傅里叶Fourier级数课件.ppt

§11.3 傅里叶（傅里叶（Fourier)级数级数一一 傅里叶级数傅里叶级数二二傅里叶级数的收敛定理傅里叶级数的收敛定理三三 函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数四四 以以2T为周期的周期函数的傅里叶级数为周期的周期函数的傅里叶级数1CH1_一一 傅里叶级数傅里叶级数设设 f (x) 是周期为是周期为 2  的周期函数的周期函数 , 且且f (x) 在在 上可积，则上可积，则f (x) 的的傅里叶级数傅里叶级数定义为如下的三角级数：定义为如下的三角级数：其中其中称为称为f (x) 的的傅里叶系数傅里叶系数2CH1_解解: : 上的表达式为上的表达式为求求 f (x) 的傅的傅里里叶级数叶级数. 例例1 设设 f (x) 是周期为是周期为 2  的周期函数的周期函数 , 它在它在 3CH1_所以所以 f (x) 的傅的傅里里叶级数为：叶级数为： 4CH1_注：（注：（1）当）当f (x) 为偶函数时，为偶函数时，f (x) 的傅里叶级数为余弦级数：的傅里叶级数为余弦级数：（（2）当）当f (x) 为奇函数时，为奇函数时，f (x) 的傅里叶级数为正弦级数：的傅里叶级数为正弦级数：5CH1_二二 傅里叶级数的收敛定理傅里叶级数的收敛定理 x 为为f (x)间断点间断点 x 为为f (x)连续点连续点(1)在区间在区间[- ,  ]上连续或者上连续或者仅有有限个第一类间断点仅有有限个第一类间断点;(2)在区间在区间[- ,  ]上上仅有有限个极值点仅有有限个极值点;定理定理1 （（狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )收敛定理收敛定理））周期为周期为2  的周期函数，的周期函数，且在区间且在区间[- ,  ]上上满足条件：满足条件：设设 f (x) 是是则则 f (x) 的傅的傅里里叶级数叶级数收敛，收敛，其和函数其和函数6CH1_例如，例例如，例1中的傅立叶级数中的傅立叶级数7CH1_例例2 设设 f (x) 是周期为是周期为 2  的周期函数的周期函数 , 它在它在 上的表达式为上的表达式为解解:S (x)为为f (x) 的傅里叶级数的和函数，的傅里叶级数的和函数， 求求8CH1_三三 函数展开成傅里叶级函数展开成傅里叶级数数1 1 以以2 2 为周期为周期 的周期函数展开成傅里叶级数的周期函数展开成傅里叶级数 解解:将函数将函数且且展开成傅里叶级数。

展开成傅里叶级数例例3 3 设设9CH1_注：注： 当取当取时，得时，得记记则则即即10CH1_例例4 将定义在将定义在上函数上函数展开成傅展开成傅里里叶级数解解2 定义在定义在 上的上的函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数 11CH1_( )12CH1_解解: 先求正弦级数先求正弦级数.3 定义在定义在上的函数展开成正弦、余弦级数上的函数展开成正弦、余弦级数分别展成正弦级分别展成正弦级数与余弦级数数与余弦级数 . 例例5 将函数将函数13CH1_再求余弦级数再求余弦级数.14CH1_设设 f (x) 是周期为是周期为 2T 的周期函数的周期函数 , 且且f (x) 在在上可积，则上可积，则f (x) 的的傅里叶级数傅里叶级数定义为如下的三角级数：定义为如下的三角级数：其中其中四四 以以2T为周期的周期函数的傅里叶级数为周期的周期函数的傅里叶级数15CH1_ x 为为f (x)间断点间断点 x 为为f (x)连续点连续点(1)在区间在区间[-T, T]上连续或者上连续或者仅有有限个第一类间断点仅有有限个第一类间断点则则 f (x) 的傅的傅里里叶级数收敛，且叶级数收敛，且(2)在区间在区间[-T, T]上上仅有有限个极值点仅有有限个极值点定理定理2 （（狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )收敛定理收敛定理））周期为周期为2T 的周期函数，的周期函数，且在区间且在区间[-T, T]上上满足条件：满足条件：设设 f (x) 是是16CH1_。