概率论与随机过程：1-4 条件概率.ppt

第一章教学计划（第3次课）教学内容：条件概率，乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式教学目的及目标：掌握条件概率及相关公式教学重点：条件概率，概率乘法公式，全概率公式教学难点：全概率公式1.4 条件概率一、条件概率的定义及性质1、概念及引例 在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.在事件B发生的条件下（隐含P(B)0)，事件A发生的概率称为A对B的条件概率，记作P(A|B).一般来说，一P(A|B) P(A) 如下例 P(A )=1/6，例如，掷一颗均匀的骰子，A=掷出2点，B=掷出偶数点，P(A|B)=？分析：事件B已经发生，因此，这时试验的所有可能结果构成的集合就是B，于是P(A|B)= 1/3.B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在A中，容易看到，这里P(A|B)2条件概率的定义:为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.注 （1）若P(A)0，同样可定义（2）条件概率P（|B）满足概率定义的三条公理设(,P)为一概率空间，A，B是两事件，且P(B)0，称 P（|B）=0 P（ |B）=1P（A|B） P(A1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)P(A1A2|B) 这表明，条件概率也是一种概率，因此，概率的一切性质都适用于条件概率，例如：2计算 一般有两种方法：(2)缩小样本空间法： P(B|A)=AB/A (1) 定义法：P(B|A)=P(AB)/P(A)例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解法1: 解法2: 解: 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点应用定义在B发生后的缩减样本空间中计算条件概率P(A|B)与P(A)的区别：P(A)与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.条件概率P(A|B)与P(A)数值关系：何时一定有:或 P(A|B) P(A)?P(A|B) P(A)?以及P(A)=P(A |B) ？由条件概率的定义：若P(B)0, 则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)而 P(AB)=P(BA)若已知P(B), P(A|B), 可以反求P(AB)：将A、B的位置对调，有故P(A)0, 则P(AB)=P(A)P(B|A) (3)若P(A)0, 则P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和(3)式都称为乘法公式, 利用它们可计算两个事件同时发生的概率三、概率乘法公式乘法公式应用举例 一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率. 例4 波里亚罐子模型b个白球, r个红球于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球. ” b个白球, r个红球 随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球. 解: 设Wi=第i次取出是白球, i=1,2,3,4 Rj=第j次取出是红球， j=1,2,3,4用乘法公式容易求出 当 c0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)当P(A1A2An-1)0时，有P (A1A2An）=P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1)推广到多个事件的乘法公式:当P(A1A2)0时，有P (A1A2A3）=P(A1)P(A2|A1) P(A3| A1A2)一般地，注意P(AB)与P(A | B)的区别：“B发生” ：在P(AB)中是结果， 在P(A | B)中是条件！请看下面的例子例2 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？所求为P(AB).设B=零件是乙厂生产A=是标准件所求为P(AB) .设B=零件是乙厂生产A=是标准件若改为“发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”求的是 P(A|B) .B发生,在P(AB)中作为结果;在P(A|B)中作为条件.*例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解：设A=能活20年以上，B=能活25年以上依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求为P(B|A) . 抽签的公平性5个球迷一张入场券.抽签.入场券5张同样的卡片，1张上写有“入场券”，其余4张空白. 将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.用Ai表示“第i个人抽到入场券”, i1,2,3,4,5.则 表示“第i个人未抽到入场券”显然，P(A1)=1/5，P( )4/5因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.由于 由乘法公式 = (4/5)(1/4)= 1/5 同理，(4/5)(3/4)(1/3)=1/5继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5. 综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0三、全概率公式与贝叶斯公式样本空间的划分：设为试验E的样本空间，A1,A2,An为E的一组事件，若 （1） AiAj=,ij , i , j =1,2,n;（2） A1A2An=，则称A1，A2，,An为样本空间的一个划分。

设A1,A2,An是试验E的样本空间的一个划分，且P(Ai)0，i =1,2,n, B是任一事件, 则 全概率公式:A1A2A3A4A5A6A7A8B在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算.全概率公式的来由, 不难由上式看出:“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于: 某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,n)，其中，B由原因Ai所引发的概率是 每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引发B的概率的总和这就是全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解例 盒中12个新乒乓球，每次比赛从盒中任取3个球，用后放回第三次比赛时3个球，取到3个新球的概率解：设A:第三次比赛时取到3个新球， Bi:第二次比赛时取到i个新球（i=0,1,2,3）则Bi构成了第三次比赛取球试验的样本空间的一个划分于是 该公式于1763年由英国统计学家贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.贝叶斯公式：设A1,A2,An是试验E的样本空间的一个划分，且P(Ai)0，i =1,2,n, B是任一事件且P(B)0, 则 Thomas Bayes1702 - 1763 Born: 1702 in London, EnglandDied: 7 April 1763 in Tunbridge Wells, Kent, England 例2: 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。

每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%，试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？ 解: 设A：“产品合格”，B：“机器调整良好”，则P(A|B)=0.9，P(A| )=0.3,P（B）=0.75，所求概率为P(B|A)由贝叶斯公式 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因. 贝叶斯公式在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为原因的先验概率和后验概率.P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识. 当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化例3: 假定用甲胎蛋白法诊断肝癌，P（A|B1）=0.99,P（A|B2）=0.05，其中B1表示“被检验者患有肝癌”， B2=B1, A 表示“被检验者试验反应为阳性”据调查某地区居民的肝癌发病率P（B1）=0.0004现若由该地区某居民检验结果呈阳性，问他患肝癌的概率P（B1|A）是多少？ 在实际中，医生常用另一些辅助方法先进行初查，排除大量明显不是肝癌的人，当医生怀疑某人有可能患肝癌时，才建议用甲胎蛋白法检验。

这时在被怀疑的对象中，肝癌的发病率已显著提高了，比如说P（B1）=0.4，这时再用贝叶斯公式进行计算，可得这样就大大提高了甲胎蛋白法的准确率了解：练：一男子到闹市区去，他遇到背后袭击并被抢劫，他断定凶手是个白人然而，当调查这一案件的法院在相似的条件下多次重复现场情况时，受害者正确识别袭击者种族的次数约占80%求袭击者为白人的概率解：记A:“袭击者为白人”，B: “受害者指认袭击者为白人”，所求概率为P(A|B)由题意设该地白人比例为p，即P(A)=p，则若p=1/2, 则所求概率为0.8;若p1/2, 则所求概率大于0.8。