函数的极值与最值(IV).ppt

(1) 确定函数的定义域； (2) 求出导数f (x)； 找出定义域内全部驻点和不可导点； (3) 这些点将定义域分成若干个小区间； 列表判断函数的导数在每个小区间上的 符号，从而可以求出函数的单调区间确定函数单调区间的步骤确定函数单调区间的步骤复习：复习： 由于函数在不同的区间的单调性不同，因而在图象由于函数在不同的区间的单调性不同，因而在图象上会出现上会出现“峰峰”与与“谷谷”，使函数值在，使函数值在局部范围局部范围内出内出现现“最大最大”、、“最小最小”，称之为函数的极大、极小值称之为函数的极大、极小值§3.2 函数的极值和最值函数的极值和最值一、函数的极值一、函数的极值一、函数的极值一、函数的极值由上节知道：大部分函数由上节知道：大部分函数f(x)在其定义域内的单调在其定义域内的单调性性可能可能是不唯一的是不唯一的 设设函函数数f(x)在在区区间间(a, b)内内有有定定义义，，x0 (a, b)．． 函数的极大值与极小值统称为函数的函数的极大值与极小值统称为函数的极值极值，使函数取，使函数取得极值的点称为得极值的点称为极值点极值点．．极值的定义：极值的定义：如上如上图图中，函数有极大中，函数有极大值值和极小和极小值值 f(a)和和 f(b)是否为极值？是否为极值？x1x2x3x4x5x6x7xyOab y=f(x)（（1））函数的极值是一个局部性概念，最值是全局性概念函数的极值是一个局部性概念，最值是全局性概念（（2）） 极值的个数可能有多个，极小值可以大于极大值；极值的个数可能有多个，极小值可以大于极大值；（（3））极值一定在区间内部取得极值一定在区间内部取得,但是最值可以在端点取到。

但是最值可以在端点取到4）函数在某个区间内可能有极值，也可能无极值；）函数在某个区间内可能有极值，也可能无极值； 单调函数一定无极值单调函数一定无极值◆◆函数的极值和最值的区别：函数的极值和最值的区别：见书上图形见书上图形◆◆函数的极值和最值的联系：函数的极值和最值的联系：函数的最值如果不在端点处取到，则一定在区间内函数的最值如果不在端点处取到，则一定在区间内部的极值点处取到部的极值点处取到取得极值的必要条件：取得极值的必要条件：观察极值与切线的关系：观察极值与切线的关系：在极值点处，如果函数曲线有切线，则切线是水平的．在极值点处，如果函数曲线有切线，则切线是水平的．xyOabx1x2x3x4x5x6x7 y=f(x)定理定理1 （费马定理）（必要条件）（费马定理）（必要条件）设函数设函数f(x)在点在点x0处可处可导，且在导，且在x0处取得极值，那么处取得极值，那么f  (x0) 0．．注：可导的极值点一定是驻点注：可导的极值点一定是驻点因此：对可导的函数找极值点，只需找驻点即可因此：对可导的函数找极值点，只需找驻点即可但应注意的是：驻点只是可疑的极值点但应注意的是：驻点只是可疑的极值点另外：函数在不可导点也另外：函数在不可导点也有可能有可能取得极值取得极值极值可疑点◆◆极值的第一判别法极值的第一判别法设函数设函数 在点在点 的某个邻域内可导（点的某个邻域内可导（点 可除外）可除外）则则 在点在点 处取得处取得极大值极大值；；则则 在点在点 处取得处取得极小值极小值；；则则 在点在点 处处无极值无极值；；口诀：口诀：“先正后负取极大值、先负后正取极小值，恒正恒负不取先正后负取极大值、先负后正取极小值，恒正恒负不取极值极值”所谓正负是指导数的符号。

所谓正负是指导数的符号求函数极值的步骤：求函数极值的步骤： (1) 确定函数的定义域； (2) 求出导数f (x)； 找出定义域内全部驻点和不可导点； (3) 这些点将定义域分成若干个小区间，列表考察各个驻点和不可导点的左、右两侧导数的符号，根据定理判断是否为极值点，如果是再进一步确定是极大值点还是极小值点； (4)求出各极值点的函数值，就得到函数的所有极值 所以，函数所以，函数f(x)的极大值为的极大值为f( 1) 10，， 极小值为极小值为f(3)   22．．例例1 1 求函数求函数f(x) x 3 3x 2 9x  5的极值．的极值． 解解 (1)函数的定义域为函数的定义域为R （（2））f  (x) 3x 2 6x  9 3(x 1)(x 3)．． (3)令令3(x 1)(x 3) 0，得驻点，得驻点x 11，，x 2 3．． (4)列表判断：列表判断：(3, ) 22(, 1)  1( 1, 3)3 f  (x)  00   f(x) 10极大值极大值极小值极小值↗↗极小极小值值-3-3↘↘极大极大值值0 0↗↗+ +0 0-不存在不存在+ +(1,+∞)(1,+∞)1 1(0,1)(0,1)0 0(-∞,0)(-∞,0)所以，所以，f (0)=0为为f(x)的极大值；的极大值；f (1)=-3 为为f(x)的极小值。

的极小值 例例2解：解： 【例【例3】求函数】求函数的极的极值值 得得驻驻点点即函数是即函数是单调单调增加的，所以无极增加的，所以无极值值应注意的问题：应注意的问题： 如果函数如果函数f(x)在在驻点驻点x 0处的二导数处的二导数f  (x 0)  0，那么，那么点点x 0一定是极值点，并且可以按二阶导数一定是极值点，并且可以按二阶导数f  (x 0)的符号的符号来判定来判定f(x 0)是极大值还是极小值．但如果是极大值还是极小值．但如果f  (x 0) 0或或者者f(x)在该点不可导在该点不可导 ，，必须用第一判别法来判别必须用第一判别法来判别 定理定理2 (第二判别法第二判别法) 设函数设函数f(x)在点在点x 0处具有二阶处具有二阶导数且导数且f  (x 0) 0，，f  (x 0) 0，那么，那么 (1)当当f  (x 0)<0时，函数时，函数f(x)在在x 0处取得极大值；处取得极大值； (2)当当f  (x 0)>0时，函数时，函数f(x)在在x 0处取得极小值．处取得极小值．口诀：口诀：“大小、小大大小、小大”【例4】求函数的极值。

解： 函数的定义域为极值与最值的关系：极值与最值的关系：◎◎设函数设函数 在闭区间在闭区间[a，，b]上连续，则函数的最上连续，则函数的最 大值和最小值一定存在．大值和最小值一定存在．◎◎函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得. ◎◎如果最值不在区间的端点取得，则必在开区如果最值不在区间的端点取得，则必在开区(a，，b) 的极值点处取得．的极值点处取得．二、函数的最大值、最小值因此：找最值只需比较因此：找最值只需比较端点端点的函数值和的函数值和极值点极值点处处的函数值即可的函数值即可 (2)求出求出f(x)在在(a，，b)内的所有驻点和不可导点；内的所有驻点和不可导点； (3)求出函数在上述点处和区间端点处的函数值；求出函数在上述点处和区间端点处的函数值； (4)比较上述函数值，找出最大的和最小的．比较上述函数值，找出最大的和最小的．求求[a,b]上函数最大值和最小值的步骤：上函数最大值和最小值的步骤：例例1 求求y 2x3 3x2 12x 14在在[ 3, 4]上的最大值与最小值．上的最大值与最小值． 解解: f(x)  2x 3 3x 2 12x  14，， f  (x) 6x 2 6x 12 6(x 2)(x 1)，， 令令f  (x) 0，得，得 驻点驻点x12，，x2 1，，由于由于 f( 3)  23、、f( 2)  34、、f(1)  7、、 f(4)  142 所以所以两种特殊情况：两种特殊情况：1、闭区间上的单调函数最值必然在端点处取得。

闭区间上的单调函数最值必然在端点处取得2、如果、如果连续连续函数在区函数在区间间内有且只有一个极大内有且只有一个极大(小小)值值，，这对这对其他区其他区间间也成立也成立(包括无包括无穷穷区区间间) 而没有极小而没有极小(大大)值，则此极大值，则此极大(小小)值就是函数在值就是函数在上的最大上的最大(小小)值【例【例7】求函数】求函数上的最大上的最大值值和最小和最小值值所以所以上上单调单调减少为为最大最大值值为为最小最小值值【例【例8】求函数】求函数得唯一得唯一驻驻点点 所以在所以在点取得极小点取得极小值值此唯一的极小此唯一的极小值为值为上无最大上无最大值值小结：小结：3、求函数极值的方法（两个充分条件）；、求函数极值的方法（两个充分条件）；4、求函数最值的方法，两种特殊情况；、求函数最值的方法，两种特殊情况；2、极值点、驻点、不可导点之间的关系极值点、驻点、不可导点之间的关系作业：作业：P82页，页，2、、3大题大题1、极值的定义，与最值的区别和联系、极值的定义，与最值的区别和联系课堂练习题：练习题答案：练习题答案：。