第五节 指数函数 三年三年4 4考考 高考指数高考指数:★★:★★1.1.了解指数函数模型的实际背景；了解指数函数模型的实际背景；2.2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；的运算；3.3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点数图象通过的特殊点. . 1.1.指数幂的运算、指数函数的图象、单调性是高考考查的热点指数幂的运算、指数函数的图象、单调性是高考考查的热点. .2.2.常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题, ,考查分类讨考查分类讨论思想和数形结合思想论思想和数形结合思想. .3.3.多以选择、填空题形式出现多以选择、填空题形式出现, ,但若以但若以e e为底的指数函数与导数为底的指数函数与导数交汇命题则以解答题形式出现交汇命题则以解答题形式出现. . 1.1.根式根式(1)(1)根式的概念根式的概念若若_____,_____,则则x x叫做叫做a a的的n n次方根次方根, ,其中其中n n＞＞1 1且且n∈Nn∈N* *. .式子式子 叫做叫做_____,_____,这里这里n n叫做叫做_______,a_______,a叫做叫做_________._________.x xn n=a=a根式根式根指数根指数被开方数被开方数 (2)(2)根式的性质根式的性质①a①a的的n n次方根的表示：次方根的表示：②② =__(n∈N=__(n∈N* *).).③③当当n n为奇数时为奇数时, =__;, =__;当当n n为偶数时为偶数时, =|a|=___________, =|a|=___________a aa a 【即时应用【即时应用】】(1)(1)若若x x4 4=16,=16,则则x x的值为的值为_________._________.(2)(2)化简下列各式结果分别为：化简下列各式结果分别为： 【解析【解析】】(1)x=(1)x=答案：答案：(1)(1)±±2 2(2)①-4 ②4 ③a-2 ④(2)①-4 ②4 ③a-2 ④⑤ ⑥π-3⑤ ⑥π-3 2.2.有理指数幂有理指数幂(1)(1)分数指数幂的含义分数指数幂的含义①①正分数指数幂：正分数指数幂： =____(a=____(a＞＞0,m0,m、、n∈Nn∈N* *, ,且且n n＞＞1);1);②②负分数指数幂：负分数指数幂： =___=____(a=___=____(a＞＞0,m0,m、、n∈Nn∈N* *, ,且且n n＞＞1).1).③0③0的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于__,0__,0的负分数指数幂的负分数指数幂_________._________.0 0没有意义没有意义 (2)(2)有理数指数幂的运算性质有理数指数幂的运算性质①①a ar r··a as s=____(a>0,r=____(a>0,r、、s∈Q)s∈Q)；；②②(a(ar r) )s s=___(a>0,r=___(a>0,r、、s∈Q)s∈Q)；；③③(ab)(ab)r r=____(a>0,b>0,r∈Q).=____(a>0,b>0,r∈Q).上述有理数指数幂的运算性质，对于无理数指数幂也适用上述有理数指数幂的运算性质，对于无理数指数幂也适用. .a ar+sr+sa arsrsa ar rb br r 【即时应用【即时应用】】(1)(1)判断下列根式与分数指数幂的互化是否正确判断下列根式与分数指数幂的互化是否正确.(.(请在括号中请在括号中填填““√√””或或““×”×”) ) (2)(2)化简化简 得得________.________.(3)(3)化简化简 的结果是的结果是________.________.【解析【解析】】(2)(2)(3)(3)原式原式= =答案：答案：(1)①(1)①×× ② ②×× ③√ ④ ③√ ④××(2)-2x(2)-2x2 2y (3)ay (3)a4 4 3.3.指数函数的概念指数函数的概念(1)(1)解析式：解析式：_________________._________________.(2)(2)自变量：自变量：__.__.(3)(3)定义域：定义域：__.__.y=ay=ax x(a(a＞＞0,0,且且a≠1)a≠1)x xR R 【即时应用【即时应用】】(1)(1)判断下列函数是否为指数函数判断下列函数是否为指数函数.(.(在括号中填在括号中填““是是””或或““否否””) )①y=3①y=3××2 2x x;( );( )②y=2②y=2x x2 2-1-1;( );( )③y=a③y=ax x;( );( )④y=(2a-1)④y=(2a-1)x x(a(a＞＞ 且且a≠1).( )a≠1).( ) (2)(2)若函数若函数y=(ay=(a2 2-3a+3)-3a+3)··a ax x是指数函数是指数函数, ,则实数则实数a a的值为的值为_____._____.【解析【解析】】(2)(2)由已知由已知 解得：解得：a=2.a=2.答案：答案：(1)①(1)①否否 ②②否否 ③③否否 ④④是是(2)2(2)2 4.4.指数函数的图象与性质指数函数的图象与性质a>1a>101a>100x>0时，时，________；；当当x<0x<0时时,______,______ 当当x>0x>0时，时，____________；；当当x<0x<0时时,____,____在在R R上是上是______________在在R R上是上是______________(0,1)(0,1)y>1y>101y>1 【即时应用【即时应用】】(1)(1)如图是指数函数如图是指数函数①①y=ay=ax x;②y=b;②y=bx x；；③③y=cy=cx x;④y=d;④y=dx x的图象的图象, ,则则a a、、b b、、c c、、d d与与1 1的大小关系是的大小关系是__________.__________. (2)(2)函数函数f(x)=af(x)=ax x(a(a>0,a≠1)>0,a≠1)在在[1,2][1,2]中的最大值比最小值大中的最大值比最小值大 ，，则则a a的值为的值为________.________.(3)(3)函数函数y=ay=ax-2 012x-2 012+2 012(a+2 012(a＞＞0,0,且且a≠1)a≠1)的图象恒过定点的图象恒过定点_____._____. 【解析【解析】】(1)(1)在图中画出直线在图中画出直线x=1,x=1,分别与分别与①②③④①②③④交于交于A A、、B B、、C C、、D D四点四点, ,是是A(1,a),B(1,b),C(1,c),D(1,d),A(1,a),B(1,b),C(1,c),D(1,d),由图象可知由图象可知c c＞＞d d＞＞1 1＞＞a a＞＞b.b. (2)(2)当当01a>1时，有时，有a a2 2-a-a1 1= = ，解得：，解得：a= .a= .(3)∵y=a(3)∵y=ax x(a(a＞＞0 0且且a≠1)a≠1)恒过定点恒过定点(0,1),(0,1),∴y=a∴y=ax-2 012x-2 012+2 012+2 012恒过定点恒过定点(2 012,2 013).(2 012,2 013).答案：答案：(1)b(1)b＜＜a a＜＜1 1＜＜d d＜＜c c(2)(2)(3)(2 012,2 013)(3)(2 012,2 013) 幂的运算幂的运算【方法点睛【方法点睛】】幂的运算的一般规律及要求幂的运算的一般规律及要求(1)(1)分数指数幂与根式根据分数指数幂与根式根据 (a(a＞＞0,m,n∈N0,m,n∈N* *, ,且且n n＞＞1)1)可以可以相互转化相互转化. . (2)(2)分数指数幂中的指数不能随便约分分数指数幂中的指数不能随便约分, ,例如要将例如要将 写成写成 等必等必须认真考查须认真考查a a的取值才能决定的取值才能决定, ,如如无意义无意义. .(3)(3)在进行幂的运算时在进行幂的运算时, ,一般是先将根式化成幂的形式，并化小一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂数指数幂为分数指数幂, ,再利用幂的运算性质进行运算再利用幂的运算性质进行运算. . 【例【例1 1】计算下列各式的值】计算下列各式的值. .(1)(2012(1)(2012··清远模拟清远模拟) )化简化简: :(2)(2)【解题指南【解题指南】】先将根式化为分数指数幂先将根式化为分数指数幂, ,底数为小数的化成分数底数为小数的化成分数, ,负分数指数化为正分数指数，然后根据幂的运算性质进行计算负分数指数化为正分数指数，然后根据幂的运算性质进行计算. . 【规范解答【规范解答】】(1)(1)原式＝原式＝(2)(2)原式＝原式＝= = 【反思【反思··感悟感悟】】指数幂的一般运算步骤：有括号先算括号里的指数幂的一般运算步骤：有括号先算括号里的, ,无括号先做指数运算无括号先做指数运算, ,先乘除后加减先乘除后加减, ,负指数幂化成正指数幂的负指数幂化成正指数幂的倒数倒数, ,底数是负数底数是负数, ,先确定符号先确定符号, ,底数是小数底数是小数, ,先要化成分数先要化成分数, ,底底数是带分数的数是带分数的, ,先化成假分数先化成假分数, ,若是根式若是根式, ,应化为分数指数幂，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示尽可能用幂的形式表示, ,运用指数运算性质运用指数运算性质. . 指数函数图象的应用指数函数图象的应用【方法点睛【方法点睛】】(1)(1)应用指数函数图象研究指数型函数的性质应用指数函数图象研究指数型函数的性质对指数型函数的图象与性质对指数型函数的图象与性质( (单调性、最值、大小比较、零点等单调性、最值、大小比较、零点等) )的求解往往利用相应指数函数的图象的求解往往利用相应指数函数的图象, ,通过平移、对称变换得通过平移、对称变换得到其图象到其图象, ,然后数形结合使问题得解然后数形结合使问题得解. . (2)(2)利用图象解指数型方程、不等式利用图象解指数型方程、不等式一些指数方程、不等式问题的求解一些指数方程、不等式问题的求解, ,往往利用相应指数型函数往往利用相应指数型函数图象数形结合求解图象数形结合求解. .【提醒【提醒】】在利用指数函数图象解决上述问题时，图象形状、变在利用指数函数图象解决上述问题时，图象形状、变化趋势及经过的特殊点要准确，否则数形结合时易产生失误化趋势及经过的特殊点要准确，否则数形结合时易产生失误. . 【例【例2 2】已知】已知f(xf(x)=|2)=|2x x-1|-1|(1)(1)求求f(xf(x) )的单调区间的单调区间. .(2)(2)比较比较f(x+1)f(x+1)与与f(xf(x) )的大小的大小. .(3)(3)试确定函数试确定函数g(xg(x)=f(x)-x)=f(x)-x2 2零点的个数零点的个数. . 【解题指南【解题指南】】(1)(1)作出作出f(xf(x) )的图象的图象, ,数形结合求解数形结合求解. .(2)(2)在同一坐标系中分别作出在同一坐标系中分别作出f(xf(x) )、、f(x+1)f(x+1)图象，数形结合求图象，数形结合求解解. .(3)(3)在同一坐标系中分别作出函数在同一坐标系中分别作出函数f(xf(x) )与与y=xy=x2 2的图象的图象, ,数形结合数形结合求解求解. . 【规范解答【规范解答】】(1)(1)由由f(xf(x)=|2)=|2x x-1|-1|= = 可作出函数的图象如图可作出函数的图象如图. .因此函数因此函数f(xf(x) )在在(-∞,0)(-∞,0)上递减；函上递减；函数数f(xf(x) )在在(0,+∞)(0,+∞)上递增上递增. .xyo-1-1 (2)(2)在同一坐标系中分别作出函数在同一坐标系中分别作出函数f(xf(x) )、、f(x+1)f(x+1)的图象，如图所示的图象，如图所示. .由图象知由图象知, ,当当 时时, ,解得解得 , ,两图象相交两图象相交, ,从图象可见从图象可见, ,当当 时时,f(x,f(x) )＞＞f(x+1)f(x+1)；；当当 时时,f(x,f(x)=f(x+1);)=f(x+1);当当 时时,f(x,f(x) )＜＜f(x+1).f(x+1).xyo12-11x0f(x+1)f(x) (3)(3)将将g(xg(x)=f(x)-x)=f(x)-x2 2的零点转化为函数的零点转化为函数f(xf(x) )与与y=xy=x2 2图象的交点问图象的交点问题题, ,在同一坐标系中分别作出函数在同一坐标系中分别作出函数f(xf(x)=|2)=|2x x-1|-1|和和y=xy=x2 2的图象如图的图象如图所示，有四个交点所示，有四个交点, ,故故g(xg(x) )有四个零点有四个零点. . 【反思【反思··感悟感悟】】求解指数型函数的单调性、最值、零点及指数求解指数型函数的单调性、最值、零点及指数型方程、不等式问题时能用数形结合的尽量用数形结合法求解型方程、不等式问题时能用数形结合的尽量用数形结合法求解, ,但要注意画出的函数图象的基本特征必须要准确但要注意画出的函数图象的基本特征必须要准确, ,否则很容易失否则很容易失误误, ,如本例如本例(3)(3)，若图象不标准，则易将零点个数判断错误，若图象不标准，则易将零点个数判断错误. . 指数函数性质的应用指数函数性质的应用【方法点睛【方法点睛】】利用指数函数的性质可求解的问题及方法利用指数函数的性质可求解的问题及方法(1)(1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小. .(2)(2)与指数函数有关的指数型函数定义域、值域与指数函数有关的指数型函数定义域、值域( (最值最值) )、单调性、、单调性、奇偶性的求解方法奇偶性的求解方法, ,与前面所讲一般函数的求解这些问题的方法一与前面所讲一般函数的求解这些问题的方法一致致, ,只需根据条件灵活选择即可只需根据条件灵活选择即可. . 【例【例3 3】】(1)(1)函数函数y= y= 的定义域是的定义域是______.______.(2)(2)函数函数f(xf(x)= )= 的单调递减区间为的单调递减区间为______,______,值域为值域为____.____.(3)(2012(3)(2012··金华模拟金华模拟) )已知函数已知函数f(xf(x)= (a)= (a＞＞0 0且且a≠1)a≠1)①①求求f(xf(x) )的定义域和值域；的定义域和值域；②②讨论讨论f(xf(x) )的奇偶性；的奇偶性；③③讨论讨论f(xf(x) )的单调性的单调性. . 【解题指南【解题指南】】根据待求的指数型函数的结构特征根据待求的指数型函数的结构特征, ,选择恰当的求选择恰当的求函数定义域、值域函数定义域、值域( (最值最值) )、单调区间、奇偶性的方法求解、单调区间、奇偶性的方法求解. . 【规范解答【规范解答】】(1)(1)由题意知由题意知∴∴∴x≥-1,∴x≥-1,即定义域是即定义域是[-1,+∞).[-1,+∞).答案：答案：[-1,+∞)[-1,+∞) (2)(2)令令g(xg(x)=-x)=-x2 2-4x+3=-(x+2)-4x+3=-(x+2)2 2+7,+7,由于由于g(xg(x) )在在(-∞,-2)(-∞,-2)上单调递上单调递增增, ,在在(-2,+∞)(-2,+∞)上单调递减上单调递减, ,而而y= y= 在在R R上为单调递减上为单调递减, ,所以所以f(xf(x) )在在(-∞,-2)(-∞,-2)上单调递减上单调递减. .又又g(xg(x)=-(x+2))=-(x+2)2 2+7≤7,∴f(x)≥ =3+7≤7,∴f(x)≥ =3-7-7. .答案：答案：(-∞,-2) [3(-∞,-2) [3-7-7,+∞),+∞) (3)①f(x)(3)①f(x)的定义域是的定义域是R,R,令令∵a∵ax x＞＞0,∴ ,0,∴ ,解得解得-1-1＜＜y y＜＜1,1,∴f(x∴f(x) )的值域为的值域为{y|-1{y|-1＜＜y y＜＜1}.1}.②∵f(-x)=②∵f(-x)=∴∴f(xf(x) )是奇函数是奇函数. . ③f(x③f(x)=)=设设x x1 1,x,x2 2是是R R上任意两个实数上任意两个实数, ,且且x x1 1＜＜x x2 2, ,则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=)=∵x∵x1 1＜＜x x2 2,∴,∴当当a a＞＞1 1时时, ,从而从而∴f(x∴f(x1 1)-f(x)-f(x2 2) )＜＜0,0,即即f(xf(x1 1) )＜＜f(xf(x2 2),f(x)),f(x)为为R R上的增函数上的增函数. . 当当0 0＜＜a a＜＜1 1时时, ,从而从而∴f(x∴f(x1 1)-f(x)-f(x2 2) )＞＞0,0,即即f(xf(x1 1) )＞＞f(xf(x2 2),f(x)),f(x)为为R R上的减函数上的减函数. . 【反思【反思··感悟感悟】】在求解与指数函数有关的函数的性质问题时在求解与指数函数有关的函数的性质问题时, ,要要根据解析式的结构特征根据解析式的结构特征, ,选择适当的方法求解选择适当的方法求解, ,但对复合函数一但对复合函数一定要注意其定义域定要注意其定义域. . 【易错误区【易错误区】】指数函数图象、性质的应用误区指数函数图象、性质的应用误区【典例【典例】】(2012(2012··广州模拟广州模拟) )已知函数已知函数y= y= (a,b (a,b是常数且是常数且a a＞＞0,a≠1)0,a≠1)在区间在区间[ ,0][ ,0]上有上有y ymaxmax=3,y=3,yminmin= ,= ,试求试求a a、、b b的值的值. .【解题指南【解题指南】】先确定先确定t=xt=x2 2+2x+2x在在[ ,0][ ,0]上的值域上的值域, ,再分再分a a＞＞1,1,0 0＜＜a a＜＜1 1两种情况讨论两种情况讨论, ,构建构建a a、、b b的方程组求解的方程组求解. . 【规范解答【规范解答】】∵x∈[ ,0],∴t=x∵x∈[ ,0],∴t=x2 2+2x=(x+1)+2x=(x+1)2 2-1,-1,值域为值域为[-1,0],[-1,0],即即t∈[-1,0].t∈[-1,0].(1)(1)若若a a＞＞1,1,函数函数y=ay=at t在［在［-1-1，，0 0］上为增函数］上为增函数, ,∴a∴at t∈[ ,1],∈[ ,1],则则依题意得依题意得 (2)(2)若若0 0＜＜a a＜＜1,1,函数函数y=ay=at t在［在［-1-1，，0 0］上为减函数］上为减函数, ,∴a∴at t∈[1, ],∈[1, ],则则依题意得依题意得综上综上, ,所求所求a,ba,b的值为的值为 【阅卷人点拨【阅卷人点拨】】通过对试题及阅卷数据分析通过对试题及阅卷数据分析, ,我们可以得到以下我们可以得到以下误区警示和备考建议误区警示和备考建议. .误区误区警示警示在解答本题时在解答本题时, ,有两大误区：有两大误区：(1)(1)误将误将x x的范围当成的范围当成x x2 2+2x+2x的范围的范围, ,从而造成失误从而造成失误. .(2)(2)误认为误认为a a＞＞1,1,只按第只按第(1)(1)种情况求解种情况求解, ,而忽略了而忽略了0 0＜＜a a＜＜1 1的情况的情况, ,从而造成失误从而造成失误. . 备备考考建建议议利用指数函数的图象、性质解决有关问题时利用指数函数的图象、性质解决有关问题时, ,还有以下几个误区还有以下几个误区, ,在备考中要高度关注：在备考中要高度关注：(1)(1)忽视函数的定义域而失误；忽视函数的定义域而失误；(2)(2)未能将讨论的结果进行整合而失误；未能将讨论的结果进行整合而失误；(3)(3)利用幂的运算性质化简指数式时失误；利用幂的运算性质化简指数式时失误；(4)(4)在用换元法时忽视中间元的范围而失误在用换元法时忽视中间元的范围而失误. . 1.(20111.(2011··山东高考山东高考) )若点若点(a,9)(a,9)在函数在函数y=3y=3x x的图象上的图象上, ,则则 的的值为值为( )( )【解析【解析】】选选D.D.因为点因为点(a,9)(a,9)在函数在函数y=3y=3x x的图象上的图象上, ,所以所以3 3a a=9,a=2,=9,a=2,所以所以 2.(20112.(2011··辽宁高考辽宁高考) )设函数设函数f(xf(x)= )= 则满足则满足f(x)≤2f(x)≤2的的x x的取值范围是的取值范围是( )( )(A)[-1,2] (B)[0,2](A)[-1,2] (B)[0,2](C)[1,+∞) (D)[0,+∞)(C)[1,+∞) (D)[0,+∞)【解析【解析】】选选D.D.若若x≤1,x≤1,则则 , ,解得解得0≤x≤1;0≤x≤1;若若x x＞＞1,1,则则1-log1-log2 2x≤2,x≤2,解得解得x x＞＞1,1,综上综上,x≥0.,x≥0.故选故选D.D. 3.(20113.(2011··湖北高考湖北高考) )已知定义在已知定义在R R上的奇函数上的奇函数f(xf(x) )和偶函数和偶函数g(xg(x) )满足满足f(x)+g(xf(x)+g(x)=a)=ax x-a-a-x-x+2(a+2(a＞＞0,0,且且a≠1).a≠1).若若g(2)=a,g(2)=a,则则f(2)f(2)＝＝( )( ) 【解析【解析】】选选B.∵f(xB.∵f(x) )是奇函数是奇函数,g(x,g(x) )是偶函数是偶函数, ,∴∴由由f(x)+g(xf(x)+g(x)=a)=ax x-a-a-x-x+2 ①+2 ①得得-f(x)+g(x-f(x)+g(x)=a)=a-x-x-a-ax x+2, ②+2, ②①+②,①+②,得得g(xg(x)=2,①-②)=2,①-②得得f(xf(x)=a)=ax x-a-a-x-x, ,又又g(2)=a,∴a=2,∴f(x)=2g(2)=a,∴a=2,∴f(x)=2x x-2-2-x-x, ,∴∴f(2)=2f(2)=22 2-2-2-2-2= = 4.(20124.(2012··佛山模拟佛山模拟) )当当a≠0a≠0时时, ,函数函数y=ax+by=ax+b和和y=by=baxax的图象只可能的图象只可能是下图中的是下图中的( )( ) 【解析【解析】】选选A.A.当当b b＞＞1,a1,a＞＞0 0时时,y=b,y=baxax为增函数为增函数. .而直线而直线y=ax+by=ax+b与与y y轴交点应为轴交点应为(0,b).b(0,b).b＞＞1,1,∴D∴D不对不对. .又又C C中中a a＜＜0,0,也不对也不对. .当当0 0＜＜b b＜＜1 1时时, ,直线直线y=ax+by=ax+b与与y y轴交点轴交点应为应为(0,b),0(0,b),0＜＜b b＜＜1.∴B1.∴B不对不对, ,故选故选A.A. 5.(20125.(2012··清远模拟清远模拟) )类比类比““两角和与差的正、余弦公式两角和与差的正、余弦公式””的形的形式，对于给定的两个函数，式，对于给定的两个函数，S(xS(x)= )= ，，C(xC(x)= )= ，其中，其中a>0a>0，且，且a≠1a≠1，下面正确的运算公式是，下面正确的运算公式是( )( )①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y)①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y)；； ②②S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y)S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y)；；③③C(x-y)=C(x)C(y)-S(x)S(y)C(x-y)=C(x)C(y)-S(x)S(y)；； ④④C(x+y)=C(x)C(y)+S(x)S(y).C(x+y)=C(x)C(y)+S(x)S(y).(A)①③ (B)②④ (C)①④ (D)①②③④(A)①③ (B)②④ (C)①④ (D)①②③④ 【解析【解析】】选选D.∵S(x)C(y)+C(x)S(y)D.∵S(x)C(y)+C(x)S(y)∴①∴①成立；成立；同理可验证同理可验证②③④②③④也成立也成立. . 。
