 x 的曲线积分记作即设 L 为 xOy 面上一条光滑有向曲线 {cos， sin｝是与曲线方向一致的单位切向量函数P(xy)、Q(x，y)在 L 上有定义如果下列二式右端的积分存在，我们就定义，前者称为函数 P（x，y）在有向曲线L 上对坐标 x 的曲线积分后者称为函数 Q（x，y)在有向曲线 L 上对坐标 y 的曲线积分，对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分定义的推广：定义的推广：设为空间内一条光滑有向曲线， {cos cos， cos}是曲线在点（x，y，z）处的与曲线方向一致的单位切向量， 函数 P(xy，z)、Q（xy，z） 、R(x，y，z)在上有定义我们定义（假如各式右端的积分存在），。

对坐标的曲线积分的简写形式对坐标的曲线积分的简写形式 ；高等数学课程建设组高等数学教案曲线积分与曲面积分对坐标的曲线积分的性质：对坐标的曲线积分的性质：（1） 如果把 L 分成 L1和 L2，，则(2) 设 L 是有向曲线弧，L 是与 L 方向相反的有向曲线弧则两类曲线积分之间的关系两类曲线积分之间的关系：设{cosi sini｝为与s si同向的单位向量，我们注意到{xiyi}s si 所以xicosisiyisinisi，，其中 A A ｛P， Q｝ ， t t ｛cos，sin}为有向曲线弧 L 上点 （x， y） 处单位切向量， dr rt tds{dxdy｝ 类似地有，或其中 A A{P，QR}T T{cos cos cos}为有向曲线弧上点(x，y，z)处单们切向量， dr rT Tds｛dxdy，dz ｝ ，At为向量 A A 在向量 t t 上的投影二、对坐标的曲线积分的计算：二、对坐标的曲线积分的计算：定理：定理：设 P(x，y)、Q（xy)是定义在光滑有向曲线 L：x（t），y(t)上的连续函数当参数 t 单调地由变到时，点 M(xy)从 L 的起点 A 沿 L 运动到终点 B则，讨论讨论 ？提示：提示： 。

定理定理 若 P（x，y）是定义在光滑有向曲线L x(t） ，y（t)(t)上的连续函数，L 的方向与 t 的增加方向一致则简要证明： 不妨设对应于 t 点与曲线 L 的方向一致的切向量为｛(t）(t)}所以从而高等数学课程建设组高等数学教案曲线积分与曲面积分应注意的问题：应注意的问题：下限 a 对应于 L 的起点上限对应于 L 的终点，不一定小于讨论：讨论：若空间曲线由参数方程 xt)y =（t）z(t）给出，那么曲线积分？如何计算?提示：提示：，其中对应于的起点对应于的终点例题例题例例 1 1 计算其中 L 为抛物线 y2x 上从点 A（1，1)到点 B(1， 1)的一段弧例例 2 2计算(1）L 为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2；(2)从点 A(a， 0）沿 x 轴到点 B（a0)的直线段例例 3 3计算 （1)抛物线 yx2上从 O（0， 0）到B(1 1）的一段弧 （2)抛物线 xy2上从O（0， 0）到 B(1 1）的一段弧； （3)从 O（0， 0）到 A（1 0) 再到 R (1， 1)的有向折线 OAB例例 4 4 计算，其中是从点 A(3 2， 1)到点 B(0 0 0）的直线段例例 5 5 设一个质点在 M(x，y）处受到力 F 的作用，F 的大小与 M 到原点 O 的距离成正比，F 的方向恒指向原点此质点由点 A（a， 0）沿椭圆按逆时针方向移动到点B（0b)求力 F所作的功 W。

小结小结1.第二类曲线积分的定义;2. 第二类曲线积分的计算方法.教学方式及教学过程中应注意的问题教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意第二类曲线积分的定义和计算方法，要结合实例，反复讲解师生活动设计师生活动设计1 已知为折线 ABCOA,计算讲课提纲、板书设计讲课提纲、板书设计作业作业P200： 3（1） （3)(5） （7）,4§ §1111 3 3格林公式及其应用格林公式及其应用一、格林公式一、格林公式高等数学课程建设组高等数学教案曲线积分与曲面积分单连通与复连通区域单连通与复连通区域 设 D 为平面区域，如果 D 内任一闭曲线所围的部分都属于D，则称 D 为平面单连通区域，否则称为复连通区域对平面区域 D 的边界曲线 L 我们规定规定 L L 的正向如下的正向如下 当观察者沿 L 的这个方向行走时D内在他近处的那一部分总在他的左边区域区域 D D 的边界曲线的方向：的边界曲线的方向：定理定理 1 1 设闭区域 D 由分段光滑的曲线围成，函数P(xy）及 Q（x，y)在 D 上具有一阶连续偏导数则有其中 L 是 D 的取正向的边界曲线简要证明简要证明 仅就 D 即是 X－型的又是 Y－型的区域情形进行证明设 D｛(xy）|1(x）y2（x） ，axb}因为连续，所以由二重积分的计算法有另一方面，由对坐标的曲线积分的性质及计算法有因此。

设 D{(xy）｜1(y）x2(y）cyd}类似地可证由于 D 即是 X－型的又是 Y－型的所以以上两式同时成立，两式合并即得应注意的问题应注意的问题 对复连通区域 D，格林公式右端应包括沿区域D 的全部边界的曲线积分， 且边界的方向对区域 D 来说都是正向设区域 D 的边界曲线为 L 取 Py，Qx，则由格林公式得， 或例例 1 1 椭圆 xa cos，yb sin所围成图形的面积 A分析：分析：只要， 就有例例 2 2 设 L 是任意一条分段光滑的闭曲线，证明例例 3 3计算其中 D 是以 O（0 0)A(1， 1） ，B(0， 1）为顶点的三角形闭区域高等数学课程建设组高等数学教案曲线积分与曲面积分分析分析 要使，只需 P0例例 4 4 计算，其中L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L 的方向为逆时针方向解 令，则当 x2y20 时，有记 L 所围成的闭区域为 D当（0 0）D 时由格林公式得；当（0， 0)D 时 在 D 内取一圆周 l：x2y2r 2（r〉0)由 L 及 l 围成了一个复连通区域 D 1，应用格林公式得其中 l 的方向取逆时针方向于是2。

记 L 所围成的闭区域为 D当(0 0）D 时由格林公式得分析分析 这里 当 x2y20 时有二、平面上曲线积分与路径无关的条件二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关：曲线积分与路径无关：设 G 是一个开区域P（xy)、Q（x，y）在区域 G 内具有一阶连续偏导数如果对于 G 内任意指定的两个点 A、B 以及 G 内从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L 1、L 2等式恒成立，就说曲线积分在G 内与路径无关，否则说与路径有关设曲线积分在 G 内与路径无关，L 1和 L 2是 G 内任意两条从点 A 到点 B 的曲线则有因为所以有以下结论曲线积分在 G 内与路径无关相当于沿G 内任意闭曲线 C 的曲线积分等于零定理定理 2 2 设开区域 G 是一个单连通域函数 P(x，y）及 Q(x，y)在 G 内具有一阶连续偏导数则曲线积分在 G 内与路径无关（或沿 G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是等式在 G 内恒成立高等数学课程建设组高等数学教案曲线积分与曲面积分充分性易证充分性易证 若，则由格林公式对任意闭曲线 L有必要性：假设存在一点 M0G，使不妨设>0，则由的连续性，存在 M0的一个邻域 U(M0,）使在此邻域内有 于是沿邻域 U(M0,)边界 l 的闭曲线积分这与闭曲线积分为零相矛盾， 因此在 G 内应注意的问题：应注意的问题：定理要求区域 G 是单连通区域且函数 P（x，y)及 Q（xy）在 G 内具有一阶连续偏导数如果这两个条件之一不能满足那么定理的结论不能保证成立。

破坏函数 P、Q 及、连续性的点称为奇点奇点 例例 5 5 计算， 其中 L 为抛物线 yx2上从 O（0 0)到 B(1， 1)的一段弧解：因为在整个 xOy 面内都成立所以在整个 xOy 面内，积分与路径无关讨论讨论  设 L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L 的方向为逆时针方向 问是否一定成立?提示提示 这里和在点（0， 0）不连续因为当 x2y20 时， ， 所以如果(0 0)不在 L 所围成的区域内，则结论成立，而当(00)在 L所围成的区域内时， 结论未必成立三、二元函数的全微分求积三、二元函数的全微分求积曲线积分在 G 内与路径无关， 表明曲线积分的值只与起点从点（x0y0）与终点（x，y）有关如果与路径无关，则把它记为即若起点(x0y0)为 G 内的一定点，终点(x，y）为 G 内的动点则u（xy)为 G 内的的函数二元函数 u（xy）的全微分为 du(x，y）ux（x，y）dxuy(xy）dy高等数学课程建设组高等数学教案曲线积分与曲面积分表达式 P(xy)dx+Q（x，y)dy 与函数的全微分有相同的结构， 但它未必就是某个函数的全微分。

那么在什么条件下表达式P（x，y）dx+Q（x，y）dy 是某个二元函数 u（xy）的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢?定理定理 3 3 设开区域 G 是一个单连通域函数 P（x，y）及 Q(x，y）在 G 内具有一阶连续偏导数则 P（x，y)dxQ(x，y）dy 在 G 内为某一函数 u(xy）的全微分的充分必要条件是等式在 G 内恒成立简要证明简要证明 必要性假设存在某一函数 u（xy)使得 duP（x，y)dxQ（x，y）dy则有因为、连续，所以，即充分性因为在 G 内 所以积分在 G 内与路径无关在G 内从点(x0，y0）到点(xy）的曲线积分可表示为 u（x，y)因为u(xy)，所以类似地有，从而 duP(xy)dxQ（x，y)dy即 P(x，y）dxQ（x，y)dy 是某一函数的全微分求原函数的公式例例 6 6 验证在右半平面（x>0）内是某个函数的全微分并求出一个这样的函数解 这里，因为 P、Q 在右半平面内具有一阶连续偏导数 且有所以在右半平面内，是某个函数的全微分取积分路线为从 A（10）到 B（x0）再到 C(xy)的折线 则所求函数为问问 为什么（为什么（x x0 0，，y y0 0) )不取不取(0(0，， 0)0)？？例例 7 7 验证：在整个 xOy 面内，xy2dxx2ydy 是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数解这里 Pxy2，Qx2y因为 P、Q 在整个 xOy 面内具有一阶连续偏导数 且有高等数学课程建设组高等数学教案曲线积分与曲面积分所以在整个 xOy 面内xy2dxx2ydy 是某个函数的全微分。

取积分路线为从 O(00）到 A（x0)再到 B（xy)的折线 则所求函数为思考与练习思考与练习 1在单连通区域 G 内，如果 P(xy）和 Q（x，y）具有一阶连续偏导数，且恒有那么（1)在 G 内的曲线积分是否与路径无关?(2)在 G 内的闭曲线积分是否为零?(3) 在 G 内 P(x，y)dxQ(x，y）dy 是否是某一函数 u(x，y)的全微分？2在区域 G 内除 M0点外如果 P(x，y）和 Q（x，y)具有一阶连续偏导数，且恒有G1是 G内不含 M0的单连通区域，那么(1)在 G 1内的曲线积分是否与路径无关?（2）在 G 1内的闭曲线积分是否为零?(3） 在 G 1内 P(xy)dxQ(xy)dy 是否是某一函数 u(xy）的全微分?3 在单连通区域 G 内如果 P（x，y）和 Q（xy)具有一阶连续偏导数， ，但非常简单，那么（1)如何计算 G 内的闭曲线积分?（2）如何计算 G 内的非闭曲线积分？（3）计算其中 L 为逆时针方向的上半圆周(xa)2y2a 2，y0，小结小结1.格林公式2 格林公式中的等价条件教学方式及教学过程中应注意的问题教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意格林公式和其中的等价条件，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计师生活动设计讲课提纲、板书设计讲课提纲、板书设计作业作业P214: 2 （1） ； 3 ； 4 （3） ； 5 （1) , （4) ； 6 （2) , （5)§ §1111 4 4 对面积的曲面积分对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质物质曲面的质量问题：物质曲面的质量问题：设为面密度非均匀的物质曲面其面密度为(x，yz） ，求其质量把曲面分成 n 个小块：S1，S2，Sn（Si也代表曲面的面积)；求质量的近似值（(i，高等数学课程建设组高等数学教案曲线积分与曲面积分ii）是Si上任意一点)；取极限求精确值：(为各小块曲面直径的最大值)定义定义设曲面是光滑的函数 f(xy，z）在上有界把任意分成 n 小块S1S2，Sn(Si也代表曲面的面积) 在Si上任取一点（i，i，i） 如果当各小块曲面的直径的最大值0 时 极限总存在 则称此极限为函数 f(xyz)在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分 记作，即其中 f（xy，z)叫做被积函数叫做积分曲面。

对面积的曲面积分的存在性：对面积的曲面积分的存在性：我们指出当f（x，y，z）在光滑曲面上连续时对面积的曲面积分是存在的今后总假定f（xyz)在上连续根据上述定义面密度为连续函数(x，y，z)的光滑曲面的质量M可表示为（xy，z）在上对面积的曲面积分如果是分片光滑的我们规定函数在上对面积的曲面积分等于函数在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和例如设可分成两片光滑曲面1及2(记作12）就规定对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质 （1)设 c 1、c 2为常数 则(2)若曲面可分成两片光滑曲面1及2 则(3)设在曲面上 f(xyz）g（xyz） 则（4） 其中 A 为曲面的面积二、对面积的曲面积分的计算二、对面积的曲面积分的计算面密度为 f(x，yz）的物质曲面的质量为另一方面如果由方程 zz(x，y)给出，在 xOy 面上的投影区域为 D， 那么 曲面的面积元素为面积元素为质量元素为质量元素为高等数学课程建设组高等数学教案曲线积分与曲面积分根据元素法 曲面的质量为因此化曲面积分为二重积分：化曲面积分为二重积分：设曲面由方程 zz（xy）给出，在 xOy 面上的投影区域为 Dxy函数 zz（xy)在 Dxy上具有连续偏导数被积函数 f(x，yz)在上连续 则。

如果积分曲面的方程为 yy(z，x）Dzx为在 zOx 面上的投影区域 则函数 f(x，yz）在上对面积的曲面积分为如果积分曲面的方程为 xx（yz)Dyz为在 yOz 面上的投影区域则函数 f（x，yz)在上对面积的曲面积分为例例 1 1 计算曲面积分，其中是球面 x2y2z2a2被平面zh(0ha）截出的顶部解的方程为Dxyx2y2a2h2因为， ，所以提示提示 例例 2 2 计算，其中是由平面 x0y0z0 及 xyz1 所围成的四面体的整个边界曲面解整个边界曲面在平面 x0、y0、z0 及 xyz1 上的部分依次记为1、2、3及4于是提示4z1xy小结小结1 对面积的曲面积分的定义和计算2 格林公式中的等价条件教学方式及教学过程中应注意的问题教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意利用球面坐标、 柱面坐标、 对称性、 重心公式， 简化计算的技巧要结合实例，反复讲解高等数学课程建设组高等数学教案曲线积分与曲面积分师生活动设计师生活动设计课后习题：1，3，7讲课提纲、板书设计讲课提纲、板书设计作业作业P218：4(3)； 5(2);6(1）, (3)， （4） ；8高等数学课程建设组。