南开大学数学分析考研试卷答案.pdf

南开大学年数学分析考研试卷答案一、设),(xyxyxfw其中),(zyxf有二阶连续偏导数，求xyw. 解：令 u=x+y，v=x-y，z=x，则zvuxfffw；)1()1()1(zvzuvvvuuvuuxyffffffw二、设数列na非负单增且aannlim，证明aaaannnnnn121lim. 解：因为 an非负单增，故有nnnnnnnnnnaaaaa1121)(. 由aannlim；据两边夹定理有极限成立三、设0,00),1ln()(2xxxxxf,试确定的取值范围，使 f(x)分别满足：（1） 极限)(lim0 xfx存在（2） f(x)在 x=0 连续（3） f(x)在 x=0 可导解： （1）因为)(lim0 xfx=)1ln(lim20 xxx=)() 1(2lim221420nnnxxonxxxx极限存在，则2+0知2. (2)因为)(lim0 xfx=0=f(0)所以要使 f(x)在 0 连续则2. （3）0)0(f所以要使 f(x)在 0 可导则1. 四、设 f(x)在 R 连续，证明积分ydyxdxyxfl)(22与积分路径无关 . 解；令 U=22yx，则ydyxdxyxfl)(22=21duufl)(又 f(x)在 R 上连续，故存在 F（u）使 dF(u)=f(u)du=ydyxdxyxf)(22. 所以积分与路径无关。

五、设f(x)在a,b上可导，0)2(baf且Mxf)(, 证明2)(4)(abMdxxfba证 ： 因f(x) 在 a,b 可 导 ， 则 由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ， 存 在)2)()2()(),(baxfbafxfba使即有dxbaxfdxxfbaba)2)()(222)(4)2()2()2)(abMdxbaxdxxbaMdxbaxfbbabaaba六、设na单减而且收敛于0nansin发散a)证明收敛nansinb)证明1limnnnvu其中1(sinsin)nnkkkuakak；1(sinsin)nnkkkvakak. 证： （1）因为21sin1sink而na单减而且收敛于 0，根据狄利克莱判别法知sinnan收敛（2）因为正项级数nansin发散则sin()kakn又由上题知1sinnkkak有界，故有1limnnnvu七、设dxxxetFtxsin)(1证明（1）dxxxetxsin1在), 0一致收敛（2）)(tF在),0连续证： （1）因dxxx1sin收敛（可由狄利克莱判别法判出） 故在 t=0 上一致收敛；又txe在 x=1,t=0 单调且一致有界)0, 1(10txetx由阿贝尔判别法知一致收敛（2）,0,), 000tt使由上题知， F（t）在,一致收敛，且由xxetxsin在（x,t）,), 1上连续知F（t）在,连续所以在0t连续，由0t的任意性得证。