高数同济18函数的连续性与间断点知识分享.ppt

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式*1一、函数的连续性v 增量v 函数连续二、函数的间断点v 第一类间断点v 第二类间断点1.8 函数的连续性与间断点上页下页结束返回首页思考：如何描述这种现象？一、函数的连续性曲线不断曲线断开函数f(x)随x的改变而逐渐改变; 突变现象下页 数学语言：增量2v1.增量的概念：一、函数的连续性曲线不断曲线断开 注: 也记x=x1-x0,即自变量x从初值x0变到终值x1； 增量 x和 y可正可负; 在第2章的导数部分将再次研究增量.下页3思考：如何用e-d 语言叙述函数的连续性定义？ e 0 d 0 当|x-x0|d 有|f(x)-f(x0)|e 提示：下页v2 函数的连续性定义 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续 5例1证下页6左连续与右连续结论 函数y=f(x)在点x0处连续 函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续 下页7例2解左连续但不右连续 ,下页 函数y=f(x)在点x0处连续 函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续 8注:v3 连续函数 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续连续函数举例 （1） 多项式函数P(x)在区间(- +)内是连续的 这是因为 函数P(x)在(- +)内任意一点 x0处有定义 并且下页 如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续 9 （2）正弦函数 y=sin x 在区间(- +)内是连续的 这是因为 函数y=sin x在(- +)内任意一点x处有定义 并且首页 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续连续函数举例v3 连续函数实际上,初等函数在定义区间上都是连续的，（见下节）.10二、函数的间断点 设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义 在此前提下 如果函数 f(x)有下列三种情形之一 (1)在x0没有定义则函数 f(x)在点x0不连续 而点x0称为函数 f(x)的不连续点或间断点 (2)虽然在x0有定义 但 f(x)不存在 (3)虽然在x0有定义且 f(x)存在 但 f(x)f(x0)下页v1 间断点（不连续点）的定义11v2 间断点举例 例1 下页12 例2 当x0时 函数值在-1与+1之间变动无限多次 所以点x=0是函数的间断点 所以点x=0称为函数的振荡间断点 下页v2 间断点举例13所以点x=1是函数的间断点 如果补充定义 令x=1时y=2 则所给函数在x=1成为连续 所以x=1称为该函数的可去间断点 例3 下页v2 间断点举例14 因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象 我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点 例4 下页v2 间断点举例15 通常把间断点分成两类 设 x0是函数f(x)的间断点 如果左极限f(x0-)及右极限f(x0+)都存在 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点 不属于第一类间断点的间断点 称为第二类间断点 在第一类间断点中 左、右极限相等者称为可去间断点 不相等者称为跳跃间断点 无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点 v3 间断点的类型下页16可去型第一类间断点跳跃型无穷型第二类间断点oyxoyxoyx下页oyx振荡型17狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续, 在定义域 R内其余各点处处间断. 但其绝对值处处连续.下页18小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点下页19练习：研究下列函数在x=0的连续性，若是间断的，指出间断点类型。

解：1)2) x=0为第一类间断点下页20不存在，x=0为第二类间断点4）当a=0时f(x)在x=0处连续a0时 x=0为f(x)的可去间断点3）（a为任意实数）下页21 P59:2、4-（2）（4） 64：2-（1）、（3）、322。