习题集-02数字信号处理习题答案(精编版).pdf

. Z 变换? Z 变换的定义及收敛域【习题】1. 假如)(nx的 z 变换代数表示式是下式，问)(zX可能有多少不同的收敛域)83451)(411(411)(2122zzzzzX【分析】）要单独讨论，（环状、圆外、圆内：有三种收敛域：双边序列的收敛域为：特殊情况有：左边序列的收敛域为：因果序列的收敛域为：右边序列的收敛域为：特殊情况有：有限长序列的收敛域为00,00,0,00,0,022112121zzRzRnnRznnRznnzRnnzRnznznnnzxxxxxx. . 解： 对 X(Z)的分子和分母进行因式分解得)431)(211)(211(2111111ZjZjZZX(Z)的零点为： 1/2，极点为： j/2，-j/2 ，-3/4 X(Z)的收敛域为：(1) 1/2 | Z | 3/4，为双边序列，见图一(2) | Z | 3/4，为右边序列，见图三图一图二图三)431)(211)(411()211)(211()(11211ZZZZZZX. . ? Z 反变换【习题】2. 有一右边序列)(nx，其z变换为)1)(211(1)(11zzzX(a)将上式作部分分式展开(用1z表示 )，由展开式求)(nx。

b)将上式表示成z的多项式之比，再作部分分式展开，由展开式求)(nx,并说明所得到的序列与 (a)所得的是一样的注意】不管哪种表示法最后求出x(n) 应该是相同的解： (a) 因为11122111)(zzzX且 x(n)是右边序列所以)()212()(nunxn(b) 1221211) 1)(21(21231)1)(21()(2zzzzzzzzzX)()212() 1(2) 1(21)()(nunununnxnn则. . ? Z 变换的基本性质和定理【习题】3. 对因果序列，初值定理是)(lim)0(zXxz，如果序列为0n时0)(nx，问相应的定理是什么？)(nx讨论一个序列，其z变换为：值试求其的收敛域包括单位圆，)0()(xzX【分析】这道题讨论如何由双边序列Z变换)(zX来求序列初值)0(x，把序列分成因果序列和反因果序列两部分，它们各自由)(zX求)0(x表达式是不同的 ，将它们各自的)0(x相加即得所求)0()(lim)2() 1()0()()(:,0)(,0020 xzXzxzxxznxzXnxnznn?所以此时有：有时当序列满足解：若序列)(nx的 Z 变换为：21,2)()()(21324)21)(2(24191272512419127)(21212211zzzXzXzXzzzzzzzzzzzzX的极点为）（）（由题意可知：X(Z)的收敛域包括单位圆则其收敛域应该为：221z31)0()0()0(31213lim)(lim)0(024lim)(lim)0()(0)(2122010121xxxzzzXxzzzXxnxnnxzzzz）（）（为因果序列：时为有值左边序列，为则2112512419127)(zzzzX. . 4. 有一信号)(ny，它与另两个信号)(1nx和)(2nx的关系是：)1()3()(21nxnxny其中)(21)(1nunxn，)(31)(2nunxn已知111)(aznuaZn，az，。

变换的变换性质求利用)()(zYznyz【分析】则）（：注意移位定理)()()()(*)()(2)()()()()()()() 1(212111zXzXzYnxnxnyzXzm)nx(zXzmnxzXnxzXnx-mm解： 根据题目所给条件可得：112111)(znx123111)(znxZ131211)3(zznxZ21zzzXnxZ3111)()(122311zzznxZ311)1(123z而)1()3()(21nxnxny所以)1()3()(21nxZnxZzYzzzz311211113)21)(3(33zzz. . ? Z 变换与傅里叶变换的关系【习题】5. 求以下序列)(nx的频谱)(jeX (1) )(0nn (2) )(nuean (3) )()(0nuenj (4) )cos()(0nnuean【分析】可以先求序列的Z变换)(zX再求频率jjjezzXeXeX)()()(即)(jeX为单位圆上的Z变换，或者直接求序列的傅里叶变换nnjjenxeX)()(解：对题中所给的)(nx先进行 z 变换再求频谱得：0)()()()1 (0nznnZnxZzX?0|)()(jnezjezXeXj111)()()2(?zenueZzXaanjaezjeezXeXj11|)()(1)()(0011)()()3(?zenueZzXjnj)(011|)()(jezjeezXeXj. . )cos()()()4(0nnueZzXan?aaaezezez220101cos21cos1jezjzXeX|)()(ajajajeeeeee2200cos21cos16. 若)(),(21nxnx是因果稳定序列，求证：)(21)(21)()(212121deXdeXdeXeXjjjj【分析】利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解deeXeXnxnxnjjj)()(21)(*)(2121，而)()(21)0()0(0)(*)(212121deXeXxxnnxnxjj再利用)()(21nxnx、的傅里叶反变换，代入n = 0即可得所需结果。

证明 : deeXeXeXeXeYzXzXzYnxnxnynjjjjjj)()(21)()()()()()()()()(21212121则设)()()()(2121nxnxnydeeYnjj. . )0()0()()(| )()()()(2121002102121xxknxkxnxnxdeXeXnnknjj. . ?deeXnxdeeXnxnjjnjj)(21)()(21)(2211deXxj)(21)0(11deXxj)(21)0(22)(21)(21)()(212121deXdeXdeXeXjjjj. . 和即可得到所需的时，当)(arg)(5jjeXeXN?序列的傅里叶变换【习题】7. 求)()(5nRnx的傅里叶变换分析】这道题利用傅里叶变换的定义即可求解，但最后结果应化为模和相角的关系解：根据傅里叶变换的概念可得：21212221210111)()(jjNjNjjNjjNnNjeeeeeeeeenRDTFTeXNjnjkNkkNeNj2,2,2sin2sin21为整数2sin2sin)(2NeXkj，时当2sin2sinarg21)(argNNeXj1N2N2,21nnnN. . ?傅里叶变换的一些对称性质【习题】8. 设)(jeX是如下图所示的)(nx信号的傅里叶变换，不必求出)(jeX，试完成下列计算：(a) )(0jeX(b) deXj)(c) deXj2)(d) ddedXj2)(【分析】利用序列傅里叶变换的定义、它的导数以及帕塞瓦公式。

)()(2122njnxdex. . 解：4)0(2)()()(6)()()()(000 xdeeXdeXbnxenxeXajjjnnnjj)(c由帕塞瓦尔公式可得：nnxdeXj22)(2)(28)(dnnjjenxeX)()(nnjjenxjndedX)()()(即dedXnxjnDTFTj)()()(由帕塞瓦尔公式可得：316)490256491019(2)(2| )()( |2)(2222nnnxnnxjnddedXj. . 9. 已知)(nx有傅里叶变换)(jeX，用)(jeX表示下列信号的傅里叶变换a) )1()1()(1nxnxnx(b) 2)()()(2nxnxnx(c) )() 1()(23nxnnx【分析】利用序列翻褶后移位关系以及频域的取导数关系式来求解)(d)(ed,)()()()(,)()(jnnxDTFTXjeXenmxeXnxeXnxjmjjj解：)()()(jeXnxDTFTa)()(jeXnxDTFT)()1(jjeXenxDTFT)()1(jjeXenxDTFTcos)(2()(1jjjeXeeXnxDTFT)()()(*jeXnxDTFTbRe2*e)(jXXXx)(2nDTFT因而：e)(je)(j(c) nnjjenxeX)()(则nnjjenxjndedX)()()(dedXjdjedXnnxDTFTjj)()()()(即. . )()(:2dejdXddjnxnDTFTj同理22)(deXdj而)()(2)()(23nxnnxnxnnx所以)(3nxDTFT)()(2)(2nxDTFTnnxDTFTnxnDTFT)()(2)(22jjjeXdedXjdeXd. . ?离散系统的系统函数，系统的频率响应【习题】10. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统)1()2()1()(nxnynyny(a)求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域；(b)求此系统的单位抽样响应；(c)此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳定的（非因果）系统的单位抽样响应。

分析】Y(z) y(n),)()(,)()(zHnhzXnx则)()(/)()(nhZzXzYzH，要求收敛域必须知道零点、极点收敛域为Z平面某个圆以外，则为因果系统（不一定稳定），收敛域若包括单位圆，则为稳定系统（不一定因果）解： （ a）对题中给出的差分方程的两边作Z 变换，得：)()()()(121zXzzYzzYzzY所以)(1)()()(21211azazzzzzzXzYzH零点为 z=0，z极点为62.1515 .01az，62.0515.02az因为是因果系统，所以|z|1.62 是其收敛区域零极点图如下图所示 . 2121211)()(azzazzaaazazzzHb因为）（020121121121111111nnnnnnzazaaazazaaa62.0,62.1)(1)(212121aanuaaaanhnn式中所以由于)(zH的收敛区域不包括单位圆，故这是个不稳定系统c）若要使系统稳定，则收敛区域应包括单位圆，因此选)(zH的收敛区域为12aza，即62. 162. 0z，则21211)(azzazzaazH中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列0211211)(nnnnnnzazaaazH所以)()62.0() 1()62.1(447.0)() 1(1)(2112nununuanuaaanhnnnn则有从结果可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。