数学物理方法总结.docx

精品名师归纳总结数学物理方法总结第一章 复变函数可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结复数的 代数式 :z=x+iy复数的 三角式 和指数式 : z〔cos sin 〕 和z ei可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结欧拉公式 :{sin z1 〔eiz 2ie iz 〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结cos z1 iz iz〔e e 〕2u uv y可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结柯西 - 黎曼方程 〔 或称为柯西 - 黎曼条件 〕:{〔 其中 f〔z〕=u+iv〕v vx y可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结函数 f〔z〕=u+iv 在点z0 及其领域上到处可导 , 就称 f〔z〕 在 z0 点解析 . 在区域 B 上每可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结一点都解析 , 就称 f〔z〕 是在区域 B 上的解析函数 .解析函数的性质 : 1. 如函数 f〔z〕=u+iv 在区域 B上解析 , 就 u〔x, y〕C1,v〔 x, y〕 C2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结〔 C1,C2 为常数 〕 是 B 上的两组正交曲线族 .2. 如函数在区域 B 上解析 , 就 u,v 均为 B 上的调和函数 , 即2 2u v 0x2 y2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结例题 : 已知某解析函数 f〔z〕 的实部u〔x, y〕 x2y2 , 求虚部和这个解析函数 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结解答 : 由于2u=2;x22 v 2u=-2; 就y2 x22 vy2 0可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结曲线积分法 u =2x; u =-2y. 依据 C-R 条件有 : v =2y; v=2x.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结x y于是 dv 2 ydx 2 xdy ;x y〔 x,0〕 〔 x, y 〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结v 〔2 ydx 2xdy〕 C〔2 ydx 2xdy〕 〔2 ydx2xdy〕 C可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结〔 x, y〕〔 x, y〕〔 x,0〕2xdy C2xy C〔0,0〕 〔x ,0〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结凑全微分显式法 由上式可知dv 2 ydx2 xdy可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结就易得dv d 〔2 xy〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结就明显 v 2 xy Cv v可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结不定积分法 上面已有=2y;x=2xy可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结就第一式对 y 积分,x 视为参数 , 有 v2xy〔 x〕 2xy〔x〕 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结上式对 x 求导有v 2 y x'〔 x〕, 而由 C-R 条件可知 '〔x〕 0 ,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结从而 〔x〕 C . 故 v=2xy+C.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结f 〔 z〕x2 y2i 〔2 xy C 〕z2 iC可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结其次章 复变函数的积分单连通区域柯西定理 假如函数 f〔z〕 在闭单连通区域 B 上解析 , 就沿 B 上任意一分段 光 滑 闭 合 闭 合 曲 线 l〔 也 可 以 是 B 的 边 界 〕, 有f 〔z〕dz 0 .l复连通区域柯西定理 假如 f〔z〕 是闭复连通区域上的单值解析函数 , 就n可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结f 〔z〕dzli 1 lif 〔 z〕 dz0 . 式中 l 为区域外边界线 , 诸 li可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结为区域内边界线 , 积分均沿边界线的正方向进行 . 即n可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结柯西公式f 〔 〕f 〔z〕dzl i 11 f 〔 z〕 dzf 〔 z〕dz .li可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结2 in 次求导后的柯西公式l z〔 n〕fn.〔 z〕f 〔 〕n 1 d可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结2 i l 〔 z〕第三章 幂级数绽开幂级数可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结a 〔 z z 〕k a a 〔 z z 〕 a 〔z z 〕2 ...... a 〔 z z 〕k......可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结k 0 0 1 0 2 0 k 0k 0可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结其中 a0 ,a1 ,a2 ,a3 , ⋯⋯都是复常数 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结比值判别法 〔 达朗贝尔判别法 〕1. 如有可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结limak 1k 1z z0limak 1 z z 1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结k0k a z z k a可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结k就 a0 a10z z0k2a2 z z0......kak z z0......收敛 ,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结a 〔 z z 〕k a a 〔z z 〕 a 〔z z 〕2 ......a 〔 z z 〕k...... 肯定收敛 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结k 0 0 1 0 2 0 k 00k 0可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结如极限lim a/ a 存在 , 就可引入记号 R, Rlim ak, 于是 , 如z z R ,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结k k k 1就k ak 1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结a 〔 z z 〕ka a 〔z z 〕a 〔z z 〕2......a〔 z z 〕k...... 肯定收敛 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结k2. 如k0z z00 0 1 0 2 0 k 0R, 就后项与前项的模之比的极限可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结limak 1k 1z z0klimak 1R1 , 即说明可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结k a z zk ak可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结k 0a 〔 z z 〕k a a 〔z z 〕 a 〔z z 〕2 ......a 〔 z z 〕k...... 发散 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结k 0 0 1 0 2 0 k 0k 0可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结例题 : 求幂级数 1 z2 z4z6 ..... 的收敛圆 ,z 为复变数 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结解答 : 由题意可得可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结R limkak 1ak 1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结故 1 z2z4 z6......1 〔 z1 z21〕.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结泰勒级数绽开 设 f〔z〕 在以z0 为圆心的圆CR 内解析 , 就对圆内的任意 z 点,f〔z〕 可可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结展为幂级数 ,f 〔 z〕ak 〔 z z0 〕kk 0, 其中可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结1 f 〔 〕f 〔 n〕 〔 z 〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结ka d 0 ,02 i CR1 〔 z 〕k 1 k.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结1CR 为圆CR 内包含 z 且与CR 同心的圆 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结例题 : 在 z00 的领域上将f 〔 z〕ez 绽开可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结解答 : 函数f 〔 z〕ez 的各阶导数f 〔 n〕 〔 z〕ez , 而f 〔k 〕 〔 z 〕f 〔k〕 〔0〕 1 .可编辑资料 -- 。