数列求和的基本方法和技巧(课堂PPT).ppt
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授课：授课：XXXX 数列求和基本方法：ß公式法ß分组求和法ß错位相减法ß裂项相消法ß并项求合法授课：授课：XXXX 一.公式法：①①等差数列的前等差数列的前n项和公式：项和公式：②②等比数列的前等比数列的前n项和公式项和公式 ：： ③③④④⑤⑤授课：授课：XXXX 例例1 1：：求和：求和：授课：授课：XXXX 一、分组法求和ß有一类数列，既不是等差数有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其列，然后分别求和，再将其合并即可合并即可. .授课：授课：XXXX cn=an+bn({an}、、{bn}为等差或等比数列为等差或等比数列项的特征项的特征反思与小结：反思与小结： 要善于从通项公式中看本质：一个等差 要善于从通项公式中看本质：一个等差{ {n n} } ＋一个＋一个等比等比{2{2n n} } ，另外要特别观察通项公式，如果通项公式，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题解题. .分组求和法分组求和法授课：授课：XXXX , + n 11.求数列求数列 + 2 3 , + 的前的前n项和项和 。
, 2 2 2 , 3 2 n 2 + 1 2 3 n 解：解： =(1+2+3+ …+n) Sn=(1+2)+(2+ )+(3+ )+…+(ｎｎ+ ) 2 2 3 2 ｎｎ 2 +(2+2 +2 +…+2 ) n23=n(n+1)22(2 -1)2-1n+=n(n+1)2+2 -2n+1…分组求和法分组求和法授课：授课：XXXX n n个个授课：授课：XXXX 二、错位相减法：二、错位相减法：如果一个数列的各项是由一如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法可采用错位相减法. .既既{an nbn n}型型等差等差等比等比授课：授课：XXXX 2．错位相减法．错位相减法如果一个数列的各项是由如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列一个等差数列和一个等比数列的对应项的对应项之积构成的，那么这个数列的前之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求项和即可用此法来求.【【错位相减法错位相减法】】设设 {an}的前的前n项和为项和为Sn，，an＝＝n·2n，则，则Sn＝＝授课：授课：XXXX [ [例例1]1] 求数列 前n项的和解：由题可知，解：由题可知，{ }的通项是等差数列的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列的通项与等比数列{ }的通项之积的通项之积设设 …………………………………①………………………………② （设制错位）（设制错位）①①－－②②得得∴授课：授课：XXXX 2024/9/1413已知数列授课：授课：XXXX 2024/9/1414解解：第一步，写出该数列求和的展开等式第二步，上式左右两边乘以等比数列公比授课：授课：XXXX 2024/9/1415第三步，两式进行错位相减得：化简整理得:授课：授课：XXXX 2024/9/14191、2、已知数列求该数列的前n项和。
授课：授课：XXXX 三、裂项求和法：三、裂项求和法：把把数数列列的的通通项项拆拆成成两两项项之之差差，，即即数数列列的的每每一一项项都都可可按按此此法法拆拆成成两两项项之之差差，，在在求求和和时时一一些些正正负负项项相相互互抵抵消消，，于于是是前前n n项项的的和和变变成成首首尾尾若若干干少少数数项项之之和和，，这这一一求求和和方方法法称称为为分分裂裂通通项项法法. .（（见见到到分分式式型型的的要要往往这这种种方方法联想法联想）） 授课：授课：XXXX 常见的裂项公式有：授课：授课：XXXX 常见的裂项公式有：授课：授课：XXXX 例例1：求和：求和裂项法求和裂项法求和提示：提示：∴∴授课：授课：XXXX 授课：授课：XXXX 1-21-22 2+3+32 2-4-42 2+ +…+(2n-1)+(2n-1)2 2-(2n)-(2n)2 2= =？？局部重组转化为常见数列局部重组转化为常见数列四、并项求和四、并项求和授课：授课：XXXX 练习：练习：已知已知S Sn n=-1+3-5+7+=-1+3-5+7+…+(-1)+(-1)n n(2n-1),(2n-1),1)1)求求S S2020,S,S21212)2)求求S Sn nS2020=-1+3+(-5)+7+……+（（-37））+39S2121=-1+3+(-5)+7+（（-9））+……+39+（（-41））=20=20=-21授课：授课：XXXX 五五.相间两项成等差等比综合相间两项成等差等比综合授课：授课：XXXX 授课：授课：XXXX ∴∴{an}是等差数列，是等差数列，an=1+(n- -1)=n1. 若若a1=1, 且且an+am=an+m(n,m∈∈N*), 则则an=_______解解: n=m=1时，时，a2 = a1+a1=2, 得得a1=1, a2=2m=1时时,由由an+am=an+m 得得an+1=an+1，即，即an+1- -an=1n2. 若若b1=2，且，且bmbn=bm+n，则，则bn=_____________解：解：n=m=1时，时，b2=b1·b1=4 , 即即b1=2，，b2=4，，m=1时时,由由bnbm=bn+m 得得bn+1=bn· b1=2bn，，故故{bn}是首项为是首项为b1=2 ，公比为，公比为q=2的等比数列，的等比数列，bn=2·2n-1=2n 2n 练习练习授课：授课：XXXX 授课：授课：XXXX 授课：授课：XXXX 授课：授课：XXXX 解：解：(1)证明：由题意得证明：由题意得2bn＋＋1＝＝bn＋＋1，，∴∴bn＋＋1＋＋1＝＝2bn＋＋2＝＝2(bn＋＋1)．．又又∵∵a1＝＝2b1＋＋1＝＝1，，∴∴b1＝＝0，，b1＋＋1＝＝1≠0.故数列故数列{bn＋＋1}是以是以1为首项，为首项，2为公比的等比数列．为公比的等比数列．授课：授课：XXXX 授课：授课：XXXX 授课：授课：XXXX 授课：授课：XXXX 授课：授课：XXXX 授课：授课：XXXX 授课：授课：XXXX 授课：授课：XXXX 3．已知二次函数．已知二次函数f(x)＝＝x2－－5x＋＋10，当，当x∈∈(n，，n＋＋1](n∈∈N*)时，把时，把f(x)在此区间内的整数值的个数表示为在此区间内的整数值的个数表示为an.(1)求求a1和和a2的值；的值；(2)求求n≥3时时an的表达式；的表达式；授课：授课：XXXX (2)当当n≥3时，时，f(x)是增函数，故是增函数，故an＝＝f(n＋＋1)－－f(n)＝＝2n－－4.授课：授课：XXXX Thank you!43 。
