第二型面积分.ppt

§2 第二型曲面积分第二型曲面积分 曲面的侧曲面的侧 双侧曲面双侧曲面 有向有向曲面的正侧曲面的正侧背景：求非均匀流速的物质流单位时间流过曲面块背景：求非均匀流速的物质流单位时间流过曲面块的流量时，利用均匀流速的物质流单位时间流过平的流量时，利用均匀流速的物质流单位时间流过平面块的流量的方法，通过面块的流量的方法，通过“分割、近似、求和、取分割、近似、求和、取极限极限”的步骤，来得到结果．一类大量的的步骤，来得到结果．一类大量的“非均匀非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义．分的定义． 一一 第二型曲面积分的概念与性质第二型曲面积分的概念与性质 存在且与分割存在且与分割T与点的取法无关，则称此极限为函数与点的取法无关，则称此极限为函数P，，Q，，R在曲面在曲面S所指定的一侧的第二型曲面积分，记为所指定的一侧的第二型曲面积分，记为 上述积分上述积分(1)也可写作也可写作 第二型曲面积分的性质第二型曲面积分的性质 (1)若若 都存在都存在， 为常数，则有为常数，则有 (2)若曲面若曲面S由两两无公共内点的曲面块由两两无公共内点的曲面块 所组成， 都存在，则 也存在，且 二二 第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算 定理定理22．．2设设R为定义在光滑曲面为定义在光滑曲面 S:上的连续函数，以上的连续函数，以S的上侧为正侧（这时的上侧为正侧（这时S的法线正向与的法线正向与Z轴正向成轴正向成锐角锐角 ），则有），则有 证证 由第二型曲面积分的定义由第二型曲面积分的定义 这里这里 ，因 立刻可推得 由相关函数的连续性及二重积分的定义有 = 所以所以 = 类似地：类似地：P为定义在光滑曲面为定义在光滑曲面S：： 上的连续上的连续函数时，而函数时，而S的法线方向与的法线方向与X轴的正向成锐角的那一侧为正侧，轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有则有 = 类似地：类似地：P为定义在光滑曲面为定义在光滑曲面S：： 上的连续上的连续函数时，而函数时，而S的法线方向与的法线方向与Y轴的正向成锐角的那一侧为正侧，轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有则有 = 注：按第二型曲面积分的定义可以知道，如果注：按第二型曲面积分的定义可以知道，如果S 的的法线方向与相应坐标轴的正向成钝角的那一侧为法线方向与相应坐标轴的正向成钝角的那一侧为正侧，则相应的公式右端要加正侧，则相应的公式右端要加“- -”号号 例例1 计算计算 的部分并取球面外侧．,其中S是球面在解 曲面在第一，五卦限间分的方程分别为 ， 。