有心圆锥曲线准线的几何作图.doc

第 1 页 共 5 页有心圆锥曲线准线的几何作图王芝平（北京宏志中学 100013） 本文发表于《中学数学教学参考》2004 年第 4 期，P30 鉴于圆锥曲线的准线在研究圆锥曲线有关问题中的重要作用，本文在文 [1]、[2]的基础上，再介有心绍圆锥曲线准线几何作图的若干方法，供参考. 1利用射影定理作图利用直角三角形中的射影定理，可得椭圆1(＞＞0)、双曲2222byaxab线1(＞0，＞0)准线几何作图的统一的作法.2222byaxab1.1 椭圆准线的作图 作法 以原点为圆心,以为半径作圆,交轴于点 E,连ay 接 EF（F 是椭圆的左焦点） ，作直线 EH⊥EF 交轴于点 H，x 则过点 H 且垂直于轴的直线 L 即为椭圆的右准线（如图x 1）. 图 1 证明 因为|OF|＝c ，|OE|＝，在 Rt△FEH 中，由射影定理得，a|OE|2＝|OF|·|OH|，所以|OH|＝.故，直线 L 为椭圆的右准线.ca21.2 双曲线准线的作图 作法 以原点为圆心,以为半径作圆,交轴于点 E,连ay 接 EF（F 是双曲线的左焦点） ，作 EH⊥EF 交轴于点 H，则x 过点 H 且垂直于轴的直线 L 即为双曲线的右准线（如图x 2）. 证明同上,略. 图 2 2 利用相似三角形作图 2.1 椭圆准线的作图作法 过椭圆的右焦点 F 作 ST⊥轴交椭圆x1(＞＞0)于 S、T,A1、A2分别是椭圆的左、右顶2222byaxab点，连接 A1S、A2T 交于点 M，则过 M 垂直于轴的直线即为椭x 圆的(右)准线(如图 3). 图 3 证明 由作法知，，设 H(，0),则|||| |||| |||| ||||2211 HAFA MHTF MHSF HAFA0x，所以0＝.故，直线 MH 为椭圆的右准线. axca axac   00xca22.2 双曲线准线的作图 作法 过双曲线的右焦点 F 作 ST⊥轴，交双曲线x1(＞0,＞0) 于 S、T,A1、A2分别是双曲线的左、2222by axab右顶点，连接 A1S、A2T 交于点 M，则过 M 垂直于轴的直线即x 为 双曲线的(右)准线(如图 4). 图 4 yxLOEFHၹၹ굂ၹ굂굂굂ŸyOA2A1F͈ѓTMၹၹၹ굂댲 댲 굂댲 댲굂굂굂Tၹ第 2 页 共 5 页证明 由作法知，，设 H(，0),则 ,所|||| |||| |||| ||||2211 HAFA MHTF MHSF HAFA0x00xaac axac  以0＝.故，直线 MH 为双曲线的右准线. xca23．利用三角形角分线性质作图 3.1 椭圆准线的作图 作法 1 设 F1、F 是椭圆的左、右焦点，作 FT⊥轴，交椭圆于 T，图 5x 作△F1TF 的∠F1TF 外角平分线 TH，交轴于 H，则过 H 且垂直于轴的直线xx 即为椭圆的（右）准线（如图 5）. 证明 由作法和三角形外角平分线性质知，＝，所以||||1 TFTF ||||1 FHHF，设 H（，0） ，又|TF|＝，所以，|||||| ||||||11 FHFHHF TFTFTF0xab2 cxxba  00 2222即＝.故，过 H 且垂直于轴的直线为椭圆的(右)准线. 图 6 0xca2x作法 2 设椭圆的右顶点、上顶点分别为 A、B，F 是椭圆的右焦点，连 接 BF 并延长交椭圆于 P 点，作△ABF 的外角∠AFP 的平分线，交 BA 的延长 线于 M 点，作 MH⊥轴于 H，则直线 MH 即为椭圆的（右）准线（如图 6）. x 证明 作 BN⊥MH 于 N 点，因为 FM 平分△ABF 的外角∠AFP，则 ，又，所以，设 H（，0） ，所以|||| |||| BMAM BFAF|||| |||| BNAH BMAM|||| |||| BNAH BFAF0x，即＝.故，直线 MH 为椭圆的（右）准线.00 xax aca0xca23.２ 双曲线准线的作图 作法 1 设 F1、F 是双曲线的左、右焦点，作 FT⊥轴，交双x 曲线于 T，连接 F1T,作△F1TF 的∠F1TF 的平分线 TH，交轴于x H，则过 H 且垂直于轴的直线即为椭圆的（右）准线（如图 7）. x 图 7 证明 由作法和三角形角平分线性知，＝，所以||||1 TFTF ||||1 FHHF，设 H（，0） ，又|TF|＝，所以，|||||| ||||||11 FHFHHF TFTFTF0xab200 2222 xcxba 即＝.故,过 H 且垂直于轴的直线即为双曲线的(右)准线 . 0xca2x作法 2 设双曲线的右顶点、虚轴的上端点分别为 A、B2，F 是双曲线的右焦点，作 B2B⊥轴，交双曲线的右支于 B 点， 连y 接 BF 并延长交双曲线于 P 点，作△ABF 的外角∠AFP 的平分线，交 BA 图 8 的延长线于 M 点，作 MH⊥轴于 H，则直线 MH 即为双曲线的（右）准线x （如图 8）. 证明 设 B2B 与 MH 交于 N 点，因为 FM 是△ABF 的外角∠AFP 平分线，则 ，又，所以，又因为 B 点的纵坐标为,|||| |||| BMAM BFAF|||| |||| BNAH BMAM|||| |||| BNAH BFAFb所以 B 点的横坐标为＝,所以|BF|＝.设 H 点的坐标为1xa2ac 2ၹၹၹၹၹ H굂 굂굂굂yxOHFTF1 1əXŏFɈŔFȱ ȱXၹၹA굂댲 댲FHBPMN第 3 页 共 5 页（，0） ，所以，即＝.故,直线 MH 为双曲线的(右)准0x 00 22xaxaacac 0xca2线 . 4 利用圆锥曲线切线作图本作法以如下熟知的命题为基础.命题 1 设 T 是椭圆1(＞＞0)(双曲线2222byaxab1(＞0，＞0)上一点(非顶点), F1、F 是曲线的两焦点，TK 是2222byaxab∠F1TF 的角平分线的垂线(∠F1TF 的角平分线) ,则 TK 是椭圆(双曲线)在 T 点处的切线 .命题 2 椭圆1(＞＞0)及双曲线1(＞0，＞0)在2222byaxab2222byaxab点 T(,)处的切线方程分别是＝1 和＝1. 0x0y20 20 byyaxx20 20 byyaxx4.1 椭圆准线的作图作法 设 T(,)(非顶点)是椭圆0x0y1(＞＞0) 上一点,作∠F1TF 平分线的垂线 TK, 作 FM⊥TK,交直2222byaxab线 OT 于 M, 图 9 作 MH⊥轴于 H,则直线 MH 即为椭圆的(右)准线(如图 9). x 证明 由命题 1 知, TK 是椭圆在点 T 处的切线 , 由命题 2 知, TK 的方程为＝1,其斜率为,所以直线 FM 的方程为(20 20 byy axx0202yaxb 0202xbyay ),① 又直线 OT 的方程为,② 由①、②消去、得 (cxxyxy000x0y22bax )，即 ＝.故直线 MH 是椭圆的(右)准线.cxxca24.2 双曲线准线的作图 作法 设 T(非顶点)是双曲线1(＞0,＞0)上一2222by axab点,作∠F1TF 的角平分线 TK, 作 FM⊥TK,交直线 OT 于 M, 作 MH⊥轴于 H,x 则直线 MH 即为双曲线的(右)准线(如图 10). 图 10 证明同上，略. 5 利用圆锥曲线其它性质作图 5.1 椭圆准线的作图作法 设 B2、B1是椭圆的上、下顶点，F 是右焦点，连接 B1F 交椭圆于 B 点，连接 B2B 交轴于 H 点，则过 H 垂直于x 轴的直线即为椭圆的(右)准线(如图 11). 图x 11 证明 设点 B、H、F 的坐标分别为（，） 、 （，0） 、cosasinb0x（ ，0）.因为 F、H 分别是直线 B1F、B2B 与轴的交点，所以 ＝，cxc sin1cos aၹx굂ၹၹ댲ၹ 굂굂굂XyKOFHTF1 1MxၹOB1ၹ2шFB第 4 页 共 5 页＝.所以＝,即＝.故,过 H 垂直于轴的直线为椭圆的0x sin1cos ac0x2a0xca2x(右)准线. 5.2 双曲线准线的作图 作法 过双曲线的右焦点 F 作 B1B2⊥轴，交双曲线于两点 B1、B2， x B2F1交双曲线于 B 点，连接 B1B，设 B1B 交轴于 H 点，则过x H 垂直于轴的直线即为双曲线的(左)准线(如图 12). x 证明 1 设点 B、H、F 的坐标分别为（，） 、secatanb（，0） 、 （ ，0）,则 F1、B1、B2的坐标分别为（－ ，0） 、0xcc（ ，－） 、 （ ，）. 因为 F1、H 分别是直线 B2F、BB1与 图 12cab2cab2轴的交点，所以， ＝，＝ ①. xccossin2baab 0x cossinsin baacab 所以，＝＝＝c0x 22222coscossinsin2)sin(babacbba222222sincossinsin2)sin(bbabacbba＝，由①得222222sincossinsin)sin(cb。