2.2.3 圆与圆的位置关系1.doc

《圆和圆的位置关系》教学设计江阴二中 蒋杜俊教学过程一、 问题情境在一张纸上画一个圆,用一个硬币从纸的一边移动到另一边,如果把这个硬币看成一个圆,这个动圆在移动过程中,你观察到什么现象?[设计意图]通过具体实例,让学生感受两个圆的各种位置的几何现象,为用其他数学语言表示这些现象作准备.通过对已学过内容的复习自然过渡到新学的内容,让学生感受到即将要学的内容是和平面几何有区别的,是用不同的方式研究同一个问题二、 数学建构问题1　初中学过的平面几何中,圆和圆有哪几种位置关系?圆和圆的位置关系有:外离、外切、相交、内切、内含.或者圆和圆的位置关系有:相离相交,相切[设计意图]该问题可能学生一开始已经回答了,在这里再次出现的目的是明确在数学中圆和圆位置关系的准确表述,不能用其他意思相近的词语代替.特别要强调相切和相离包含两种情况问题2　设两圆半径分别为R和r,圆心距为d,你能用R, r和d之间的数量关系表示这五种关系吗?两圆外切d=R+r;两圆内切d=R-r (R>r);两圆外离d>R+r;两圆内含dr);两圆相交R-r

问题4　若已知☉O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0, ☉O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,那么又如何表示这两个圆的五种关系呢?(仅仅根据圆的一般式,求出圆的圆心和半径,然后同上方法解决)问题5　你还有别的方法判断圆与圆的五种关系吗?(引导学生用代数法求解,通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断)由方程组消去一个未知数,得一个一元二次方程,求出Δ.当Δ>0时,相交;Δ=0时,相切;Δ<0时,相离.几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距做比较,得到两圆的位置关系;代数法则是把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题,转化为方程组的解的组数问题,从而进一步体现几何问题与代数问题之间的相互联系.但这种代数判定方法只能判断出相离、相交、相切三种位置关系,而不能像几何法那样能判定出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.因此,在一般情况下,使用几何法判定两圆的位置关系问题,只有在特定的情况下,才使用代数法,比如,只要求判断两圆是否相交或相切或相离.三、 数学应用【例1】　(教材P115例1)判断下列两圆的位置关系:(1) (x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16.　(2) x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0.[设计意图]　例1是对刚学知识的巩固和应用,先根据已知条件求出d, R, r,再判断它们之间的数量关系;(2)则需将方程转化为(1)的形式即可.[规范板书]　解　(1) 根据题意得,两圆的半径分别为r1=1和r2=4,两圆的圆心距因为　d=r1+r2,所以两圆外切.(2) 将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y2=16, x2+(y+3)2=36.故两圆的半径分别为r1=4和r2=6,两圆的圆心距因为　|r1-r2|0),试求a为何值时,两圆:(1)有唯一公共点;(2)有两个公共点;(3)无公共点.[设计意图]　让学生自己分析,然后再提问.考察学生对圆与圆位置关系的理解,特别要注意有唯一公共点是指外切和内切两种情况,无公共点指外离和内含两种情况.解　根据题意得,两圆的半径分别为r1=2a和r2=a+1,两圆的圆心距因为所以:(1) 有唯一公共点时,两圆外切或内切，由d=r1+r2,或d =,得或(2) 有两个公共点时,两圆相交，由|r1-r2|r1+r2或得得或例2　(教材P116例2)求过点A(0, 6)且与圆C:x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方程.[4][处理建议]　利用提问,启发学生抓住题目中“两圆相切”的条件.根据两圆相切的性质,所求圆经过原点和A(0, 6),且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上,根据这三个条件可确定圆的方程.[规范板书]　解法一　将圆C化为标准方程,得(x+5)2+(y+5)2=50.则圆心为C(-5, -5),半径为5.所以经过此圆心和原点的直线方程为:x-y=0.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由题意知,O(0, 0), A(0, 6)在此圆上,且圆心M(a, b)在直线x-y=0上,则有得因此,所求圆的方程是解法二　将圆C化为标准方程,得(x+5)2+(y+5)2=50.则圆心为C(-5, -5),半径为5.所以经过此圆心和原点的直线方程为:x-y=0.因为O(0, 0), A(0, 6)在此圆上,所以圆心在OA的垂直平分线上,即在直线y=3上.由得圆心为(3, 3),半径为3,因此,所求圆的方程是 [题后总结]　圆与圆相切是两圆位置关系中最为特殊的情况,利用两圆相切的性质找出两个圆心和切点的位置.学生在做这一类题目时,往往会误解为是外切,造成遗漏.变式　求半径为8且与圆C: x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方程.[设计意图]　与例2相比,现在已经知道半径了,还缺少的是圆心.根据两圆相切的性质,圆心在已知圆的圆心与原点的连线上,再根据半径为8,确定出圆心的位置.解　将圆C化为标准方程,得(x+5)2+(y+5)2=50.则圆心为C(-5, -5),半径为5.所以经过此圆心和原点的直线方程为:x-y=0.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=64.由题意知,O(0, 0)在此圆上,且圆心M(a, b)在直线x-y=0上,则有得或因此,所求圆的方程是 (x-4)2+(y-4)2=64或(x+4)2+(y+4)2=64.*【例3】　若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2x+2y-2=0相交于A, B两点,求（1）两圆公共弦AB所在的直线方程。

[设计意图]　求过两点的直线方程,应该先求出两点坐标,再根据两点坐标求出过两点的直线方程.在解决问题的过程中,引导学生反思解题的过程,总结求两圆公共弦所在直线方程的方法.[规范板书]　解　将方程x2+y2=4与x2+y2+2x+2y-2=0联立两式相减得x-2y+4=0,再由得即两交点分别为(-4,0),(0,2)由直线的两点式,得AB所在的直线方程为x-2y+4=0.问题6　回头看例3的解题过程,你发现什么?(引导学生所求的结论在解题过程中已经出现过.)[题后总结]　求两个圆公共弦所在直线的方程就是将两个圆的方程相减.变式1求弦AB的长度；2求以AB位直径的圆的方程；3求圆心在直线上，且经过A、B两点的圆的方程[设计意图]根据垂径定理,圆心在弦的垂直平分线上,那么只需要求出弦所在的直线方程即可,进一步巩固公共弦所在直线方程的求法.思考题　过点P(5，5)作圆C: x2+y2+2x+2y-8=0的两条切线,设切点分别为P, Q,求线段PQ所在的直线方程.[设计意图]让学生弄清楚线段PQ所在的直线方程就是以OC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程.【课堂小结】1. 圆和圆有五种关系,其中两圆相切时,两圆的连心线垂直于过切点的切线.2. 判断两圆的位置关系,有“几何法”和“代数法”两种.但常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系,一般不采用代数法.3. 若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2, y2项即可得到.具体为:圆C1: x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2: x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交有公共弦,其直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.。