等差数列、等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法.doc

等差、等比的公式性质以及数列的求和方法第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：a -a二d （dn n-1为公差）（n > 2，n e N*）注：下面所有涉及n，n e N *省略，你懂的2、等差数列通项公式：a = a + (n - 1)d， a为首项’d为公差推广公式：n 1 1a = a + (n - m)d nm变形推广：a - ad = —n mn-m3、等差中项（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.即:A =旦或 2 A 二 a + b2（2）等差中项：数列匕｝是等差数列no 2a = a + a （n > 2） o 2a = a + an n-1 n+1 n+1 n n+24、等差数列的前n项和公式：n(a + a ) n(n - 1)S = + n = na + dn 2 1 2=dn2 + (a - - d)n2 -2= An2 + Bn（其中A、B是常数，所以当d#0时，S是关于n的二次式且常数 n项为0）特别地，当项数为奇数2n +1时，a是项数为2n+1的等差数列的 n+1中间项S A +叫+化n+1）=（2n + l）a （项数为奇数的等差数列的各项 2 n+1 2 n+1和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法(1) 定义法：若 a - a 二 d 或 a - a 二 d (常数 n e N*)O L ｝是n n-1 n+1 n n等差数列．(2) 等差中项：数列匕｝是等差数列nO 2a = a + a (n > 2) O 2a = a + an n-1 n+1 n+1 n n+2(3) 数列匕｝是等差数列o a二kn + b (其中k, b是常数)。

nn(4) 数列匕｝是等差数列o S二An2 + Bn ,(其中A、B是常数)nn6、 等差数列的证明方法定义法：若a -a二d或a -a二d (常数n e N*) O匕｝是等差 n n -1 n +1 n n数列．7、 等差数列相关技巧：(1) 等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a、1d、n、a及S，其中a、d称作为基本元素只要已知这5个元素中 n n 1的任意3 个，便可求出其余2 个，即知 3 求22) 设项技巧：① 一般可设通项a二a + (n - 1)dn1② 奇数个数成等差，可设为…，a-2d,a-d,a,a + d,a + 2d…(公差 为d)；③ 偶数个数成等差，可设为…，a-3d, a - d, a + d, a + 3d，…(注意; 公差为 2d )8、 等差数列的性质：(1)当公差d丰0时，等差数列的通项公式a = a + (n 一 1)d = dn + a 一 d n 1 1是 关 于 n 的 一 次 函 数 ， 且 斜 率 为 公 差 d ； 前 n 和S = na + n(n-l)d = dn2 + (a - d)n是关于n的二次函数且常数项为 n 1 2 2 1 20。

2) 若公差d >0，则为递增等差数列，若公差d <0，则为递减 等差数列，若公差d二0，则为常数列3) 当 m + n 二 p + q 时，则有a + a二a + a，特别地，当 m + n = 2 pm n p qa +amn时，则有 a + a = 2a 注：a + a = a + a = a + a =••• ‘)当然扩充m n p 1 n 2 n -1 3 n - 2到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等⑷｛a ｝、｛b ｝为等差数列，则｛血+ b｝,｛ka +X b ｝都为等差数列 n n n 1 n 2n⑸ 若｛ a ｝是等差数列，则S , S - S , S - S ，…也成等差数n n 2 n n 3n 2 n列（6） 数列｛a ｝为等差数列，每隔k（k e n *）项取出一项n（a ,a ,a ,a ，…）仍为等差数列m m+k m+2 k m+3k（7） ｛ ｝> ｛b ｝的前 n 和分别为 A、B，则 = A2n-1n n n n b Bn 2 n -1（8） 等差数列｛a ｝的前n项和S二n，前m项和s二m，则前m+nn m n项和S =-（m + n），当然也有a = m,a = n，则a = 0m+n n m m+n（9）求s的最值n法一：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求 二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n e N*。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有 非负项之和即当a > 0, d < 0,由|an - 0可得S达到最大值时的n值.1 la < 0 nn +1（2） “首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有 非正项之和即当a < 0, d > 0,由|an < 0可得S达到最小值时的n值.1 I a > 0 nn+1或求｛a ｝中正负分界项n法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像 是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时S取 n最大值（或最小值）若s = s则其对称轴为n=p q 2注意：S -S = a （n > 2），对于任何数列都适用，但求通项时记住讨论 n n -1 n当n = 1的情况解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：① 基本量法：即运用条件转化为关于a和d的方程；1② 巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简, 减少运算量以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明，不是 很难，并能够学会运用）第二节：等比数列的相关公式和性质1、等比数列的定义:佯二q（q丰0）（n > 2），q为公比an-12、通项公式：a = a qn-i， a为首项，q为公比n 1 1推广公式：a = a qn-m 予nm从而得 qn-ma —na3、等比中项（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项•即:A2 = ab 或 A = ±-jab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列匕｝是等比数列o a 2 = a • an n n-1 n+14、等比数列的前n项和s公式：n(1) 当 q = 1 时，S = nan1(2) 当 —时 c a, (1 - q") a 一 a q(2)当q丰1时，S =」 =T nn 1 - q 1-q=廿 一 1一n=A 一A •Bn=A'Bn-A( A, B A ；B'为常数)5、等比数列的判定方法（1） 用定义:对任意的n,都有a =qa 或 = q（q为常数，a 丰 0） O {a }n+1 n a n nn为等比数列（2） 等比中项：a 2 = a a （ a a丰0） o {a }为等比数列n n+1 n-1 n+1 n-1 n（3） 通项公式：a = A - Bn（A • B丰0）o {a }为等比数列nn（ 4） 前 n 项和公式：S = A 一 A • Bn或S = A' Bn 一 A' 等比数列n n n6、 等比数列的证明方法依据定义：若丄=q（q丰0）（n > 2,且n g N*）或a = qa O {a }为等比数列 a n +1 n nn -17、 等比数列相关技巧：（1） 等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a、1q、n、a及S，其中a、q称作为基本元素。

只要已知这5个元素中 n n 1的任意3个，便可求出其余2个，即知3求22） 为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：a = a q n-1n1如奇数个数成等比，可设为…，二,a,a,aq,aq2…（公比为q，中间项 q 2 q用a表示）；注意隐含条件公比q的正负8、 等比数列的性质：（1）当q丰1时① 等比数列通项公式a = aqn-1 = 2qn = A• Bn （A• B丰0）是关于n的带有系n 1 q数的类指数函数，底数为公比q② 前n项和S =巴（1一炉）=曽即丄-丄qn = A - A • Bn = A'Bn - A'，系n 1- q 1-q 1-q 1- q数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q⑵ 对任何m,nen*,在等比数列｛a ｝中，有a二a qn-m，特别的，当m=l时,n n m便得到等比数列的通项公式因此,此公式比等比数列的通项公式更 具有一般性3) 右 m + n = s +1( m,n, s,t e N*),则 a - a = a - a特别的,当 m + n = 2k 时, n m s t注：a・a = a・a = a a1 n 2 n -1 3 n - 2⑷ 列｛a ｝，｛b ｝为等比数列,则数列｛—｝，｛k・a ｝，｛ak ｝，｛k・a・b ｝ ｛2｝ (k为nnn n a n n n n b非零常数) 均为等比数列。

⑸数列｛a ｝为等比数列，每隔k(k G N* )项取出一项n(6)(7)(8)a2 n+1,am+k m+2k,a ，…)仍为等比数列m+3k如果｛a ｝是各项均为正数的等比数列，则数列｛log a ｝是等差数列n a n若｛a ｝为等比数列,则数列S , S -S , S -S，…，成等比数列 nn 2n n 3n 2n若 ｛a ｝ 为 等 比 数 列 , 贝 数 列 na・a・・・・・a ， a ・a ・・・・・a1 2 n n +1 n + 2 2 n・a ・・・・・・ a 成等比数列2n+2 3n(9)①当q > 1时,②当00,则｛a ｝为递增数列1nai <0,贝lj｛a ｝为递减数列1n｛ al >0,贝I」｛a ｝为递减数列1na <0,贝U｛a ｝为递增数列1n③ 当 q=1 时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列);④ 当 q<0 时,该数列为摆动数列10)在等比数列｛a ｝ 中,当项数为2n (ne N*)时,S奇偶(11)若｛a ｝是公比为q的等比数列，则S = S + qn・Sn n+m n m 注意：在含有参数的数列时，若是等比数列，一定要考虑到公比q = 1 的特殊情况。

解决等比数列问题时，通常考虑两类方法：① 基本量法：即运用条件转化为关于a和q的方程；② 巧妙运用等比数列的性质，一般地运1用性质可以化繁为简, 减少运算量关于等差、等比两个引申：° = ka + b模式（其中k,b为常数,n n-1n > 2）； a = pa + pn模式（其中p为常数，n > 2）n n -1在这里我们以具体的例子给出，使其更容易理解：例1 已知数列｛a ｝，有a二3a + 4（ n > 2），则求该数列的通项公式n n n -1解题大致思路：先设a + b二3（a + b），则对于a二3a + 4 n a + 2二3（a + 2），n n -1 n n -1 n n -1。