线性空间的同构.doc

§ 8.线性空间的同构一、 同构映射的定义引入我们知道，在数域 P 上的 n 维线性空间 V 中取定一组基后， V 中每一个向量 有唯一确定的坐标(a ,a, ,a) ，向量的坐标是 P 上12n的 n 元数组，因此属于 .这样一来，取定了 V 的一组基1,2, ,n对于 V 中每一个向量，令在这组基下的坐标(a1 ,a2 ,,an ) 与对应，就得到 V 到 pn 的一个单射: VP n,(a , a, ,a)1 2n反过来，对于中的任一元素(a1 ,a2 ,, an )1a12a2n an是 V 中唯一确定的元素，并且()(a , a, ,a), 即也是满12n射.因此， 是 V 到 pn 的一一对应 .这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上任取,V , 设a1 1a2 2an n ,bbb1 12 2n n则( ) (a ,a2, a ),( ) (b1 ,b2 , , bn )1n从而() (a1 b1 ,a2b2, an bn )(a1 , a2, an ) ( b1, b2 , , bn )( )( )(k ) (ka1 ,ka2, kan )k Pk(a1,a2,an ) k ( ),这就是说，向量用坐标表示后， 它们的运算可以归结为它们的坐标的运算 .一、同构映射的定义设 V ,V 都是数域 P 上的线性空间，如果映射 ：V V 具有以下性质：i) 为双射ii)()()( ),,Viii)kk,kP,V则称 是 V 到V 的一个同构映射， 并称线性空间 V 与 V 同构，记作 VV .例 1、 V 为数域 P 上的 n 维线性空间，1, 2,,n 为 V 的一组基，则前面 V 到 pn 的一一对应: VP n ,(a1 ,a2 ,,an )V这里 (a1, a2 ,,an )为在1,2, ,n基下的坐标，就是一个 V 到Pn 的同构映射，所以VP n .二、 同构的有关结论、数域上任一维线性空间都与pnPn同构 .12、设 V ,V是数域 P 上的线性空间，是V到V的同构映射，则有1） 00,.2） (k1 1k2 2kr r )k(1)k2(2)kr(r),iV , ki P, i 1,2,, r .13）V 中向量组 1 , 2 , , r 线性相关（线性无关）的充要条件是它们的象 ( 1), ( 2), ,( r )线性相关（线性无关） .4） dimVdimV .5）： VV 的逆映射1 为V 到V的同构映射.6） 若 W 是 V 的子空间，则W 在下的象(W){()W }是的 V 子空间 dim Wdim(W ).证：1 ）在同构映射定义的条件 iii) kk中分别取k0与 k1, 即得00,2）这是同构映射定义中条件 ii)与 iii) 结合的结果 .3）因为 k1 1 k2 2kr r 0 可得k1 ( 1 ) k2 ( 2 )kr ( r ) 0反过来，由k1(1 )k2 (2 )kr ( r )0可得(k11k22krr )0. 而是一一对应，只有(0)0.所以可得 k1 1k22krr0.因此，1 ,2 ,,r线性相关（线性无关）(1 ),(2 ),, ( r ) 线性相关（线性无关） .4）设dimVn,1 ,2 ,, n为 V 中任意一组基 .由 2）3）知，( 1),(2 ),,(n ) 为的一组基 . 所以dim V ndim V .5）首先1:VV是 1－1 对应，并且1IV,1I V,I 为恒等变换任取 ,V, 由于是同构映射，有(1 ())1 ()1 ( )1 ()(1()) (1( ))( 1( ) 1( ))再由 是单射，有1()1 ()1 ()同理，有1( k)k1( ),V ,kP所以，1为V 到 V的同构映射 .6）首先，WVV 且0=0W,W其次，对,W,有W中的向量,使,.于是有kkk,kP由于 W 为子空间，所以W ,kW. 从而有W ,kW .所以W是的 V 子空间.显然， 也为W到W的同构映射，即WW故 dimWdim(W ).注由 2 可知，同构映射保持零元、负元、线性组合及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间 .3、两个同构映射的乘积还是同构映射 .证：设： VV , :VV为线性空间的同构映射，则乘积是 V到V的 1－1 对应.任取，V ,k P ,k k kk k所以，乘积 是 V到V 的同构映射 .注同构关系具有：I V反身性： V V1对称性： VVVV传递性：VV , VVV V4、数域 P 上的两个有限维线性空间 V ,V2同构dim V1 dimV2 .1证" "若V1V2由性质 2 之 4）即得dim V1dimV 2 .," " （法一）若 dim V1 dim V2 , 由性质 1 ，有V Pn, V2PnV1 V2.1" " （法二：构造同构映射）设,2,n; e,e ,e 分别为 V1, V2 的一组基 .112n定义: V1V2 ,使a1 1a2 2an n V1 ,( ) a1e1a2e2an en则就是 V1到V2的一个映射 .nn又任取 ,V,设ai,bi,1ii( )( ),即ni 1ni1若a eb e , 则i 1iii 1iii1,2,,n,从而，.所以是单射 .任取V,设na e ,则有n使aiiV1,2i1ii所以是满射 .i1再由的定义，有(i )ei ,i1,2,, n易证，对,V ,kP 有1()( )( ),kk,所以是 V1 到 V2 的一个同构映射，故V1 V2.例 2、把复数域看成实数域 R 上的线性空间，证明： C R2证法一：证维数相等首先， xC,x可表成xa1bi,a,b R其次，若 a1+ bi= 0,则 a= b0.所以， 1，i为 C 的一组基， dim C2.又， di。