湖南省邵阳市楚材民办中学2020-2021学年高三数学理联考试卷含解析.docx

湖南省邵阳市楚材民办中学2020-2021学年高三数学理联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知是空间四点，命题甲：四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的 (    )A.充分不必要条件            B.必要不充分条件C.充要条件        D.既不充分也不必要条件参考答案：A2. 已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是A．2 B． C． D．参考答案：C3. 定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（     ）A．          B．            C．          D．参考答案：B4. 已知a，b∈R，且ex+1≥ax+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（　　）A． e3 B． e3 C． e3 D．e3参考答案：A【考点】函数恒成立问题．【分析】分a＜0、a=0、a＞0三种情况讨论，而a＜0、a=0两种情况容易验证是否恒成立，在当a＞0时，构造函数f（x）=aex+1﹣a2x来研究不等式ex+1≥ax+b恒成立的问题，求导易得．【解答】解：若a＜0，由于一次函数y=ax+b单调递减，不能满足且ex+1≥ax+b对x∈R恒成立，则a≥0．若a=0，则ab=0．若a＞0，由ex+1≥ax+b得b≤ex+1﹣ax，则ab≤aex+1﹣a2x．设函数f（x）=aex+1﹣a2x，∴f′（x）=aex+1﹣a2=a（ex+1﹣a），令f′（x）=0得ex+1﹣a=0，解得x=lna﹣1，∵x＜lna﹣1时，x+1＜lna，则ex+1＜a，则ex+1﹣a＜0，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）递减；同理，x＞lna﹣1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）递增；∴当x=lna﹣1时，函数取最小值，f（x）的最小值为f（lna﹣1）=2a2﹣a2lna．设g（a）=2a2﹣a2lna（a＞0），g′（a）=a（3﹣2lna）（a＞0），由g′（a）=0得a=，不难得到时，g′（a）＞0；时，g′（a）＜0；∴函数g（a）先增后减，∴g（a）的最大值为，即ab的最大值是，此时．故选：A．7.实数、满足，且的最大值不小于1，则实数的取值范围是(   )                                                              A．          B．        C．        D．参考答案：A6. 已知且，则（    ）A．         B． ±7      C．或－7         D．或7参考答案：C7. 执行如图的程序框图，如果输出的S=3，则输入的t=（　　）A. －1 B. －3 C. 1或3 D. 1或－3参考答案：C【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，根据S的值，分类讨论即可得答案．【详解】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，由于输出的S=3，则当t≥1时，可得：4t-t2=3，解得：t=3或1，当t＜1时，可得：3t=3，解得t=1（舍去）．故选：C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8. 某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积不可能是（      ）（A）     （B）   （C）     （D）参考答案：D略9. 函数的图象大致是（    ）参考答案：B10. 定义在上的奇函数满足：对任意的，都有，则下列结论正确的是（  ）(A)     (B) (C)     (D) 参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知点在直线上，点在直线上，中点为，且的取值范围为            .参考答案：略12. 等比数列满足，则参考答案：略13. 设数列{an}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），ai﹣aj仍是数列{an}中的某一项．现有下列命题：①数列{an}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得iai=jaj；③数列{an}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有　   　．（请将你认为正确命题的序号都写上）参考答案：①②③【考点】数列递推式．【分析】根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有ai﹣aj仍是该数列的某一项，因此0∈{an}，即a4=0，进而推出数列的其它项，可得答案．【解答】解：根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有ai﹣aj仍是该数列的某一项，令i=j，则0为数列的某一项，即a4=0，则a3﹣a4=a3∈{an}，（a3＞0）．必有a2﹣a3=a3，即a2=2a3，而a1﹣a2=a2或a3，若a1﹣a2=a2，则a1﹣a3=3a3，而3a3≠a2，a3，a4，舍去；若a1﹣a2=a3∈{an}，此时a1=3a3，可得数列{an}为：3a3，2a3，a3，0（a4＞0）；据此分析选项：易得①②③正确；故答案为：①②③　14. 已知函数，设集合，从集合P和Q中随机地各取一个分数分别作为a和b，则函数在区间（）上为增函数的概率为      。

参考答案：略15. 已知向量，，，则_______，_________.参考答案：,略16. 已知，则_______.参考答案：17. 从1，2，3，4，5中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为　　．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】分别求出所有的基本事件个数和符合条件的基本事件个数，使用古典概型的概率计算公式求出概率．【解答】解：方法一：从5个数字中随机抽取2个不同的数字共有C52=10种不同的抽取方法，而两数字和为奇数则必然一奇一偶，共有C31×C21=6种不同的抽取方法，∴两个数的和为奇数的概率P==，方法二（列举法），从1，2，3，4，5中随机取出两个不同的数，共有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种，其中其和为奇数为（1，2），（1，4），（2，3），（2，5），（3，4），（4，5）共6种，∴两个数的和为奇数的概率P==，故答案为：．三、 解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）如图，为圆的直径，点、在圆上，∥，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.（1）求证：平面；（2）设的中点为，求证：∥平面；（3）设平面将几何体分成的两个锥体的体积分别为，，求．参考答案：解 （1）平面平面,,平面平面=，平面，                               平面， ,……　2分又为圆的直径，，                    平面。

         …………　4分（2）设的中点为，则，又，则，为平行四边形，                      ，又平面，平面，平面.                   ……………　8分(3)过点作于，平面平面，平面，，     平面，，．                            …………　12分略19. 已知函数.(1)解不等式；(2)若关于的不等式在上的解集为,求实数的取值范围.参考答案：(1).不等式可化为,当时, ,解得,即;当时, ,解得,即;当时, ,解得,即综上所述,不等式的解集为或.(2).由不等式可得,∵,     ∴,即,解得或,故实数的取值范围是或.  20. 已知数列满足，等比数列为递增数列，且，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）令，不等式的解集为，求所有的和.参考答案：解：（Ⅰ）设的首项为，公比为，所以，解得             …………2分又因为，所以则，，解得（舍）或   …………4分所以                 …………6分（Ⅱ）则, 当为偶数，，即，不成立当为奇数，，即，因为，所以   …………9分则组成首项为，公差为的等差数列组成首项为，公比为的等比数列则所有的和为…………12分 略21. 已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导数，利用导数的几何意义能求出实数a的值．（2）由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，由此能求出实数b的取值范围．（3）g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣），由此利用构造成法和导数性质能求出g（x1）﹣g（x2）的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=x+alnx，∴f′（x）=1+，∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，解得a=1．（2）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，∴g′（x）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，∵定义域x＞0，∴x+≥2，x+＜b﹣1有解，只需要x+的最小值小于b﹣1，∴2＜b﹣1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．（3）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，∴g′（x）==0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1∴g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣）∵0＜x1＜x2，∴设t=，0＜t＜1，令h（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，则h′（t）=﹣＜0，∴h（t）在（0，1）上单调递减，又∵b≥，∴（b﹣1）2≥，∵0＜t＜1，∴4t2﹣17t+4≥0，∴0＜t≤，h（t）≥h（）=﹣2ln2，故所求的最小值为﹣2ln2．22. (本小题满分12分）已知函数=,=,若曲线和曲线都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线.(Ⅰ)求,,,的值;(Ⅱ)若时,≤,求的取值范围.参考答案：（Ⅰ）(Ⅰ)由已知得, 而=,=,∴=4,=2,=2,=2; ………………3分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,, 设函数==(), ==, 有题设可得≥0,即, 令=0得,=,=-2, ks5u(1)若,则-2<≤0,∴当时,<0,当时,>0,即在单调递减,在单调递增,故在=取最小值,而==≥0, ∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立, (2)若,则=, ks5u∴当≥-2时,≥0,∴在(-2,+∞)单调递增,而=0, ∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立, (3)若,则==<0, ∴当≥-2时,≤不可能恒成立, 综上所述,的取值范围为[1,].…………………………………………12分。