2023学年高中数学第3章三角恒等变换阶段性测试题新人教B版必修4.doc

第三章　三角恒等变换(时间：120分钟　满分：150分)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知△ABC的内角A满足sin2A＝，则sinA＋cosA＝(　　)A. B.－C. D.－解析：A　由sin2A＝2sinAcosA＝，知A为锐角，sinA＋cosA>0，又(sinA＋cosA)2＝1＋2sinAcosA＝，∴sinA＋cosA＝，故选A.2．已知α∈，sinα＝，则tan＝(　　)A. B.7C．－ D.－7解析：∵α∈，sinα＝，∴cosα＝－，∴tanα＝－，∴tan＝＝＝，故选A.答案：A3．已知α，β都是锐角，tanα＝，tanβ＝，则α＋β的值为(　　)A. B.C. D.解析：tan(α＋β)＝＝＝1.∵α，β都是锐角，∴0<α＋β<π，∴α＋β＝，故选A.答案：A4．当－≤x≤时，函数f(x)＝sinx＋cosx的(　　)A．最大值是1，最小值是－1B．最大值是1，最小值是－C．最大值是2，最小值是－2D．最大值是2，最小值是－1解析：∵f(x)＝sinx＋cosx＝2＝2sin，x∈，∴f(x)∈[－1,2]，故选D.答案：D5．tan70°＋tan50°－tan70°tan50°＝(　　)A. B.C．－ D.－解析：原式＝tan(70°＋50°)(1－tan70°tan50°)－tan70°tan50°＝－(1－tan70°tan50°)－tan70°tan50°＝－，故选D.答案：D6．已知向量a＝，b＝(4,4cosα－)，若a⊥b，则sin等于(　　)A．－ B.－C. D.解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，a·b＝4sin＋4cosα－＝4sinαcos＋4cosαsin＋4cosα－＝2sinα＋6cosα－＝4－＝4sin－＝0，∴sin＝，∴sin＝sin＝－sin＝－.答案：B7．已知sinα＝，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝－，则tanβ的值为(　　)A．－ B.C．－ D.解析：∵α是第二象限角，∴cosα＝－＝－ ＝－， tanα＝＝－.∴tanβ＝＝＝－.答案：C8．若0≤θ<2π，且满足不等式cos20)，所得图象关于y轴对称，则m的最小值为(　　)A．π B.C. D.解析：y＝sin2＝＝－sin2x，函数y＝sin2的图象沿x轴向右平移m个单位，得到y＝－sin2(x－m)＝－sin(2x－2m)，此图象关于y轴对称，则－2m＝kπ＋，k∈Z，∴m＝－－，k∈Z，当k＝－1时，m＝，故选D.答案：D11．已知cos＝－，且x是第三象限角，则的值为(　　)A．－ B.－C. D.解析：＝＝tan.又π＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z，∴＋2kπ＜＋x＜＋2kπ，k∈Z，又cos＝－＜0，∴tan＞0.∴tan＝，故选D.答案：D12．(2023年·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4解析：根据题意有f(x)＝cos2x＋1－＋2＝cos2x＋，所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，且最大值为f(x)max＝＋＝4，故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若sin＝，则cos2θ＝________.解析：∵sin＝，∴cosθ＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－.答案：－14．若α，β为锐角，且cosα＝，cos(α＋β)＝－，则sinβ的值是________．解析：∵α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)，∴sinα＝，sin(α＋β)＝，∴sinβ＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝.答案：15．已知tan＝，且－＜α＜0，则＝________.解析：tan＝得＝，∴tanα＝－，∵－＜α＜0，∴cosα＝，∴sinα＝－.＝＝2sinα＝2×＝－.答案：－16．若向量a＝(sinθ，2)与b＝(cosθ，1)共线，则＝________.解析：∵a∥b，∴sinθ－2cosθ＝0.∴tanθ＝2.则原式＝＝＝＝－3.答案：－3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知α∈－，，β∈，sin＝，cos＝－.(1)求tan的值；(2)求sin(α＋β)的值．解：(1)∵－<α<，∴－<α－<0.∵sin＝>0，∴－<α－<－π，∴cos＝－＝－，∴tan＝tan＝＝＝＝.(2)∵<β<，∴π<＋β<2π，∴sin＝－＝－，∴sin(α＋β)＝sin＝－cos＝－coscos＋sinsin＝－×＋×＝－.18．(12分)已知α为第二象限角，且sinα＝，求的值．解：∵α为第二象限角，sinα＝，∴cosα＝－＝－.＝＝＝－.19．(12分)已知sin＝，A∈.(1)求cosA的值；(2)求函数f(x)＝cos2x＋sinAsinx的值域．解：(1)由A∈，可知A＋∈，则cos＝－，cosA＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.(2)由(1)cosA＝，A∈，∴sinA＝，∴f(x)＝cos2x＋sinAsinx＝1－2sin2x＋×sinx＝－2sin2x＋2sinx＋1＝－22＋，由sinx∈[－1,1]，可知f(x)∈.20．(12分)已知函数f(x)＝sin2x－2sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合；(3)求函数f(x)的单调增区间．解：(1)f(x)＝sin2x－2sin2x＝sin2x＋cos2x－1＝sin－1，∴T＝＝π.(2)当2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)有最大值为－1.(3)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．21．(12分)已知函数f(x)＝－2sin2x＋sin2x＋.(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；(2)在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．解：(1)f(x)＝(1－2sin2x)＋sin2x＝sin2x＋cos2x＝2sin，所以f(x)的最小正周期T＝＝π，最小值为－2.(2)列表：x0π2x＋π2πf(x)20－20描点连线得图象，如图所示．22．(12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)请根据②式求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．(证明步骤尽可能详细)解：解法一：(1)计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.解法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)＝1－cos2α－＋cos2α＝.1。