圆锥曲线离心率问题.docx
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圆锥曲线离心率问题圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质， 一方面刻画了椭圆， 双曲线的形状， 另一方面也表现了参数 a, c 之间的联系一、基础知识：1、离心率公式： ec（此中 c 为圆锥曲线的半焦距）a（ 1）椭圆： e 0,1（ 2）双曲线： e 1,+2、圆锥曲线中 a,b, c 的几何性质及联系（1）椭圆： a2 b2 c2 ，① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和： PF1 PF2 2a② 2b ：短轴长③ 2c : 椭圆的焦距（2）双曲线： c2 b2 a2① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值： PF1 PF2 2a② 2b ：虚轴长③ 2c : 椭圆的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要环绕找寻参数 a,b, c 的比率关系（只要找出此中两个参数的关系即可） ，方法往常有两个方向：（1）利用几何性质： 假如题目中存在焦点三角形 （曲线上的点与两焦点连线构成的三角形） ，那么可考虑追求焦点三角形三边的比率关系，从而两条焦半径与 a 有关，另一条边为焦距从而可求解（2）利用坐标运算： 假如题目中的条件难以挖掘几何关系， 那么可考虑将点的坐标用 a, b, c进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在找寻不等关系时往常可从以下几个方面考虑：（ 1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）能否有范围要求：比如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。
假如问题环绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用 a, b, c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的打破口（ 2）若题目中有一个核心变量，则能够考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）经过一些不等关系获得对于a,b,c 的不等式，从而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：e0,1，双曲线： e1,+二、典型例题：22例 1：设 F1, F2分别是椭圆 C : x2y2 1 ab0 的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线ab段 PF1 的中点在 y 轴上，若PF1F230o ，则椭圆的离心率为（）A．3B．3C． 1D． 13636思路：此题存在焦点三角形VPF1F2 ，由线 段 PF1 的 中 点 在 y 轴 上 ， O 为 F1F2 中 点 可 得PF2∥ y 轴 ， 从 而 PF2F1F2，又由于PF1F230o ，则直角三角形VPF1 F2 中，PF1 : PF2: F1F22 :1:3，且2aPF1PF2 ,2 cF1F2，所以ec2cF1 F23a2aPF1PF23答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意 O为 F1F2中点是一个隐含条件，假如图中存在其余中点，则有可能与 O搭配形成三角形的中位线。
例 2 ：椭 圆 x2y2 1 0b 2 3与渐 近线为 x2 y0 的双曲线 有同样 的焦点12b2F1 , F2 , P 为它们的一个公共点, 且 F1PF290o , 则椭圆的离心率为 ________思路：此题的打破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设F1F2 2c ，在双曲线中，b'1a' : b': c 2 :1:5，不如设P在第一象限，则由椭圆定义可得：a'2PF1PF243 ，由双曲线定义可得：PF1 PF22a'4c ，由于F1PF2 90o ，522PF12PF224c2 而 PF12PF22=PF1PF2PF1PF22代入可得：4816c28c2c10ec305a6答案：306小 炼 有 话 说 ：在办理同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的因素是联接这些圆锥曲线的桥梁，往常以这些共同因素作为解题的要点点例 3 ：如下图，已知双曲线x2y 21 ab0 的右焦点为F，过F的直线 l 交双曲a2b2A, B 两点，且直线 l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的 2uuuruuur线的渐近线于倍，若 AF2FB ，则该双曲线的离心率为（）32B.23C.30D.5A.4352思路：此题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所波及的点坐标全力用a, b, c表示，再找寻一个等量关系解出a, b, c的关系。
双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 yb x ， 由a2b2ab直 线 l 的 倾 斜 角 是 渐 近 线 OA 倾 斜 角 的 2倍 可 得 ： kOAa，确立直b2a 2b212aba2线 l的 方 程 为 yxc ， 与 渐 近 线 联 立 方 程 得2b2ay2abx cuuuruuura2b22abc2abc将AF 2FB转变成坐口号言，by3a 2b2 or ya2b2ya则 yA2 yB， 即2abc22abc， 解 得 a : b : c3 :1:2 ， 从 而 e23a 2b23a2b23答案： B例 4：设 F1， F2 分别为双曲线x2y21(a0,b0) 的左、右焦点，双曲线上存在一点Pa2b2使得9| PF1| |PF2 |3b,| PF1 ||PF2 |ab, 则该双曲线的离心率为44B.59A.3C.34思路：条件与焦半径有关，因此联想到PF1PF2 2a ，从而与|PF1||PF2 |3b,| PF1 ||PF2 |9 ab, 找到联系，计算出a,b 的比率，从而求得 e4解： Q PF1PF22aPF12PF1PF22PF2PF24 PF1即 9b24a29ab9b29ab4a20b2b解得： b1（舍）或 b49940aaa3a3a : b : c 3: 4:5c5e3a答案： B例 5：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，为椭圆的四个极点，为其右焦点，直线与直线订交于点 T，线段与椭圆的交点恰为线段的。
