高中物理竞赛讲义-微积分初步.doc

高中物理竞赛讲义——微积分初步一：引入【例】问均匀带电的立方体角上一点的电势是中心的几倍分析：①根据对称性，可知立方体的八个角点电势相等；将原立方体等分为八个等大的小立方体,原立方体的中心正位于八个小立方体角点位置；而根据电势叠加原理，其电势即为八个小立方体角点位置的电势之和，即U1=8U2 ；②立方体角点的电势与什么有关呢?电荷密度ρ；二立方体的边长a；三立方体的形状；根据点电荷的电势公式U=及量纲知识，可猜想边长为a的立方体角点电势为U==Ckρa2  ；其中C为常数，只与形状（立方体）及位置（角点）有关，Q是总电量，ρ是电荷密度；其中Q=ρa3③ 大立方体的角点电势：U0= Ckρa2 ；小立方体的角点电势：U2= Ckρ（）2=   大立方体的中心点电势：U1=8U2=2 Ckρa2 ；即U0=U1【小结】我们发现，对于一个物理问题，其所求的物理量总是与其他已知物理量相关联，或者用数学语言来说，所求的物理量就是其他物理量（或者说是变量）的函数如果我们能够把这个函数关系写出来，或者将其函数图像画出来，那么定量或定性地理解物理量的变化情况，帮助我们解决物理问题二：导数㈠ 物理量的变化率我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t图像，求其斜率可以得出加速度a，求其面积可以得出位移s，而斜率和面积是几何意义上的微积分。

我们知道，过v-t图像中某个点作出切线，其斜率即a=.下面我们从代数上考察物理量的变化率：【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t2,试求其t时刻的速度的表达式所有物理量都用国际制单位，以下同）分析：我们知道，公式v=一般是求△t时间内的平均速度，当△t取很小很小，才可近似处理成瞬时速度s(t)=3t+2t2 s(t+△t)=3(t+△t)+2(t+△t) 2△s=s(t+△t)-s(t)=3(t+△t)+2(t+△t) 2-3t-2t2=3△t+4t△t+2△t2v===3+4t+2△t当△t取很小，小到跟3+4t相比忽略不计时，v=3+4t即为t时刻的瞬时速度练】假设一个闭合线圈匝数为100匝，其磁通量为φ=3t+4t3,求感应电动势随时间t的函数关系小结】回顾我们求物理量y=f(t)的变化率瞬时值z的步骤：①写出t时刻y0=f(t)的函数表达式；②写出t+△t时刻y1=f(t+△t)的函数表达式；③求出△y=y1- y0=f(t+△t)- f(t)；④求出z==；⑤注意△t取很小，小到与有限值相比可以忽略不计㈡ 无穷小当△t取很小时，可以用V=求瞬时速度，也可用i=求瞬时电流,用ε=求瞬时感应电动势。

下面，我们来理解△t：△t是很小的不为零的正数，它小到什么程度呢？可以说，对于我们任意给定一个不为零的正数ε，都比△t大，即：ε>△t 或者从动态的角度来看，给定一段时间t，我们进行如下操作：第一次，我们把时间段平均分为2段，每段时间△t=；第二次，我们把时间段平均分为3段，每段时间△t=；第三次，我们把时间段平均分为4段，每段时间△t=；…………第N次，我们把时间段平均分为N+1段，每段时间△t=；…………一直这样进行下去，我们知道，△t越来越小，虽然它不为零，但永远逼近零，我们称它为无穷小，记为△t→0或者，用数学形式表示为 △t=0其中“”表示极限，意思是△t的极限值为0常规计算：①（△t+C）=C ②C·△t=0 ③f(△t)=f(0)④ f(t+△t)=f(t) ⑤ = 1『附录』常用等价无穷小关系（）① ；② ；③ ；④ ；⑤㈢ 导数前面我们用了极限“”的表示方法，那么物理量y的变化率的瞬时值z可以写成:z=,并简记为z=,称为物理量y函数对时间变量t的导数物理上经常用某物理量的变化率来定义或求解另一物理量，如v=、a=、i=、ε=N等，甚至不限于对时间求导，如F=、Ex=、ρ=等。

这个dt（也可以是dx、dv、dm等）其实相当于微元法中的时间微元△t，当然每次这样用来求物理量变化率的瞬时值太繁琐了，毕竟微元法只是草创时期的微积分如果能把常见导数计算的基本规律弄懂，那么我们可以简单快速地求解物理量变化率的瞬时值（导数）了同学们可以课后推导以下公式：⑴ 导数的四则运算　 ①=± 　　 ③= 　　 ②=·v + u· ⑵ 常见函数的导数①=0(C为常数)； ④=-sint；　　②=ntn-1 (n为实数)； ⑤=et；　　③=cost； ⑶ 复合函数的导数 在数学上，把u=u(v(t))称为复合函数，即以函数v(t)为u(x)的自变量　　=·复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数——称为链式法则练】1、某弹簧振子在X轴上做直线运动，其位移x与时间t的关系为x=Asinωt，即，质点在坐标原点附近往复运动，最大位移为A（A称为振幅），周期为（ω称为角频率），物理上把这种运动叫简谐运动请完成以下几问： ①求出t时刻的速度v②写出合力F与位移x的关系③验证简谐运动中质点的机械能守恒练】2、某矩形线框面积为S，匝数为N，处于磁感应强度为B的匀强磁场中，如图所示，线框绕PQ轴以角速度ω匀速转动，从水平位置开始计时，在t时刻：①写出磁通量Ф的表达式②求出线框产生的感应电动势ε(计算完后自行与《阳光课堂》P40【点拨】部分对照)三：微分和积分㈠ 简单问题【例】电容器是一种存储电荷的元件，它的基本工作方式为充电和放电，我们先考察电容器放电时的情况。

某电容为C的电容器，其已充电的电量为Q0，若让该电容与另一个阻值为R的的电阻串联起来，该电容器将会放电，其释放的电能转化电阻的焦耳热（内能）试讨论，放电时流过电阻R的电流随时间t 的变化关系如何？分析：①根据电荷守恒定律，当通过电阻R的电量为q时，电容器的电量从Q0变成Q1，满足Q0=Q1+q ，即q=Q0-Q1 ；②流过电阻R的电流i与通过电阻R的电量q 满足关系式：i=③根据电容电量公式Q=CU,有Q1=CU=CRi ，那么q= Q0- CRi ；④联立上式，有i=== - CR⑤进行公式变形，令x= - ,则有i= - CR= 同学们思考一下，i应该是什么函数，才能满足i= ？，或者说什么函数的导数等于函数本身？我们观察到，只有y=Cex形式的函数才满足i= 关系，C为待定常数故可以知道，i = Cex = Ce-t/CR当t=0 时，U0= ， i0= = ；而把t=0 代人，得i = Ce-t/CR=C；故C=所以，流过电阻R的电流随时间t 的变化关系为：i = e-t/CR【练】对于上例电容器放电问题，试讨论，放电时电容器的电量Q随时间t 的变化关系如何？㈡微分1、从上面式子可以看出，理论上虽然我们说是要经过无穷长的时间电容才放完电，电流为零，但实际上只需要电流减少足够小时，电流计就检测不到有电流了。

2、对于i= - CR或i= ，我们称之为微分方程，最直观的解决方法是观察有哪些函数满足该微分方程的函数关系，当然，我们要注意比如上题中的t=0 之类的初始条件3、一般来说，微积分可以帮助同学们深刻理解物理概念和公式，但微元法可以帮助同学们更细致地明了物理过程下面我们用微元法的方式来处理这个问题在△t的时间内，通过电阻R的电量为△q虽然电流随时间发生变化，但在很短的时间△t内，可以认为电流几乎不变，当成恒定电流处理，故有△q= i△t 对电容有Q=CU=CiR，△Q=ＣＲ△i；由电量守恒，△Q= －△q ，故－i△t＝ＣＲ△i，然后把“△”形式改写成微积分语言的“d”形式，就有－idt＝ＣＲdi （dt和di称之为微分）,数学变形为i= - CR，即以上解法中的微分方程微分与导数有什么关系呢？对某自变量为时间t的函数F(t)，它的极其微小的变化，我们记它为微分dF，它与时间微分dt满足关系式：dF=dt，其中为F对t的导数下面是常见的微分公式与微分运算法则：① ② ③ ④ ⑤ ⑥⑦ ⑧ ⑨㈢积分在上例问题中，在△t的时间内，通过电阻R的电量为△q= i△t，△q称为电量微元。

如果我们把0到t时间内的△q加起来，用求和符号“∑”表示，则有：q=∑i△t由于t=N△t,当△t取无穷小时，那么i△t就有N→∞个，也就是，我们要把无穷个i△t进行相加操作，为了方便，我们用微积分符号表示q=∑i△t=，称为对i在时间上求积分我们来看一下这么做有什么意义：①从几何上看，对于i-t 图像，q=∑i△t=就是图像中的面积对于恒定电流，很简单，△q= i△t，即小块矩形面积；对于变化的电流，用△q= i△t来计算，发现有一小块近似三角形面积的误差，不过当我们取当△t取无穷小时，用极限处理后，该误差会无穷逼近零，可以忽略不计，那么计算的面积就无限精确接近实际面积了②前面我们求导用了i=，积分用了q=可以看出，从某种程度上说，积分实际是求导的逆运算，比如：q=Q0-Q=Q0(1-e-t/CR), i = e-t/CR满足求导和积分的运算关系i=、q=对于一般函数F，如果有f= ，那么就有=F+C请思考，为什么积分中会出现常数C？下面是常见的积分公式，请同学们对照求导公式理解：① ② ③ f ④ ⑤ 现在我们用微积分书写方式来来解答上题。

怎么来求呢？我们知道=et，令F(t)= et，有t=lnF；则有=F，即=dt=d(lnF) ；那么= = lnQ+C请同学们自己推导由Q0=Q+q ；Q=Q0-q ；则dQ= - dq = - idt= - dt= - dt ；即 = - dt ；对等号两边积分： = ；有lnQ = - C`，或者Q=Ce-t/CR ； 当t=0时，Q(0)=C=Q0 ； 所以电容器电量为Q= Q0e-t/CR ㈣ 定积分【例】某质点在X轴上做直线运动，其速度v满足函数关系v=3t2,求从t=1s到t=3s时间内质点发生的位移分析：在dt时间内，质点可以认为做匀速直线运动，即ds=vdt,那么对等号两边积分，有，则有：s= t3 +C ；现在有问题了：当t=0时，S(0)等于多少我们不知道！而且已知条件中的时间“从t=1s到t=3s”也没有用上！下面我们从物理上考察C这个常数的意义t=0时，s(0)=C当我们令C=0时，相当于质点在零时刻从坐标原点开始运动；当我们令C=1时，相当于质点在零时刻从坐标位置X=1m处开始运动；……tv我们发现，C这常数的取值相当于选取观察质点运动的静止参考系位置，然而所求的从t=1s到t=3s时间内质点发生的位移应该与所选取的静止参考系无关，也就是对任意静止参考系，质点发生的位移应该是一致的，如图所示。

那么我们就随便选取某一参考系，使质点在零时刻从坐标位置X=Cm处开始运动，则位移与时间的函数关系式为：s(t)= t3 +C题目中所求的1到3秒的位移为：s1=s(3)-s(1)=（33+C）-（13+C）=8m 题目中所要求的位移（速度积分）与积分式=F+C中的C无关，当要求t=t1到t=t2时间内位移时，s(t1→t2)=s(t2) - s(t2)这个相当于我们用s。