2019年高考数学一轮复习 专题1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件（讲）文.doc

第02节 命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲解读】命题角度考 纲 内 容5年统计命 题 分 析 预 测1．命题及其关系1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．无1．该部分知识单独考查的可能性很小，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为选择、填空题，低档难度．2．备考重点：（1）命题的真假的判断；（2）利用充分条件、必要条件求参数的范围．2．充分条件和必要条件理解必要条件、充分条件与充要条件的意义2014课标Ⅱ，3【知识清单】1．命题及其关系（1）命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．（2）四种命题及相互关系（3）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．对点练习：有下列四个命题（1）“若，则”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若AB=B，则”的逆否命题．其中真命题为（ ）A、（1）（2） B、（2）（3） C、（4） D、（1）（3）【答案】D2．充分条件与必要条件（1）若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；（2）若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件；（3）若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；（4）若p⇔q，则p是q的充要条件；（5）若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．对点练习：【2018高考北京文4】设是非零实数，则“”是“成等比数列”的 （ ）A．充分而不必条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：证明“”不能推出“成等比数列”只需举出反例即可，论证“成等比数列”能推出“”可利用等比数列的性质．试题解析：当时，不成等比数列，所以不是充分条件；当成等比数列时，则，所以是必要条件．．综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故选B．【名师点睛】本题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“”以及“”的真假．判断一个命题为真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题．【考点深度剖析】高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要有两个：一是考查命题的四种形式以及真假判断，考查等价转化数学思想；二是以函数、方程、不等式、立体几何线面关系为背景的充分条件和必要条件的判定以及由充分条件和必要条件探求参数的取值范围．【重点难点突破】考点1四种命题的关系及真假判断【1-1】给出命题“已知实数满足，则”，它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ）A． 0　　　　　B． 1　　　　　C． 2　　　　　D． 3【答案】B【解析】∵．∴原命题为真，从而逆否命题为真；若，显然得不出，故逆命题为假，因而否命题为假，选B．【1-2】命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是（ ）A．若是偶数，则与不都是偶数 B．若是偶数，则与都不是偶数C．若不是偶数，则与不都是偶数 D．若不是偶数，则与都不是偶数【答案】C【解析】命题的逆否命题是将条件和结论对换后分别否定，因此“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是若不是偶数，则与不都是偶数．【1-3】以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若，则函数在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若，则”与命题“若，则”等价．【答案】②④【解析】对于①，若，则，所以函数在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若是偶数，则都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若，则”与命题“若，则”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④．【领悟技法】1．四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题．注意：在写其他三种命题时，大前提必须放在前面．2．正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．3． 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．4． 否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．【触类旁通】【变式一】命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题(　　)A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题【答案】D【解析】原命题显然为真，原命题的逆命题为“若的三内角成等差数列，则有一内角为”，它是真命题．【变式二】【2018河北衡水金卷四】下列结论中正确的个数是（ ）①“”是“”的充分不必要条件；②命题“”的否定是“”；③函数在区间内有且仅有两个零点．A． 1 B． 2 C． 3 D． 0【答案】A【解析】分析：由题意逐一考查所给命题的真假，然后判断真命题的个数即可．详解：逐一考查所给命题的真假：①若，则，反之未必成立，故“”是“”的充分不必要条件，该命题正确；②命题“”的否定是“”，原命题错误；③函数的零点即函数与函数交点的个数，绘制函数图象如图所示，观察可知，交点的个数为1个，则零点的个数为1个，原命题错误．综上可得，正确命题的个数为1个．故选A．【名师点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可．否则，可利用以下结论进行判断：①一个命题的否定与原命题肯定一真一假；②原命题与其逆否命题同真假．考点2 充分必要条件的判定【2-1】【2018天津滨海新区模拟】已知集合，集合，则“”是“”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：该题属于不等式、函数的定义域、集合间关系以及充要条件判断的综合题，根据题意求出集合，之后应用集合的关系判断充分必要性即可．详解：利用绝对值不等式的求法求得，利用对数式有意义，真数大于零求得，因为是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件，故选B．【名师点睛】分别求出题中所给的集合A，B，结合集合的包含关系判断即可．【2-2】【2018广东佛山二模】已知函数，则“”是“”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【2-3】设为向量．则是的（ ）A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C． 充分必要条件 D．既不充分也必要条件 【答案】Ｃ　【解析】设向量的夹角为，若，，则，若，则，从而，是的充要条件．【2-4】【2018江西新余二模】“”是“函数在区间上无零点”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数f（x）=3x+m﹣3在区间[1，+∞）无零点，则3x+m＞3，即m+1＞，解得m＞，故“m＞1“是“函数f（x）=3x+m﹣3在区间[1，+∞）无零点的充分不必要条件，故选A．【领悟技法】充要关系的几种判断方法（1）定义法：若 ，则是的充分而不必要条件；若 ，则是的必要而不充分条件；若，则是的充要条件； 若 ，则是的既不充分也不必要条件．（2）等价法：即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．（3） 充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件【触类旁通】【变式一】【2018河北唐山二模】设，则“”是“ ”为偶函数的 （ ）A．充分而不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【变式二】以为公比的等比数列中，，则“”是“”的（ ）A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】等比数列中，若，则由可得，，即或；若，则有，所以，，即．所以，“”是“”的必要而不充分条件．故选．考点3 充分条件与必要条件的应用【3-1】给定两个命题，，若是的必要而不充分条件，则是的 （ ）A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由且可得且，所以是的充分不必要条件．【3-2】【2018衡水信息卷一】已知函数在上单调递减，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】当为真时，．记集合A，．若是的必要不充分条件，则．①当，即时，；②当时，等价于，解得．综上所述，实数的取值范围为，故答案为．【3-3】函数，有且只有一个零点的充分不必要条件是 (　　)A． B． C． D．或【答案】A【解析】因为函数过点，所以函数有且只有一个零点⇔函数没有零点⇔函数与直线无公共点．由数形结合，可得或．观察选项，根据集合间关系或，答案选A．【领悟技法】１．充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．（2）要注意区间端点值的检验．２．对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性．此时应注意分清楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）．【触类旁通】【变式一】【2018河北衡水金卷四】设： ，： ，若是的必要不充分条件，。