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数学教学典型案例及评析课例1 等腰三角形的判定师：我们已经学习了等腰三角形的性质，哪位同学来叙述一下? 生1：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角；等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．师：很好．下面有这样一个问题：如图1，ΔABC是等腰三角形，AB=AC，一不留心，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角C同学们想一想，有没有办法把原来的等腰三角形ABC重新画出来?大家试试看 ABCABC图1[学生先画出残余图形，略作思索，然后独立画图．画好后，学生间相互交流画法．教师在全班巡视，不时参加学生间的议论．最后由两名学生口答画图的方法]生2：先用量角器量出的度数，然后以BC为一边，B为顶点画出，和的一边相交得到顶点A如图2左所示ABC图2DABC 生3：取BC边上的中点D，用三角板过D作BC的垂线，与的一边相交得到交点A，连结 AB．如图2右所示． 师：很好!刚才我看了一下，同学们大都想出了上面两种画法．第一种方法，用角相等的方法来画．第二种方法用过一边中点作垂线的方法来画，同学们，你们认为这样画出来的三角形都是等腰三角形吗? 生众：是的． 师：为什么是等腰三角形呢?这就是我们今天所要学习的内容——“等腰三角形的判定”，[板书课题] 师：要判定刚才作出的三角形是等腰三角形，应当给出证明．我们先分析第一种画法，即在两角相等条件下能否判定画出的是等腰三角形?大家想一想，在这里已知是什么?求证又是什么? 生4：已知：在ΔABC中，，求证：AB=AC [评] 第一种画法正好可以得出这节课要学的判定定理，第二种画法则是今后学习线段垂直平分线性质的事实基础．据了解，当时学生还有将残余图对折的第三种画法，而这又是等腰三角形对称性的体现．理论源干生活，对于初学平面几何的学生来说，选择适当时机让他们从个体的实践经验中学习，可以提高其学习的主动性． 在这里，等腰三角形的判定定理不是由教师给出，而是学生凭经验画图，那么画出的图形究竟是不是等腰三角形呢?产生了问题，然后从问题出发，得出判定定理．这样做，改变了学生只是被动接受的状况，因此，学习的兴趣和积极性大有提高。

师：考虑一下，这个问题怎样来证明，已知告诉我们的是两个角相等，要求证明的是两条线段相等那么，要证明两条线段相等，常用什么方法?生众：三角形全等．师：图上有吗?生众：没有．师：那怎么办?生众：添辅助线．师：同学们动手做一做，怎么添辅助线，又怎么证明？把主要证明过程写下来． [学生练习，教师巡视了解情况．待全班学生基本完成证明之后，教师要求学生相互议论：还有哪些不同的证明方法?全体同学对不同的证法很感兴趣，接着，教师请学生叙述自己是怎么证明的] 生5：作的平分线AT，交BC于T，如图3左所示，在和中， 师；这位同学添了的平分线，通过“角角边”来证明三角形全等，从而得到AB=AC 还有其他方法吗? 生6 ：过A点作，垂足为D如图3中所示． ，． 师：这位同学作了BC边上的高AD，两个直角三角形全等，还有其它方法吗？生7：作BC边上的中线AM，如图3右所示，用“边角边”证全等 AM是BC边上的中线，BM=CM． 在和中 嗯[这名同学发现不对，停顿不讲了，不少同学也纷纷指出他的错误，这是“边边角”，不能证明三角形全等][评]想出如此多样的证明方法，可见兴趣的力量是不可低估的．“知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者”，由“好”和“乐”所产生的迫切追求和探索知识的热情是克服一切困难的内部动力TABCDABCMABC 图3左 图3中 图3右，师：经过证明我们知道，刚才大家通过画图获得的那个几何命题是正确的，它可以作为“等腰三角形的判定定理”，同学们能不能用语言来正确叙述一下这条判定定理? 生8：有两个底角相等的三角形是等腰三角形．[教师板书] 师：大家有不同意见吗?在没有说明它是等腰三角形之前，能不能讲“底角”? 生众：不能！ [教师擦去“底”字，定理变为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，然后，教师要求学生翻开课本，集体朗读课本上的判定定理：“如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．”] 师：课本上讲的和同学们讲的似乎有些不同，但实质上是一致的．同学们讲的等腰三角形没讲明是哪两条边相等，课本上讲清楚了，是相等的角所对的边相等，所以这条判定定理又简称“等角对等边”．此外，能不能判定第二种画法画出的三角形也是等腰三角形呢?这个问题留给大家课后去考虑．有了这条判定定理，今后我们证明线段相等，又多了一种方法：在一个三角形中，如果角相等了，就可以得到所对的边也相等．下面我们一起应用这条定理来研究一些题目：先看第一个题目： 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 想一想，题设是什么?结论又是什么?如何写成已知、求证的形式? 生9：题设是“三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边”，结论是“这个三角形是等腰三角形”． 12CA BECA B D 图4左 图4右师：结合图4左，具体说一下． 生9：已知：∥．求证：AB=AC． 师：这个题目要求证明一个三角形中的两条边相等，应该怎样证? 生众：只要证两个角相等． 师：题目已知是，能不能使已知的两个角相等和要证明的两个角相等建立联系?思考一下请同学们回答． [不少学生举手要求回答，此时教师指定一名学生口述] 生10：AE∥BC (已知)，(两直线平行，同位角相等)，(两直线平行，内错角相等)； (已知)， (等量代换)，AB=AC(等角对等边)． [教师随学生口述板书] 师：很好。

本题要求证ABC的两边AB=AC，其实只要证明，由已知的角平分线性质就容易证出接下来，我们研究第二个题目： 如图4右，ABC中，， BD=CE，求证 这个题目是证明两个角相等，看清和在图中的位置请同学们画画、想想，如何充分利用已知条件 [学生在图上比划，简要地记下证明的思路] 师：就做到这里，请哪位同学把你思考的主要过程讲一讲? 生11：要证明，就必须先证明AD=AE，要得到AD=AE，我是通过三角形全等的方法来解决的 师：哪两个三角形? 生11：ABD和ACE 师：你用什么方法证它们全等? 生11：我是用“边角边”的方法AB=AC，，BD=CE 师：条件中没有AB=AC啊！ 生11：这在ABC中由可得师：这位同学根据已知条件，利用刚才学到的判定定理“等角对等边”得出了AB=AC，再结合已知条件BD=CE，，用这三条件推出了ABD和ACE全等，于是AD= AE，最后在ADE中利用等腰三角形的性质定理“等边对等角”得出[教师边讲边板书下列思路]方法一师：还有没有不同的方法？生12：要证，可以用等角的补角来证，就是先证师：是怎么得来的?生12：是用三角形全等，就是得出的。

师：这位同学的思路是：[教师板书]方法二师：还有其他方法吗? 生13：用全等三角形的对应角来证师：哪两个三角形全等?生13： 师：这两个三角形为什么全等? 生13 ：因为BD=CE，所以BD+DE=CE+ED，就是BE=CD，加上，AB=AC，所以三角形全等 师：对，很好！这位同学先由等式性质得出BE=CD，然后根据，结合今天学习的等腰三角形的判定定理得AB=AC，最后利用“边角边”得ABE与ACD全等，马上得出对应角相等[板书] 方法三（略） 师：很好！这道题同学们想出了很多方法，第一种方法：把和理解为同一个三角形的两个内角，用“等边对等角”的思路结合三角形全等得到第二种方法：通过等角的补角来证，也是结合三角形全等得到第三种方法：是把和直接看作两个全等三角形的对应角证出．想出的方法多，说明同学们能够从不同的途径去考虑问题 [评] 这两道基本例题编排得很好第一道题比较容易做，是等腰三角形判定定理的简单应用它安排在练习的开头，让所有学生都能顺利完成，由浅入深是必要的第二道题则进了一层，证明时既要应用判定定理，又要应用性质定理，绕了个弯，而且可有几条证明途径，这可以了解学生灵活运用以往学过知识的能力。

在数学教学中，配置合适的习题，并且有效地利用它们，对于学生在课堂上独立地、积极地进行认识活动具有重要作用，值得引起注意 ABCOABCOE F 图5左 图5右师：下面我们一起来研究第三个题目：如图5左所示，在ABC中，已知，BO平分，CO平分，请同学们想想看，在这张图上，由这两个已知条件，你能导出什么结论? 生14：可以得出师：能不能从道理上说明一下?生14：因为，BO平分，CO平分，根据等量的一半相等，可以得到另外还可以得到OB=OC，理由是“等角对等边” 师：好！现在把这个题目变化一下，大家看清楚，就在这张图上，过O作一条直线EF和边BC平行，与AB交于E，与AC交于F，如图5右所示 请同学们考虑两个问题：①仔细寻找一下，这张图中有几个等腰三角形?为什么?②添上去的这条线段EF和图中的线段 EB、FC之间有没有关系?如果有，是怎样一种关系? [学生思考一两分钟后，教师要求他们相互讨论，顿时气氛热烈有些学生认为有两个或三个等腰三角形，另一些学生则认为共有五个等腰三角形，还高兴地把自己的理由说给其他同学听。

在讨论线段EF时，不同意见更多了有的说O是线段EF的中点，因此EF是EB或FC的两倍，还有的说EF等于EB、FC的和教师在各个讨论组之间巡视，并参加一些小组讨论] 师：好！讨论到这里，请同学们发表意见先回答第一个问题：图中有几个等腰三角形? 生15：有五个 师：哪五个? 生15：ABC、OBC、AEF、EOB、FOC 回答略 师：很好！大多数同学都看出有五个等腰三角形第二个问题：添上去的线段EF和EB、FC之间有没有关系?如果有，是怎样一种关系? 生16：有关系，EO、FO、EB、FC这四条线段都相等 师：讲讲理由看 生16：因为ABC是等腰三角形，所以AB：AC；因为AEF是等腰三角形，所以AE=AF利用等式性质就可以得到 EB=FC又因为EOB和FOC都是等腰三角形，所以EB=EO，FC=FO这样EO、FO、EB、FC四条线段就都相等了 师：大家听懂没有?这位同学用了四个等腰三角形，也就是通过四组对边相等并结合等式性质推得结论还有其他的方法吗?请同学们回去思考根据这四条线段相等，EF和EB、FC的关系是怎样的?噢！他还没有讲完 生16：EF是EB或FC的2倍。