函数的定义域与值域-知识点与题型归纳.doc

●高考明方向 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.★备考知考情　 定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，三种题型都有，难度中等.一、知识梳理《名师一号》P13知识点一 常见基本初等函数的定义域注意：1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则！！！2、定义域必须写成集合或区间的形式！！！(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0(3)一次函数、二次函数的定义域均为R(4)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)(6)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意 义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约.（补充） 三角函数中的正切函数y＝tanx定义域为 如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．知识点二 基本初等函数的值域注意：值域必须写成集合或区间的形式！！！(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是： 当a＞0时，值域为{y|y≥}； 当a＜0时，值域为{y|y≤}(3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是{y|y＞0}(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R.（补充）三角函数中正弦函数y＝sinx，余弦函数y＝cosx的值域均为正切函数y＝tanx值域为《名师一号》P15 知识点二 函数的最值注意：《名师一号》P16 问题探究 问题3 函数最值与函数值域有何关系？函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在．1、温故知新P11 知识辨析1（2）函数的值域为（ ）答案：正确2、温故知新P11 第4题函数的值域为（ ） 答案：D注意：牢记基本函数的值域3、温故知新P11 第6题函数的值域是，则函数的值域是（ ） 答案：A注意：图像左右平移没有改变函数的值域二、例题分析： （一)函数的定义域1．据解析式求定义域例1. （1）《名师一号》P13 对点自测1(2014·山东) 函数的定义域为(　　)A.　　　 B．(2，＋∞)C.∪(2，＋∞) D.∪[2，＋∞)解析　要使函数有意义，应有(log2x)2>1，且x>0，即log2x>1或log2x<－1，解得x>2或0

答案：注意： 《名师一号》P13 问题探究 问题1 类型三若已知的定义域为，求的定义域相当于当时，求的值域（即的定义域）练习：(补充)已知的定义域是，求函数的定义域已知的定义域是，求函数的定义域如: 的定义域是,的定义域练习：(补充)1、设函数，求函数的定义域答案：得2、设函数的定义域为，求函数的定义域答案：得3．实际问题中函数定义域的确定注意： 实际问题中函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义（二）求函数值域 注意：求函数的值域先求定义域！(1)确定函数值域的原则 ①当函数y＝f(x)用表格给出时， 函数的值域是指表格中y的值的集合． ②当函数y＝f(x)的图象给出时， 函数的值域是指图象在y轴上的投影对应的y的 值的集合． ③当函数y＝f(x)用解析式给出时， 函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定． ④当函数由实际问题给出时， 函数的值域应结合问题的实际意义确定．(2)基本初等函数的值域(3)求函数值域的方法求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式．常用的方法有：《名师一号》P14 问题探究 问题2 怎样求解函数的值域？求函数值域的基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y＝ax＋b±(a、b、c、d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常数法：形如y＝(a≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围．《名师一号》P17 高频考点 例3 规律方法 (3)、（4）基本不等式、导数法 例1. 《名师一号》P14 高频考点 例2（1）求函数的值域答案: 小结: 求函数值域的基本方法1．配方法： 《名师一号》P14 问题探究 问题（2） ——配方法是求“二次型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝af 2(x)＋bf(x)＋c的函数的值域问题，均可使用配方法，要特别注意自变量的范围；二次函数在给定区间上的最值有两类：（1）求闭区间上的最值；（2）求区间定（动），对称轴动（定）的最值----二次函数专题例2. （1）(补充) 求函数的值域答案: 例2. （2）《名师一号》P14 高频考点 例2（2）求函数y＝2x－的值域方法1：令 ＝t(t≥0)，则x＝.∴y＝1－t2－t＝－2＋.∵二次函数对称轴为t＝－，∴在[0，＋∞)上，y＝－2＋是减函数．故ymax＝－2＋＝1，故函数有最大值1，无最小值，其值域为(－∞，1]．方法2：∵y＝2x与y＝－均为定义域上的增函数，故y＝2x－是定义域为{x|x≤}上的增函数，故ymax＝2×－ ＝1，无最小值．故函数的值域为(－∞，1]．变式：求函数的值域分析:令答案: 形如y＝ax＋b±(a、b、c、d均为常数，且a≠0)的函数令，使之变形为二次函数例2. （3）(补充) 求函数的值域分析:令答案: 练习：求函数的值域分析:令答案: 小结: 求函数值域的基本方法2．换元法：《名师一号》P14 问题探究 问题（3） 运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例如：形如y＝ax＋b±(a、b、c、d均为常数，且a≠0)的函数令，使之变形为二次函数对于含结构的函数，可以利用三角代换，令，或令转化为三角函数强调：换元后要确定新元的取值范围！例3. （1）《名师一号》P14 高频考点 例2（3）求函数的值域例3. （2）(补充) 求函数的值域答案：变式1：求函数的值域答案：变式2：求函数的值域答案：小结: 求函数值域的基本方法3.不等式法：《名师一号》P17 高频考点 例3 规律方法 (3) 利用基本不等式：a＋b≥2(a、b∈R＋)求函数的值域．用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”．例4. （1）(补充) 求函数的值域答案：例4. （2）求函数的值域（前面换元法已讲解）答案：小结: 求函数值域的基本方法4.利用函数单调性: 《名师一号》P14 问题探究 问题（5） 根据函数在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性求出函数的值域．(补充)注意双勾函数的单调性!函数在区间单调递减; 函数在区间单调递增.例5. （1）温故知新P11 知识辨析1（2）函数的值域为（ ）答案：正确例5. （2）(补充) 求函数的值域.值域小结: 求函数值域的基本方法5.分离常数法: 《名师一号》P14 问题探究 问题（5）形如的函数的值域可使用此法练习：1、 2、 3、 答案：1、 2、3、例6.《名师一号》P14 高频考点 例2（4）求函数的值域法一：换元+分离常数法※法二：利用函数有界性由y＝，得3x＝.∵3x＞0，∴＞0，∴0＜y＜1.∴原函数的值域为(0,1)，无最值．变式1：(补充)求函数的值域答案： 法一：换元+分离常数法※法二：利用函数有界性变式2：(补充)求函数的值域答案： 法一：换元+分离常数法※法二：利用函数有界性小结: 求函数值域的基本方法※6．函数有界性法：(补充)直。