利用换元法解决试题(非常全).doc

利用换元法解决试题（非常全） 一、选择题1. 为解方程 ，我们可设 ，则 ，原方程可化为 ．解得 ，，当 时，，所以 ；当 时，，所以 ．故原方程的解为 ，，，．以上解题方法主要体现的数学思想是 A. 数形结合 B. 换元与降次 C. 消元 D. 公理化 2. 如果一个三角形的三边长分别为 ，，，化简 的结果是 A. B. C. D. 3. 用换元法解方程 ，设 ，则原方程可化为 A. B. C. D. 4. 当使用换元法解方程 时，若设 ，则原方程可变形为 A. B. C. D. 5. 已知 ，则 A. 或 B. C. D. 无法确定 6. 已知 ，则 的值为 A. B. C. D. 7. ，则 的值为 A. B. C. 或 D. 无法确定 8. 若 ， 则 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9. 方程 的解为 A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 用换元法解方程 时，如果设 ，那么原方程可化为 A. B. C. D. 11. 已知 ，，， 均为正数，且满足 ，．则 与 之间的关系为 A. B. C. D. 无法确定 12. 小明用计算器计算 的值，其按键顺序和计算器显示结果如表： 这时他才明白计算器是先做乘法再做加法的，于是他依次按键： 从而得到了正确结果，已知 是 的 倍，则正确的结果是 A. B. C. D. 13. 已知方程组 的解是 则方程组 的解是 A. B. C. D. 14. 已知实数 ， 满足：，，则 的值为 A. B. C. D. 15. 有面额为壹圆、贰圆、伍圆的人民币共 张，购买一把价值为 元的雨伞，不同的付款方式共有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 16. 若实数 、 满足 ，则 的值为 A. B. C. 或 D. 或 17. 在求 的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的 倍，于是她设： 然后在 式的两边都乘 ，得： 得 ，即 ， 所以 ，得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“”换成字母“”（ 且 ），能否求出 的值?你的答案是 A. B. C. D. 18. 用换元法解方程 时，若设 ，则原方程可化为 A. B. C. D. 19. 已知 是一元二次方程 的一个实数根，则 的取值范围为 A. B. C. D. 20. 已知实数 满足 ，则 的值是 A. B. C. 或 D. 或 二、填空题21. 已知 ，则 ． 22. 能使 成立的 的值为 ． 23. 一题多解是拓展我们发散思维的重要策略．对于方程“”可以有多种不同的解法，观察此方程，假设 ． （）则原方程可变形为关于 的方程： ，通过先求 的值，从而可得 ； （）上述方法用到的数学思想是 ． 24. 若方程组 的解为 则方程组 的解是 ． 25. （）已知 ，那么 ． （）若实数 ， 满足 ，则 ． 26. 如果 ，那么 的值为 ． 27. 在求 的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的 倍，于是她假设： 然后在 式的两边都乘以 ，得： 得，，即 ， 所以 ． 得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“”换成字母 （ 且 ），能否求出 的值?如能求出，其正确答案是 ． 28. 关于 ， 的方程组 那么 ． 29. 在方程 中，如果设 ，那么原方程可化为关于 的整式方程是 ． 30. 解方程 时，若设 ，则方程可化为 ． 31. 若 ，则 的值是 ． 32. 设函数 的图象与函数 的图象的交点坐标为 ，则 的值为 ． 33. 计算 的结果是 ． 34. 计算 的结果是 ． 35. 方程 的实根是 ． 36. 三个同学对问题 "若方程组 的解是 求方程组 的解" 提出各自的想法．甲说："这个题目好象条件不够，不能求解"；乙说："它们的系数有一定的规律，可以试试"；丙说："能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以 ，通过换元替换的方法来解决"．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 37. 已知 ，则关于 的方程 的解是 ． 38. 满足 的 的值为 ． 39. 如果 ，那么 的值为 ． 40. 若 ，则 的值为 三、解答题41. 解下列方程组．（1）（2） 42. 如图中的 个点处各写有一个数字．已知每个点所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点处的数字的平均数，则代数式 的值是多少? 43. 解下列分式方程：（1）；（2）；（3）；（4）． 44. 解方程组： 45. 若 ，，试比较 与 的大小． 46. 用换元法解方程 ． 47. 某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共 千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的 倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克?（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为 千克，销售均价为 ，今年樱桃的市场销售量比去年减少了 ，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为 千克，销售均价为 ，今年枇杷的市场销售量比去年增加了 ，但销售均价比去年减少了 ，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求 的值． 48. 计算：． 49. 计算：． 50. 计算：（，且 为正整数）． 51. 解方程：． 52. 先化简，再求值：，其中 ． 53. 解方程组： 54. 求 的值， 令 ，则 ，因此 ，． 参照以上推理，计算 的值． 55. 关于 的方程： 的解为：，； （可变形为 ）的解为：，； 的解为：，； 的解为：，．（1）请你根据上述方程与解的特征，猜想关于 的方程 （）的解是什么?（2）请总结上面的结论，并求出方程 的解． 56. 阅读理解： 善于思考的小聪在解方程组 时，发现方程组 和 之间存在一定关系，他的解法如下： 解：将方程 变形为：． 把方程 代入方程 得：， 解得： 把 代入方程 得：． ∴原方程组的解为 小聪的这种解法叫“整体换元”法．请用“整体换元”法完成下列问题：（1）解方程组 （i）把方程 代入方程 ，则方程 变为 ； （ii）原方程组的解为 ．（2）解方程组 57. 先让我们一起来学习方程 的解法： 解：令 ，则 ，方程两边平方可得， 解得 ，， ， ， ． 点评：类似的方程可以用“整体换元”的思想解决． 不妨一试： 如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，顶点为点 ，点 为抛物线上的一个动点， 是过点 且垂直于 轴的直线，过 作 ，垂足为点 ，连接 ． （1）求抛物线的解析式；（2）①当 点运动到 点处时，通过计算发现： （填“”、“”或“”）； ②当 点在抛物线上运动时，猜想 与 有何数量关系，并证明你的猜想；（3）当 为等边三角形时，求点 坐标；（4）如图 2，设点 ，问是否存在点 ，使得以 ，， 为顶点的三角形与 相似?若存在，求出 点的坐标；若不存在，请说明理由． 58. 已知：如图 1，抛物线 与 轴正半轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，直线 经过 ， 两点，且 ． （1）求抛物线的解析式；（2）若直线 平行于 轴并从 点开始以每秒 个单位的速度沿 轴正方向平移，且分别交 轴、线段 于点 ，，同时动点 从点 出发，沿 方向以每秒 个单位速度运动，（如图 2）；当点 运动到原点 时，直线 与点 都停止运动，连接 ，若点 运动时间为 秒；设 ，当 为何值时， 有最小值，并求出最小值． （3）在（2）的条件下，是否存在 的值，使以 ，， 为顶点的三角形与 相似；若存在，求 的值；若不存在，请说明理由． 59. 阅读材料：为解方程 ，我们可以将 视为一个整体，然后设 ，则 ，原方程化为 ①，解得 ，． 当 时，，，； 当 时，，，； 原方程的解是 ，，，． 解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中利用了换元法达到了 的目的； （2）利用材料中的方法解方程：． 60. 解方程 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，我们通常可以这样来解：设 ，那么 ，于是原方程可变为 ①，解这个方程得：，．当 时，，；当 时，，．所以原方程有四个根：，，，．（1）这一解法在由原方程得到方程①的过程中，利用了 法达到降次的目的，体现了 的数学思想．（2）参照上面解题的思想方法解方程：答案第一部分1. B 【解析】本题体现了两个重要的数学思想，换元和降次的数学思想．2. B 3. A 4. D 5. B 6. C 【解析】由已知条件直接求解比较困难，通过观察，不难发现所求代数式与已知条件之间存在一定的关系，即 ．若设 ，则 ，．7. A 8. A 【解析】令 ，则原方程化为 ，即 ，所以 ，． ．9. B 【解析】将 看成一个整体，移项，得 ，配方，得 ，即 ．得 ， ，．。