湖南省隆回一中2015-2016学年高二上学期期中复习数学(理)试题含答案.doc

2016届高二上学期理科期中复习卷 数 学 试 题时量： 120分钟 总分：150分 命题人：（考查范围：必修3、选修2-1、选修2-2至数学归纳法）一、选择题（每小题5分共50分，请将答案填写在答卷上．）已知．若“”为真命题，则的取值范围是（ ） 一年级二年级三年级女生373男生377370某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ） 24 18 16 12下列叙述不正确的是（ ） 类比推理是由特殊到特殊的推理； 归纳推理是从特殊到一般的推理； 演绎推理是由一般到特殊的推理； 合情推理与演绎推理所得的结论都是正确的．如右图，若程序框图输出的S是126，则判断框①中应为 （ ） 对于定义在上的可导函数，命题：在处导数值为，命题：函数在处取极值．则命题是命题成立的（ ）必要非充分条件 充分非必要条件 充要条件 既不充分也不必要条件已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为（ ） 　　　 　　　　　 ABCD给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称 在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（ ） 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） 定义在上的可导函数，当时，恒成立，，则的大小关系为（ ） 函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）①； ②；③； ④ ①②③④ ①②④ ①③④ ①③二、填空题（每小题5分共25分，请将答案填写在答卷上．）如右图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，若80分以上为优秀，根据图形信息可知这次考试的优秀率为 ． 盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________(结果用最简分数表示)．　已知椭圆：和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为. 若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围是 ． 如右图，设是图中所示的矩形区域，是内函数图象上方的点构成的区域，向中随机投一点，则该点落入（阴影部分）中的概率为_______． 数列的前n项和为，且数列的各项按如下规则排列： 则 ⑴= ；⑵若存在正整数，使，，则 .三、解答题（共75分，要有必要的文字说明，步骤，请将答案填写在答卷上．）16．（本小题12分）已知矩形与正三角形所在的平面互相垂直， 、分别为棱、的中点，,．(Ⅰ)证明：直线平面；(Ⅱ)求二面角的余弦值．17．（本小题12分）已知椭圆的右焦点为F，过F的直线交椭圆于A、B两点.(Ⅰ)当垂直于轴时，△AOB的面积为，求椭圆的方程；(Ⅱ)若椭圆上存在点M，使得四边形OAMB为平行四边形，求的取值范围. ABFAxyMO18．（本小题12分）在四棱锥中，侧面底面，，底面是直角梯形，，，，．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角的大小为．19．（本小题13分）已知函数．(Ⅰ) 讨论函数的单调性；(Ⅱ) 求证：．20．（本小题13分）在平面直角坐标系中，曲线上的动点到点的距离与到直线的距离之比为定值；曲线上的动点到点的距离与到直线的距离相等．曲线与轴的交点落在曲线上．(Ⅰ)求曲线，的方程；(Ⅱ) 若曲线在动点处的切线与曲线相交于两点，求的取值范围．21．（本小题13分）已知函数，（，且），函数在处的切线与轴平行．(Ⅰ) 求实数的值；(Ⅱ) 讨论的单调性；(Ⅲ) 当时，，，不等式恒成立，求实数的取值范围．2016届高二上学期理科特色班数学期末复习参考答案一、选择题（每小题5分共50分）题号12345678910答案DCDBACDDAC二、填空题（每小题5分共25分）11． 12． 13． 14． 15． ， 三、解答题（共75分，要有必要的文字说明，步骤）16．（本小题12分）方法一（几何法）：（1）证明： 取EC的中点F，连接FM，FN，则，，， ，（ 2分）所以且，所以四边形为平行四边形，所以，（ 4分） 因为平面，平面，所以直线平面；（ 6分）_C_F_A_D_G_E（2）解：由题设知面面，，又，∴面，作于，则，作，连接，由三垂线定理可知，∴就是二面角的平面角，（ 9分）在正中，可得，在中，可得，故在中， ，（ 11分）所以二面角的余弦值为（ 12分） FHOABCDEMN方法二（向量法）：如图以N为坐标原点建立空间右手直角坐标系,所以 …1分（1）取EC的中点F ，所以， 设平面的一个法向量为，因为，所以，；所以，…3分因为，，所以 ………………………5分因为平面，所以直线平面 ………………………7分（2）设平面的一个法向量为，因为，所以，；所以……………9分 （ 11分），因为二面角的大小为锐角，所以二面角的余弦值为。

…12分17．（本小题12分）解：（Ⅰ）垂直x轴时，， 其中… ①，…2分ABFAxyMO∴==∴ … ②，由①②解得，……4分∴椭圆的方程为： . …………5分（Ⅱ）设，，∵四边形OAMB为平行四边形，∴，得的坐标为……………………………6分设直线的方程为： 又，∴上述方程为，，∴…8分将的坐标代入椭圆方程得：…10分又，∴，∴，故.………12分18．（本小题12分）证：（Ⅰ）平面底面，，所以平面，所以．如图，以为原点建立空间直角坐标系．…………2分则，，，．．所以．…………3分又由平面，可得，…………4分且…………5分所以平面． ………………………6分 （Ⅱ）平面的法向量为，…………8分，所以，设平面的法向量为，由，，得，所以，…………9分所以，…………11分注意到，得 ………………………………12分19．（本小题13分）解：(Ⅰ) …………1分令，则：①当时，恒成立，亦即恒成立，所以：当时，在内单调递增． ………3分②当⑴当时，，又，所以时，恒成立，所以：当时，在内亦单调递增． ………………4分⑵当时，． 设设是方程的两根，则可求：，，且易知，．故数形结合可知：在单调递增，在内单调递减，在内单调递增． ………………6分综上可得：当时，在内单调递增；当时，在单调递增，在内单调递减，在内单调递增． ………………7分 (Ⅱ)（法一）借助上述函数的性质证明:根据(Ⅰ)的结论可知，当且时，， 即．………………8分令，则有， ………………10分故有： ． ………………11分，∴．…13分 (法二)用数学归纳法证明:(先证明一般结论，再获得特殊结论)当时，．，，即时命题成立． ……………………………8分设当时，命题成立，即 ． 时，．根据(Ⅰ)的结论，当且时，，即．令，则有，则有，即时命题也成立．…………11分因此，由数学归纳法可知不等式对时均成立．1 2 3 4 5 6 2010 2011…故当时，有 …13分（法三）根据定积分的定义证明：有定积分的定义可得：．……８分， ……9分 …………11分，又，，所以：．继而有：． ……………13分另一：另二：20．（本小题13分）解：(Ⅰ)设，则由题意有：，整理得：．所以曲线的方程为：． ………………2分又可求曲线与轴的交点为，若设故由题意有： 所以曲线的方程为． ………………5分综上可知：曲线的方程为；曲线的方程为：． ………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)不妨设，根据导数的几何意义，可求：．所以直线的方程为：． …………8分代入中并整理的：．要有两交点，则：．9分设，则有：， …………10分 所以：． …………11分又由题意可知：，所以：． …………12分又：，所以：． …………13分21．（本小题13分）解：（Ⅰ），又由题意有： ， ………3分(Ⅱ)法一： ，……………………………………………………4分令， …………………………5分所以在定义域上单调递增，即：在定义域上单调递增，又：，所以当时，；当时，.故：在上单调递减，在上单调递增.………………………8分法二： ①当时：若，则，，，所以；若，则，，，所以.此时，在上单调递减，在上单调递增.……………………………5分②当时：若，则，，，所以；若，则，，，所以.此时，在上单调递减，在上单调递增.…………………………7分综上可知：在上单调递减，在上单调递增.……………………8分(Ⅲ) 法一：分析可知，要满足题意，即要在上的最大值不小于在上的最大值. …………………………………………………………9分，所以在上单调递减，在上单调递增.故.且，，所以，故：. ………………………………………………………………………10分由(Ⅱ)可知：在上单调递减，在上单调递增.所以.又令，所以在上单调递增，故。