矩阵的特征值与特征向量的理论与应用安徽工程大学毕业设计论文.doc

安徽工程大学毕业设计（论文）引言众所周知，矩阵理论在历史上至少可以追溯到Sylvester与Cayley，特别是Cayley1858年的工作自从Cayley建立矩阵的运算以来，矩阵理论便迅速发展起来，矩阵理论已是高等代数的重要组成部分近代数学的一些学科，如代数结构理论与泛函分析可以在矩阵理论中寻找它们的根源另一方面，作为一种基本工具，矩阵理论在应用数学与工程技术学科，如微分方程、概率统计、最优化、运筹学、计算数学、控制论与系统理论等方面有着广泛的应用同时，这些学科的发展反过来又极大地促进了矩阵理论的发展特征值与特征向量是矩阵理论中既具有基本理论意义，又具有重要应用价值的知识，与矩阵理论的其它知识也有着密切的联系可以说，特征值与特征向量问题是矩阵理论的基本核心问题因此，掌握这方面的知识对于培养新的高素质科技人才来说是必备的非常重要的矩阵是高等代数课程的一个基本概念是研究高等代数的基本工具线性空间、线性变换等，都是以矩阵作为手段，由此演绎出丰富多彩的理论画卷求解矩阵的特征值和特征向量，是高等数学中经常碰到的问题一般的线性代数教材中，都是先计算特征多项式，然后求得特征值，再通过解线性方程组得到对应的特征向量。

特征多项式和特征根在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在于生活现实中的应用也很广泛特征”一词来自德语的eigen，由希尔伯特在1904年首先在这个意义下使用（亥尔姆霍尔兹在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念）eigen一词可翻译为“自身的”，“特定于...的”，“有特征的”或者“个体的”，这强调了特征值对于定义特定的变换上是很重要的 矩阵特征值是高等代数研究的中心问题之一，也是硕士研究生招生考试的热点.而且在自然科学（如物理学、控制论、弹性力学、图论等）和工程应用（如结构设计、振动系统、矩阵对策）的研究中也同样离不开矩阵特征值问题,因而对其研究具有重要的理论和应用价值随着计算机的迅速发展，现代社会的进步和科技的突飞猛进，高等代数作为一门基础的工具学科已经向一切领域渗透，它的作用越来越为世人所重视在多数高等代数教材中，特征值与特征向量描述为线性空间中线性变换的特征值与特征向量；而在大部分线性代数教材中,特征值与特征向量的讨论被作为矩阵理论研究的一个重要组成矩阵的特征值应用于生活中的，为生活各类问题解决，创建有效的数学模型提供了有效的工具，为解决问题提供有效的方法矩阵的特征值与特征向量是数学与其它科学研究的基础和工具。

学习和研究数学，联系实际，通过数学的工具来解决生活上问题离开数学别的科学研究是寸步难行的，所以我们必须重视数学，深入研究矩阵特征值与特征向量，从而促进所有科学的发展第1章 绪论1.1研究背景及意义矩阵是数学中重要的一个基本概念之一，是代数中的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个极其重要的工具矩阵特征值与特征向量问题是矩阵理论中的重要组成部分，它在高等代数与其他科技领域中占有非常重要的位置同时它又贯穿了高等代数中的方方面面，对该课题的研究加深了我们对高等代数中各个部分的认识，从而使我们能更深刻的了解高等代数中的相关理论对矩阵特征值与特征向量理论研究及其应用探究，不仅仅提高高等代数以及相关课程的理解有很大的帮助，而且在理论上也非常重要，可以直接用它来解决实际问题.现在矩阵已成为独立的一个数学分支，矩阵的特征值与特征向量的应用是体现在多方面的，不仅仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技方面都有十分广泛的应用1.2研究现状在此之前已有很多专家学者都涉足此领域研究该问题汤正华在2008年发表的《关于矩阵的特征值与特征向量的探讨》讨论了矩阵的特征值与特征向量的定义、性质；特征值与特征向量的求法等问题。

李延敏在《关于矩阵的特征值与特征向量同步求解问题》中通过对矩阵进行行列互换，同步求出矩阵特征值与特征向量，解决了不少带参数求特征值问题，并给出一些新定理邵丽丽在2006年《矩阵的特征值和特征向量的应用研究》中通过对阶矩阵的特征值与特征向量的研究，针对阶矩阵的特征值与特征向量的应用进行了3方面的探讨，并给出了相关命题的证明及相应的例题向以华在《矩阵的特征值与特征向量的研究》对矩阵特征值与特征向量相关问题进行系统的归纳，得出了通过对矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值与特征向量的结论，同时讨论了反问题汪庆丽在《用矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量》中研究了一种只对矩阵作适当的初等行变换就能求到矩阵的特征值与特征向量的方法，论证其方法的合理性，并阐述此方法的具体求解步骤郭华、刘小明在《特征值与特征向量在矩阵运算中的作用》中从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体的例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用王秀芬在《线性递推关系中特征值与特征向量的应用》中推导出一种方法，通过此方法可以利用特征值与特征向量求线性递推关系中的通项公式马巧云在《特征值法求解二次型的条件最值问题》中根据Lagrange 乘数法求解条件最值问题的原理，针对特殊的二次型条件最值问题，分析最值与特征值间的对应关系，给出二次型条件最值问题求解的特征值方法，并结合例子说明特征值方法求解的简便及有效，具有一定的应用价值。

近年来，对矩阵特征值与特征向量的研究已经很深入，本课题将对矩阵特征值与特征向量的相关问题进行系统的归纳对矩阵的特征值与特征向量的基本性质进行介绍，根据其性质对矩阵特征值与特征向量的应用进行更深一步的探讨1.3研究内容及方法在前人的研究基础上，本文给出了特征值与特征向量的概念与性质，特征值和特征向量性质是最基本的内容，特征值与特征向量的讨论使这一工具的使用更加的便利，解决问题的作用更强有力，它的应用也就更加广泛在这基础上，对矩阵特征值与特征向量的计算进行了详尽的阐述和说明利用特征方程来求特征值进而求特征向量法、列行互逆变换法以及矩阵的初等变换求特征值与特征向量由于矩阵特征值与特征向量的应用是多方面的，本文重点介绍对特征值与特征向量应用的探究,阐述了特征值与特征向量在矩阵运算中的作用，利用特征值法求解二次型最值的问题和反求解问题的应用，以及特征值与特征向量在其他方面的应用在例题解析中运用了一些特征值与特征向量的性质与方法，可以使问题更加简单，在运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种有效的途径本文就是通过大量的例子来说明运用特征值和特征向量的性质可以使问题更清楚，从而使高等代数中大量习题迎刃而解，也把特征值和特征向量在解决实际问题中的优越性表现了出来。

第2章 特征值与特征向量的概念2.1特征值与特征向量的定义和性质2.1.1线性变换的特征值与特征向量定义1：设是数域上线性空间的一个线性变换，如果对于数域中一数，存在一个非零向量，使得那么称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量.2.1.2 阶方阵的特征值与特征向量定义2：设是阶方阵，若存在数和维向量，使得成立，则称为的特征值，是对应于特征值的的特征向量.性质1若是的重特征值，对应于特征值有个线性无关的特征向量，则.性质2 若都是矩阵的属于特征值的特征向量,则当不全为零时, 仍是对应于特征值的的特征向量．性质3 若是矩阵中互不相同的特征值，其对应特征向量分别为，则是线性无关的．性质4 若的特征值为，则，．性质5 实对称矩阵的特征值都是实数，属于不同的特征值的特征向量正交．2.2 中线性变换的特征值、特征向量与矩阵的特征值、特征向量之间的关系 定理:设是的一组基,1）的特征值必是的特征值，的属于的特征向量，则必是的属于特征值的特征向量.2）设是的一个特征值，且，则是的一个特征值.若是的一个属于特征值的一个特征向量，则是的一个属于的特征向量.证明：1）设是的特征值，于是有使得，其中，设，则，又，所以有，由他们的坐标列相等可得，所以其次线性方程组有非零解，于是，故是的特征多项式的根，即是的特征值，从而的坐标是的属于的特征向量.2）设是的一个特征值，，且，于是有非零解，，令，，即，于是，故是的一个特征值，且是的属于的特征向量.2.3求数字方阵的特征值与特征向量由方阵的特征值和特征向量的定义知:是的属于的特征向量 因为所以是齐次线性方程组的非零解，所以是特征方程的根。

将上述过程逆叙得到求数字方阵的特征值和特征向量的步骤如下:(1) 计算的特征多项式；(2) 解特征方程,求出它的全部根 ,它们就是的全部特征值3) 对每一个特征值 ,求出齐次线性方程组的一个基础解系,这个基础解系便是的属于的线性无关的特征向量,则的属于的全部特征向量是这个解系的非零线性组合: ,其中是不全为零的数.例3.1.1 设线性变换在下的矩阵是，求的特征值与特征向量.解：因为特征多项式为.所以特征值（二重）和5.把特征值代入齐次方程组得到它的基础解系是，.因此属于的两个线性无关的特征向量就是，.而属于的全部特征向量就是，，取遍数域中不全为零的全部数对.再用特征值5代入，得到它的基础解系是，因此，属于5的一个线性无关的特征向量就是，而属于5的全部特征向量就是，是数域中任意不等于零的数.2.4行列互逆变换法解特征值与特征向量为了定理的叙述方便，先给出一个定义.定义1.把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换:1 . 互换i、j两列,同时互换j、i两行；2 . 第i行乘以非零数，同时第j列乘；3 . 第 i行倍加到第 j行，同时第 j列倍加到第 i列 .定理1 为n阶可对角化矩阵，并且其中，则为的全部特征值，为的对应的特征向量.证明：由行初等变换等价于左乘初等矩阵，列变换等价于右乘初等矩阵的性质及行列互逆变换的定义知，为若干初等矩阵的乘积，当然可逆，且，即，所以.因为，所以，则，所以因此，该方法求出的为的特征值，为的对应特征值的特征向量． 为了运算上的方便，这里约定： 1.表示矩阵的第j行倍加入第i行； 2.表示矩阵的第j列的倍加入第 i 列． 由于用定理1求解时，总会遇到形如 或形式的矩阵化对角阵问题，为此给出具体方法：或 ，其中.则为的分别对应特征值和的特征向量； 为的分别对应特征值和的特征向量.例3.2.1求的特征值与特征向量.解： 所以，特征值；特征向量分别为.例3.2.2求的特征值与特征向量.解： . 所以，特征值分别为；特征向量分别为，，，.下面给出定理1的推广定理.定理2. 为任意阶方阵，若，其中为约当矩阵，为约当标准形. ，，则为的特征值；为的对应特征值的特征向量.证明：由一般代数书中定理可知必相似于一约当矩阵，按定理2中化简方法，则有，即，其中，所以，故有，所以为的特征值；为的对应的特征向量.例3.2.3 求的特征值与特征向量.解：所以特征值为，对应特征值的特征向量，对应的特征向量为.2.5利用矩阵的初等变换解特征值特征向量引理 矩阵左乘或右乘一个可逆矩阵，其秩不变.即若为矩阵，分别是m和n阶可逆矩阵，则.由此可知，若，且为n阶单位矩阵，则形如的矩阵必可经过一系列变换成的形式，其中为矩阵且，分别为和矩阵，为零矩阵，从而有定理1 设为矩阵，其秩，，则比存在n阶可逆矩阵，使，且的个列向量就是齐次线性方程。