抛物线讲义.doc

第五讲 抛物线教学目的：1.掌握抛物线的定义、几何图形、原则方程及简朴性质（范畴、对称性、顶点、离心率等).2.理解圆锥曲线的简朴应用．理解抛物线的实际背景,理解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.３．理解数形结合的思想.一、 知识回忆 课前热身知识点1．抛物线的定义满足如下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内;(2）动点到定点Ｆ距离与到定直线l的距离相等;(３)定点不在定直线上.知识点2．抛物线的原则方程和几何性质原则方程ｙ2=2pｘ(p＞0)y2=－２px（p>０)ｘ2＝2ｐy（ｐ＞0)x2=－2py(ｐ>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点Ｏ（0,０)对称轴y=0x=0焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝-x＝y＝-y=范畴x≥0，y∈Rx≤0，ｙ∈Rｙ≥0，x∈Rｙ≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y０）|PF｜=x0+|PF|＝－x０＋｜PF｜=y0+|ＰF|=-y0＋例题辨析 　推陈出新例1设P是抛物线y2＝4ｘ上的一种动点．(１）求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线ｘ＝-1的距离之和的最小值；(2)若B(3，２),求|PB|＋|PF|的最小值.［自主解答] （1)如图,易知抛物线的焦点为F（１，0），准线是x＝－１．由抛物线的定义知:点P到直线x＝-1的距离等于点P到焦点F的距离.于是,问题转化为:在曲线上求一点P,使点Ｐ到点A(-1,1)的距离与点P到Ｆ（1,０)的距离之和最小．显然，连接ＡF交曲线于P点,则所求的最小值为|AＦ|，即为.(2)如图，自点B作BQ垂直准线于Ｑ，交抛物线于点P1，则|Ｐ1Q|＝|P1F|.则有|ＰB|＋|PF|≥|P１B|+|P1Ｑ|=|BQ|＝４.即|PB|＋|PＦ｜的最小值为4.变式练习1.(1)若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小２,则点P的轨迹方程是__＿＿__＿_．(２）过抛物线y2＝４x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则｜AB|等于________．解析：(1)由题意可知点Ｐ到直线y=－３的距离等于它到点（0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(０,3）为焦点,以y＝-3为准线的抛物线，且ｐ＝6,因此其原则方程为x2=1２ｙ．(2)抛物线的准线方程为x＝-1,则ＡＢ中点到准线的距离为3-（-1)=4.由抛物线的定义得|AＢ|=8.答案:(1）ｘ2＝１２y (２)8 例２(1）抛物线ｙ2＝24ax（a>0）上有一点M，它的横坐标是３，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为(　 )A.ｙ2＝８x 　　　 　 B．y2=1２ｘC．y2＝１6ｘ　 ﻩＤ.y2＝2０ｘ(2)设抛物线y２=２px(p＞0)的焦点为F，点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________.［自主解答]　(１)由题意知,3+6a=５，a=，则抛物线方程为y2＝８x.(2)抛物线的焦点F的坐标为，线段FA的中点B的坐标为，代入抛物线方程得1=2p×,解得p=,故点B的坐标为，故点Ｂ到该抛物线准线的距离为+＝.［答案]　(1)A　（2）变式练习2．已知直线ｌ过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与Ｃ交于A,Ｂ两点,|AＢ｜＝12,P为C的准线上一点,则△ＡBP的面积为（ ）Ａ．18　 ﻩB．２４C.36　 D.48解析：选C 设抛物线方程为y2＝2px,则焦点坐标为，将x＝代入ｙ２=2px可得ｙ2＝ｐ2,|ＡB|=12,即2ｐ＝12,得p＝6．点P在准线上,到AB的距离为ｐ＝6，因此△PAB的面积为×６×1２＝36. 例3已知过抛物线y2＝2pｘ(p>０)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,ｙ1)，B（x2,y2)(ｘ1０）与抛物线C:y2＝8ｘ相交于A,B两点，F为C的焦点,若|FA|=2|FB｜，求k的值.解:设A(x1，ｙ1）,Ｂ(x2，y2)，由得k2x2＋(4k２-8)x+4k２＝0,因此x１＋x2=－4,x1x2＝４.又由抛物线的定义可知｜FA|＝x1+2,|FB｜＝x2＋2，因此ｘ1+2＝2(x2＋2)，即x1=2（x2＋1），代入x1x2＝4得2（x２＋１）x２＝４,解得x2=１(x２＝－2舍去)，将x２＝1,x1＝4代入x1＋x1=－4得k2=,由已知k>0，因此k＝.三、 归纳总结 措施在握归纳４个结论——直线与抛物线相交的四个结论已知抛物线y２＝2ｐx(ｐ>0)，过其焦点的直线交抛物线于A，Ｂ两点，设A(ｘ1,y１)，B(x2，y２),则有如下结论:(１)|ＡB|＝ｘ１＋x２+p或|AB|＝(α为AB所在直线的倾斜角)；(2)x１ｘ2＝;（3）y1y2＝-p2；(4）过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径,抛物线的通径长为２ｐ.3个注意点——抛物线问题的三个注意点(1)求抛物线的原则方程时一般要用待定系数法求p的值，但一方面要判断抛物线与否为原则方程，若是原则方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种原则方程.(２)注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．(3)直线与抛物线有一种交点,并不表白直线与抛物线相切,由于当直线与对称轴平行（或重叠)时，直线与抛物线也只有一种交点. 1.随着新课程改革的进一步,某些以圆锥曲线在生活和生产中实际应用为背景的应用问题已经进入教材，并且越来越受注重，在某些考试中越来越多的体现．2．解决此类问题，要把实际问题抽象为数学问题,建立数学模型,抓住问题实质，运用数形结合，根据这些圆锥曲线的几何性质解决问题．四、 拓展延伸 能力升华例１(·陕西高考)下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降１米后,水面宽____＿＿＿＿＿＿__米.［解析] 以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2=－2ｐy(p>0),由题意知抛物线过点(2,-2),代入方程得p=1,则抛物线的方程为x2＝－2y,当水面下降1米时,为ｙ＝－3,代入抛物线方程得ｘ=±,因此此时水面宽为2米．[答案]　2变式练习1.海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的目前位置为原点,以正北方向为ｙ轴正方向建立平面直角坐标系(以１海里为单位长度）,则救援船正好在失事船正南方向12海里Ａ处，如图所示．现假设:①失事船的移动途径可视为抛物线ｙ=x2;②定位后救援船即刻沿直线匀速前去救援；③救援船出发t小时后,失事船所在位置的横坐标为7t.(1)当t＝0．5时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船正好会合，求救援船速度的大小;(2)问救援船的时速至少是多少海里才干追上失事船?解:(1)t＝0.５时，P的横坐标xP=7t＝,代入抛物线方程y＝x2,得P的纵坐标yP＝3.由|AP|＝，得救援船速度的大小为海里／时．(2）设救援船的时速为v海里,通过ｔ小时追上失事船，此时位置为(7t,12t2).由vt＝,整顿得v2＝１44＋337．由于t2＋≥2,当且仅当t=1时等号成立.因此ｖ２≥1４4×2+33７=252，即ｖ≥25.因此,救援船的时速至少是２5海里才干追上失事船.五、 课后作业 　巩固提高一、选择题(本大题共6小题,每题５分,共３0分）１．抛物线x2=(2a－１)y的准线方程是y＝1,则实数a=（　　)Ａ.　　 　 B.C.-　 ﻩＤ.-解析:选Ｄ　把抛物线方程化为x2＝－2y，则p=－a,故抛物线的准线方程是ｙ==，则＝1,解得a=－.2．已知抛物线ｙ２＝４x,若过焦点F且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A，B两点,O是坐标原点,则△OAＢ的面积是(　　)Ａ.1 　 Ｂ．2Ｃ．４ 　ﻩD.6解析：选B　焦点坐标是（1,0),Ａ(1,2)，B(1，-2)，|ＡＢ|＝4,故△OAB的面积S=|AＢ||OＦ|=×４×1=2.3．直线y=x＋１截抛物线y2=２px所得弦长为2,此抛物线方程为（ 　)Ａ．y2=２x 　ﻩＢ．y2=6xC.y２=-2x或y2=6ｘ 　 D．以上都不对解析:选C　由得x２＋(2-2p）ｘ＋１＝0.x1＋ｘ２＝2ｐ－２，ｘ1ｘ２=1.则2=·＝　·.解得p＝-1或ｐ＝３，故抛物线方程为ｙ2＝-2x或y2=6x．4．已知点M(１,0),直线l：x=-1，点Ｂ是l上的动点,过点Ｂ垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点Ｐ,则点P的轨迹是（　　）A．抛物线 B.椭圆C.双曲线的一支 ﻩD.直线解析:选Ａ　由点P在ＢM的垂直平分线上，故|PＢ|=|PM|.又ＰB⊥l，因而点P到直线l的距离等于点Ｐ到点M的距离,因此点P的轨迹是抛物线．5.(·湛江模拟)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x2＋y２-2x＋6y+9＝０圆心的抛物线方程是( ）Ａ．y＝3x2或y＝－3ｘ2　　ﻩＢ．y＝３ｘ2Ｃ．y2=-9x或y=３x2 　 D.ｙ＝-3x2或y２＝9ｘ解析：选D 圆的原则方程为(x－1)２＋(y＋3）２=1,故圆心坐标为（1,-３),设抛物线方程为y2=2p1ｘ或x２=-2ｐ2y,则（-3)２＝2p１或1＝6p２，得2ｐ1＝9或2p2＝,故抛物线方程为y2＝9x或x２＝－ｙ,则y2=9x或ｙ＝－３x2．6.(·衡水模拟)设斜率为2的直线l过抛物线y２＝ax（a≠0）的焦点Ｆ,且和y轴交于点Ａ，若△OAF（O为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为( 　)Ａ．y2＝±4ｘ B．y2＝±8xC．y2=４ｘ ﻩD.ｙ2=8x解析：选B　由题可知抛物线焦点坐标为，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y=２,令x=0,可得Ａ点坐标为，因此S△OAF=··=4.得ａ＝±８故抛物线方程为y=±8x.二、填空题（本大题共３小题，每题5分,共15分)7.以抛物线x2=－4ｙ的顶点为圆心,焦点到准线的距离为半径的圆的方程是__＿____＿_＿＿＿__.解析:抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为2，因此所求圆的方程为x2+y2=4.答案:ｘ2+y2＝4８．（·厦门模拟)已知动圆圆心在抛物线y2=4x上，且动圆恒与直线ｘ=-1相切,则此动圆必过定点_＿_＿＿___．解析：由于动圆的圆心在抛物线y2＝4x上,且x＝－1是抛物线y2=４x的准线，因此由抛物线的定义知,动圆一定过抛物线的焦点(1,０)．答案:（1，0）9．(·安徽高考）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|ＡF|＝3，则|B。