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南昌大学2023级高数(下〔期中〕)试题及答案 南昌大学 2023～2023学年第二学期期中考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 函数f(x)?ex在区间[a,b]上的平均值为. . -------2. OA?i?3k,OB?j?3k,那么?OAB的面积为3. 微分方程y'tanx?ylny满足初始条件y是. 4x?y222x-2?e的特解4. 函数f(x,y)?ln(1?x?y)?z?x?y2的定义域是. 5. 函数z?xy, 那么?. 二、 单项选择题 (每题3分,共15分) 1. 函数f(u,v,w)?uw?wu?v, 那么f(x?y,x?y,xy)?( ). (A) (x?y)xy?(xy)2x. (B) (x?y)xy?(xy)2x. (C) (x?y)2y?(xy)xy (D) (x?y)2x?(xy)2y. -2. 设a?(?2,3,?),b?(?,?6,2)共线, 那么 ( ). (A) -4,-?1. (B) -?4,-?1. (C) -1,-?1. (D) -?2,-4. ---3. 设a?b?a?b, a?(3,?5,8),b?(?1,1,z), 那么z?( ). (A) ?1. (B) 1. (C) 3. (D) ?3. 1 4. 曲线y?ln(1?x)上 0?x?21 一段的弧长S? ( ). 212 (A) ?21-1- 0?1?x2?dx . ?1 (B) ?201-?ln(1?x2?2?dx . 1(C) ?21-2x 01?x2dx 12(D) ?21?x01?x2dx . 5. 设线性无关的函数y1,y2,y3 都是二阶非齐次线性微分方程：y''?P(x)y'?Q(x)y?f(x) 的解, C1,C2是任意常数, 那么该非齐次线性微分方程的通解是 ( ). (A) C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3. (B) C1y1?C2y2?y3. (C) C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3. (D) C1y1?C2y2?(C1?C2)y3. 三、计算题(共2小题, 每题8分, 共16分) 1．两条直线的方程是： L?2?11:x?11?y?20?z?3?1,L2:x2?y1?z1,求通过直线L1且平行于L2的平面方程. 2．求点(?1,2,0)在平面x?2y?z?1?0上的投影. 2 四、解以下各题 (共2小题, 每题8分, 共16分): 1、设可导函数?(x)满足?(x)cosx?2-(t)sintdt?x?1, x0求?(x) 2、求微分方程 2y''?5y'?5x2?2x?1 的通解. 五、计算以下各题 (共2小题, 每题8分,共16分): 1、(应用题) 求曲线y?3?x2与直线y?2x 所围成图形的面积. 2、设f(x,y)?x?(y?1)arcsinxy, 求fx(x,1). 六、求以下导数〔共2小题. 每题7分, 共14分〕: 1、设z?z(x,y)是由方程 2sin(x?2y?3z)?x?2y?3z 所确定的隐函数, 证明: ?z?z?x-y?1. 2、设z?f(exsiny,x2?y2), 其中f具有二阶连续偏导数 2求?z?x?y. 七、(8分) 设f(x)为连续函数, (1) 求初值问题 -y'?ay?f(x),? 的解y(x)。

-yx?0?0其中a是正的常数; (2) 假设f(x)?k(k为常数),证明当x?0时, 3 有y(x)?ka(1?e?ax). 南昌大学 2023～2023学年第二学期期中考试试卷及答案 三、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 函数f(x)?ex在区间[a,b]上的平均值为e?eb?aba. -------2. OA?i?3k,OB?j?3k,那么?OAB的面积为1219. x?3. 微分方程y'tanx?ylny满足初始条件y是y?esinx. 4. 函数f(x,y)?4x?y222?2?e的特解ln(1?x?y)22的定义域是 2?(x,y)0?x5. 函数z?xy, 那么?y?1,y?4xy?1?y?1. lnx?z?x?y2?x?yx. 四、 单项选择题 (每题3分,共15分) 1. 函数f(u,v,w)?uw?wu?v, 那么f(x?y,x?y,xy)?( B ). (A) (x?y)xy?(xy)2x. (B) (x?y)xy?(xy)2x. (C) (x?y)2y?(xy)xy (D) (x?y)2x?(xy)2y. -2. 设a?(?2,3,?),b?(?,?6,2)共线, 那么 ( A ). (A) -4,-?1. (B) -?4,-?1. 4 (C) -1,-?1. (D) -?2,-4. 3. 设---a?b?a?b, a?(3,?5,8),b?(?1,1,z), 那么z?( B ). (A) ?1. (B) 1. (C) 3. (D) ?3. 4. 曲线y?ln(1?x2)上 0?x?12 一段的弧长S? ( D ). 12 (A) ?21-1-01?xdx . ?2-1 (B) ?201-2?2?ln(1?x?dx . 1(C) ?21-2x01?x2dx 12(D) ?21?xdx . 01?x25. 设线性无关的函数y1,y2,y3 都是二阶非齐次线性微分方程：y''?P(x)y'?Q(x)y?f(x) 的解, C1,C2是任意常数, 那么该非齐次线性微分方程的通解是 ( C ). (A) C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3. (B) C1y1?C2y2?y3. (C) C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3. (D) C1y1?C2y2?(C1?C2)y3. 三、计算题(共2小题, 每题8分, 共16分) 5 第 页 共 页。