【高考必备】高中数学教师备课必备系列（复数）：专题六复数经典例题.doc

专题六复数经典例题类型一：复数的有关概念2例已知复数"芳¥ + (宀5一6)如R),试求实数a分别取什么值时，z分 别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.思路点拨：根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的 充要条件可分别求出相应的a值.解析=(1) 当Z为实数时,=>o = 6・••当6曰寸，z为实数.(2) 当z为虚数时,有二亠―6“斗"：且心6»工±皿* 宀]H0 匕工±]・••当 a€〔一8, -1) U (-1, 1)U (1, 6)U (6,心)时，z 为虚数.(3)当z为纯虚数时，5q —6工0 ( 1 口 // 工一1且心6 宀创/_7g + 6 =>[ =>底0—— 二 0 [a = 6a2-\・・・不存在实数使刁为纯虚数.总结升华：由于aeR,所以复数鼻的实部与虚部分为"+ 6与^_5^_60 _]① 求解第(1)小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还盂考虑它的实部是否冇意义，否则本小题将出现增解；② 求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题；③ 求解第（3）小题时，既要考虑实数为0 （当然也要考虑分母不为0）,还需虚部不为0,两 者缺一不可.举一反三：【变式1】设复数z二a+bi （a、beR），则z为纯虚数的必要不充分条件是（ ）A. a=0 B. a二0 且 bHO C. aHO 且 b二0 D. aHO 且 bHO【答案】由纯虚数概念可知：沪0且bHO是复数zF+bi （a、bWR）为纯虚数的充耍条件.而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择A.【变式2】若复数（/_3d + 2） + （d-l）i是纯虚数，则实数的值为（）A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D.-1【答案】B；・・・（/—3a + 2） +（G — l）i是纯虚数，・・・/一3。

2 = 0目卫―1H0,即a = 2.【变式3】如果复数（m2+/）（l + mz）是实数，则实数m二（ ）A. 1 B. -1 C. \[2 D. -V2【答案】B；【变式4】求当实数加取何值时,复数z = （m2 - m - 2） + （；7?2 -3m + 2）i分别是：（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数.【答案】（1） 当43机+2 = 0即朋=1或m=2时，复数N为实数；（2） 当耕2—3耕+2工0艮卩用工1且耕工2日寸，复数n为虚数；（3） 当r"_m_2 = °即用=-1时，复数z为纯虚数.\m —3朋 + 2 H 0例2.计算:类型二：复数的代数形式的四则运算(3) (1 + 20-(1-20；⑷(1-4i)(l + i) + 2 + 4i解析:(1) V i2=-\•3 -2同理可得:当 x=4疋+1(疋 e N+)时,i4A+ii=(/y i=i当兀=4疋+2(疋已耳)时，=i4fL i2 = -\ ?^n = 4k+3(keN+)时,『宀—当 n = 4k+斗(疋e A；)0寸，i4fL =严-i4 = (i4/ = l,(兀=4疋+l,疋e N) (n=4k+2^ AteN) (x = 4疋+3, fee//) (x = 4疋+4, keN}(neN+)(2) (l + z)8 = [(l + z)2]4 = (2z)4 =24/4 = l6(3) (I+ 20 + (1— 2d)l + 2zl-2z(l + 2i)(l + 2i) 12 + (2/)2+4z —3 + 4i 3 4. = = = 1 1(1-20(1 + 2/) F—⑵)2 5 5 5Z1X (1-40(1 + 0 + 2 + 4/ 1 + 4-3/ + 2+4Z 7 + i (7 + z)(3-4z)⑷ = = = 0 3 + 4/ 3 + 4, 3 + 4/ 32+4221 + 4 + 引一 2& 25-25/ ..= = = l-i.25 25总结升华：熟练运用常见结论：1) 厂的“周期性”(底N+)2) (l±z)2 =±2z3) (a + bi)(a-bi) = a2 + b2举一反三：【变式1】计算：(1)(2)(3)(4)(5 — 6i) + ( — 2— i) 一(3+4i)(1+ 2z)(3-4z)(2-z)i • i2 i3 z100(i+沪-(13 . (1+o2 - (1 - z)2 ;【答案】(1) (5—6i) + (—2—i)—(3+4i)=[(5—2) + (—6—1) i] — (3+4i)= (3—7i)—(3+4i)= (3—3) + (—7—4) i^lli.(2) . (1+2iX3一4iX2-i) =(11 + 2iX2-i) = 24-7i严=严+L+财=严=(尸严宀产=_1(4) (1 + 厅-(1-7)1(1+沪・(1+7)_(1_沪(—)_2「(1 + 0+2心-。

力・2_1 (1+02-(1-02 - 2i-(-2i) 一 4i 一血一【变式2】复数2z(1 + z)2 = ()A. -4 B.C. -4iD. 4z【答案】A； 2i(l + i)2 =2i(l + 2i-l) = 2ix2i = 4i2 =-4【变式3】复数学色等于(V3-ZA. iB. -iC. y/3 + iD. V3-z=丄=i,故选A■I【答案】A；1 +岛_ 1 +孙 V3 ・ i -z(l + x/3z)【变式4】复数(z--)3等于( )iD. -8iA. 8 B. -8 C. 8i【答案】D； (z -1)3 = (/ + —)3 = (2z)3 = 8z3 = -8z.i i类型三：复数相等的充要条件例3、已知x是实数，y是纯虚数，且满足(2x—1) + (3 —y)i二y—i,求x、y.思路点拨：因xWR, y是纯虚数，所以可设y二bi (bWR且bHO),代入原式，由复数相等的 充要条件可得方程组，解之即得所求结果.解析：•・'是纯虚数，可设y二bi (bGR,且bHO),则(2x—1) + (3—y) i= (2x—1) + (3 —bi ) i= (2x—1+b) +3i,y—i =bi —i= (b—1) i由(2x—1) + (3 —y) i二y — i 得(2x—1+b) +3i= (b — 1) i,由复数相等的充要条件得2x-l + b = 0b — l = 3=>b = 43，x =——2x =——,y = 4z2 “总结升华：1. 复数定义：“形如z = a + bi Ca.be R )的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这一形式, 求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实，把复数问题转化为实数问题 來研究•这是解决复数问题的常川方法.2. 复数相等是复数问题实数化的有效途径之一,由两复数s+bi与c+di (a, b, c, dWR)相 等的充要条件是a二c且b二d,可得到两个实数等式.3. 注意左式中的3—y并非是(2x—1) + (3—y) i的虚部，同样，在右边的y—i中y也并非是实 部.举一反三:【变式I】设"为实数，且&总【答案】由&总r吉得冷陀（g氓（g即 5x(l+i)+2y(l+2i)=5(l+3i),即(5x+2y-5) + (5x+4y-l5) i=0〉5x+2y -5 = 05x+4y-15 = O?x+y =4【变式2】若zee ja(3+z)i=l(i为虚数单位),则z二【答案】设 z=a+bi (a, bER),则(3+z) i=-b+ (3+a) i=l由复数相等的充要条件得b=-l且沪-3,即z=-3-i.[1 o •【变式3】设复数满足一=i,贝ijz=（ ）ZA ・—2 + i B. —2 — i C. 2 — i D.2 + i■亦c l + 2i【答案】Z = =•1二-故选 C.类型四：共轨复数例4：求证：复数z为实数的充要条件是z = z思路点拨：需要明确两个复数相等的条件以及共轨复数的概念解析：设£=□+勿（a〉bER力贝>Jz =a-bi充分性：Q 2 = z => a + bi = a - bi b = -b b = 0 z e R]必要性：Qn E R、b = Qd a+bi = a n = n综上，复数z为实数的充要条件为£ = ?举一反三：【变式1】x,ywR,复数（3兀+ 2刃+5力与复数（y_2）Z + 18的共轨复数相等,求x, y.【答案】(y — 2)i + 18 = 18 + (2f/.18-(^- 2)z = (3x + 2y) + 5xi =>3x + 2y = 18 =2 - y = 5xx = -2y = 12【变式2】若复数z同时满足z — z = 2i, z = iz (i为虚数单位),则沪【答案】一1+i【变式3】已知复数z=l+i,求实数a、b使az + 2bz - (tz + 2z)2.【答案】Tz二 1+i,・：az + 2bz = (a + 2b) + (a-2b)i,(a + 2z)~ = (a + 2)~ — 4 + 4( 6/ + 2)z=(a2 + 4g) + 4(cz + 2)iTa、b 都是实数,・••由 az + 2bz = (a 4- 2z)2 得Ja + 2Z? = 6t2 +4a, [a-2b = 4(a + 2).两式相加，整理得a+6ai8=0解得①二一2, a2=—4,对应得 bi=—1, b2=2.•I 所求实数为 a=—2, b=—1 或 a=—4, b二2.7、类型五：复数的模的概念例5、已知数z满足z+|z|=2+8i,求复数z.法一:设 z=a+bi (a〉b ER)〉则| z |= y/a1 +b2〉代入方程得 a + bi + ^^+b1 =2 + 8i.，解得o=—15& = 8Az=-154Si法二：原式可化为:z=2- |z|+8i^ 丁 |z| €R>・・・2 — |z|是z的实部.于是|z|=7(2^zD2 + 8S ^|z|2^8-4|z| + |z|%A | z 1=17,代入 z=2-|z|+8i得 z=— 15+8i.举一反三：【变式】已知Z二l+i, a, b为实数.(1)若 69 = Z2 +3z —4 ,求 |69|;(2)若 z；+°z + b “J,求 匕的值. z2-z + l【答案】(1) ^=(l + z)2+3(l-z)-4 =2/ + 3-/-4 = /-1| co |= V2⑵・・・，+血+仁(1 +尸+(1 +加+方」2 +小+方+。

z2-z + l (1 + 02-(1 + 0 + 1 i:.(0 + 2) — 。